3次不定方程是一类基本而又重要的方程, 目前关于3次不定方程的结论已经比较多^[1-2].而椭圆曲线y²=(x+a)(x²-ax+p) (a, p $\in \mathbb{Z}$ )是3次不定方程中的一类特殊的方程.椭圆曲线的整数点问题是数论和算术代数几何学中基本而又重要的问题, 其结果有着广泛的应用.近年来, 寻找椭圆曲线的整数点问题引起了人们的兴趣.关于椭圆曲线的整数点问题, 目前已有一些结论.当a=-2时, 椭圆曲线的结论见文献[3-7]；当a=2时, 椭圆曲线的结果仅限于p=31的情况, 见文献[8].本文将对a=2, p=36s²-5(s $\in \mathbb{Z}$ ₊, 2ᚾs)时椭圆曲线的整数点问题进行研究.

定理1 设p=36s²-5(s $\in \mathbb{Z}$ ₊, 2ᚾs), 而6s²-1, 12s²+1均为素数, 则椭圆曲线

仅有整数点为(x, y)=(-2, 0).

证 设(x, y)是椭圆曲线(1) 的整数点.因为12s²+1为素数, 所以

设t=12s²+1, 故椭圆曲线(1) 可分解为以下4种可能的情形：

情形Ⅰ  x+2=u², x²-2x+p=v², y=uv, gcd (u, v)=1(u, v $\in \mathbb{Z}$ )；

情形Ⅱ  x+2=3u², x²-2x+p=3v², y=3uv, gcd (u, v)=1(u, v $\in \mathbb{Z}$ )；

情形Ⅲ  x+2=tu², x²-2x+p=tv², y=tuv, gcd (u, v)=1(u, v $\in \mathbb{Z}$ )；

情形Ⅳ  x+2=3tu², x²-2x+p=3tv², y=3tuv, gcd (u, v)=1(u, v $\in \mathbb{Z}$ ).

下面分别讨论这4种情形下椭圆曲线(1) 的整数点的情况.

情形Ⅰ 因为p=36s²-5, 故p≡-1(mod 4).又因x=u²-2≡2, 3(mod 4), 因此x²-2x+p≡2, 3(mod 4), 故有

2, 3(mod 4) ≡x²-2x+p=v²≡0, 1(mod 4)

显然矛盾, 故该情形下椭圆曲线(1) 无整数点.

情形Ⅱ 因为p=36s²-5, 2ᚾs, 故p≡-1(mod 8).又因x=3u²-2≡1, 2, 6(mod 8), 则x²-2x+p≡6, 7(mod 8), 故有

6, 7(mod 8) ≡x²-2x+p=3v²≡0, 3, 4(mod 8)

显然矛盾, 故该情形下椭圆曲线(1) 无整数点.

情形Ⅲ 因为p=36s²-5, 故p≡-1(mod 4).又因x=13u²-2≡2, 3(mod 4), 因此x²-2x+p≡2, 3(mod 4).因t=12s²+1≡1(mod 4), 故tv²≡0, 1(mod 4), 故有

2, 3(mod 4) ≡x²-2x+p=tv²≡0, 1(mod 4)

显然矛盾, 故该情形下椭圆曲线(1) 无整数点.

情形Ⅳ  当2ᚾu时, 有u²≡1(mod 4).因为t=12s²+1≡1(mod 4), 因此x=3tu²-2≡1(mod 4).又因p=36s²-5, 故p≡-1(mod 4), 因此x²-2x+p≡2(mod 4).而3tv²≡0, 3(mod 4), 故有

矛盾, 因此2ᚾu不成立, 所以2|u.令u=2m (m $\in \mathbb{Z}$ ), 则x+2=3tu²为x+2=12tm², 代入x²-2x+p=3tv²得(12tm²-3) ²+p-1=3tv².又因为p=36s²-5, t=12s²+1, 所以p=3t-8, 代入(12tm²-3) ²+p-1=3tv², 配方得(12m²-1) ²+48(t-3) m⁴=v², 即

因为2|u, 故由x+2=3tu²知2|x, 则由x²-2x+p=3tv²得2ᚾv, 故2|[v-(12m²-1)].因此

gcd (v+12m²-1, v-12m²+1) =2gcd (12m²-1, v)

设gcd (12m²-1, v)=d, 则由(2) 式知d|48(t-3) m⁴.又因6s²-1为素数, 则

若gcd (12m²-1, 48(t-3) m⁴)=6s²-1, 则有12m²-1≡0(mod (6s²-1)), 即12m²≡1(mod (6s²-1)).因Legendre符号值 $\left( {\frac{{12{m^2}}}{{6{s^2} - 1}}} \right) = \left( {\frac{3}{{6{s^2} - 1}}} \right) = \left( {\frac{{6{s^2} - 1}}{3}} \right) = - 1$ , 故12m²≡1(mod (6s²+1))不成立, 则gcd (12m²-1, 48(t-3) m²)=1, 因此d=1, 即gcd (12m²-1, v)=1.所以

gcd (v+12m²-1, v-12m²+1) =2

因为48(t-3) =96(6s²-1), 而6s²-1为素数, 故(2) 式可分解为：

其中m=ab, gcd (a, b)=1, gcd $\left( r,\frac{24(6{{s}^{2}}-1)~}{r} \right)$ =1, a, b $\in \mathbb{Z}$ , 且

r=1, 2³, 3, 2³×3×(6s²-1), 2³×(6s²-1), 6s²-1, 2³×3, 3×(6s²-1)

由(3) 式得

对(4) 式两边取模4, 得

对(4) 式两边取模3, 得

当r=6s²-1时, (5) 式为

因为2ᚾs, 所以ra⁴=(6s²-1) a⁴≡0, 1(mod 4), 则(7) 式为-1≡ra⁴≡0, 1(mod 4), 显然矛盾, 故(7) 式不成立, 因此r=6s²-1时(3) 式不成立, 即情形Ⅳ不成立.

当r=2³, 2³×(6s²-1) 时, (5) 式为

因为2ᚾs, 所以r=2³时, 有

而r=2³(6s²-1) 时, 有

故当r=2³, 2³×(6s²-1) 时, (8) 式为1≡0, 3(mod 4), 显然矛盾, 故(8) 式不成立, 因此当r=2³, 2³×(6s²-1) 时(3) 式不成立, 即情形Ⅳ不成立.

当r=1时, (6) 式为

因为r=1时, Legendre符号值 $\left( \frac{r{{a}^{4}}}{3} \right)=\left( \frac{{{a}^{4}}}{3} \right)=1$ , 而Legendre符号值-13=-1, 故(9) 式不成立, 因此当r=1时(3) 式不成立, 即情形Ⅳ不成立.

当r=3(6s²-1), 2³×3时, (6) 式为

因为Legendre符号值 $\left( \frac{1}{3} \right)$ =1, 而r=3(6s²-1) 时Legendre符号值 $\left( \frac{\frac{24(6{{s}^{2}}-1)}{r}\text{ }{{b}^{4}}}{3} \right)=\left( \frac{8{{b}^{4}}}{3} \right)=-1$ , 故(10) 式不成立；r=2³×3时, Legendre符号值 $\left( \frac{\frac{24(6{{s}^{2}}-1)}{r}\text{ }{{b}^{4}}}{3} \right)=\left( \frac{6{{s}^{2}}-1}{3} \right)=\left( \frac{-1}{3} \right)=-1$ , 故r=2³×3时(10) 式不成立.因此r=3(6s²-1), 2³×3时(3) 式不成立, 即情形Ⅳ不成立.

当r=2³×3×(6s²-1) 时, (4) 式为12m²-1=2³×3×(6s²-1) a⁴-b⁴.将(3) 式的m=ab代入并配方, 得

令w=6a²+b², 则(11) 式为

由文献[9]的定理1得, 方程(12) 至多有1组正整数解(w, a).又由文献[7]的引理6得, Pell方程

w²-12(12s²+1) a²=1

的基本解为(w₁, a₁)=(24s²+1, 2s), 则方程(12) 的全部正整数解可表示为

由此可知方程(11) 的正整数解满足

由(13) 式有

则由文献[7]的定理1得知n=2, 2ᚾn.

若2ᚾn, 因为2ᚾs, 故4ns≡4(mod 8), 24s²+1≡1(mod 8). (14) 式两边取模8, 得a²≡2(mod 8), 显然不成立, 故方程(12) 无正整数解, 因此方程(11) 仅有平凡解(w, a)=(1, 0).由w=6a²+b²=1, 得a=0, b=±1, 此时得出椭圆曲线(1) 有整数点(x, y)=(-2, 0), 故r=2³×3×(6s²-1) 时椭圆曲线(1) 有整数点(x, y)=(-2, 0).

若n=2, 由(13) 式得

即

由(14) 式得

即

由(16) 式的a²=4s (24s²+1) 知2|a.令a=2t, t $\in \mathbb{Z}$ , 则(16) 式变为

又因gcd (s, 24s²+1) =1, 故(17) 式可分解为：

将(18) 式的s=c²代入24s²+1=e², 得24c⁴+1=e², 即

因为方程(19) 有正整数解(e, c)=(5, 1), 故由文献[9]的定理1得方程(19) 仅有正整数解(e, c)=(5, 1).于是s=c²=1, 1 152s⁴+96s²+1=1 249, 所以a²=4s (24s²+1) =100, 则a=10.代入(16) 式, 得6a²+b²=600+b²=1 249, 则有b²=1 249-600=649, 显然无解, 此时椭圆曲线(1) 没有整数点.

当r=3时, (4) 式为12m²-1=3a⁴-8(6s²-1) b⁴, 将(3) 式的m=ab代入并配方, 得

令f=2b², t=a²-2b², r, f $\in \mathbb{N}$ , 则(20) 式为

又因(1, 2s)为方程(21) 的基本解, 则方程(21) 的一切整数解可表示为

由此方程(20) 的一切正整数解(b², a²-2b²)满足

由(22) 式, 得

即

因为 $\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ 2i \\ \end{matrix} \right)}\times (12{{s}^{2}}+1){{~}^{n-i}}\times {{s}^{2i}}\times {{3}^{i}}\times {{4}^{i}}$ 为偶数, 则(23) 式左边为偶数, 右边为奇数, 矛盾, 所以方程(23) 无整数解, 故r=3时(3) 式不成立, 即情形Ⅳ不成立.

综上所述, 定理1得证.