设(Ω， $\mathscr{A}$ )是可测空间，X，P是拓扑空间，Y是拓扑向量空间，F：Ω×X×P $\rightrightarrows$ Y是集值映射，(x₀，p₀)∈X×P，且对所有的ω∈Ω有0∈F(ω，x₀，p₀)成立.定义集值映射G：Ω×P $\rightrightarrows$ X如下：

若对任意的p∈P，G(·，p)：Ω $\rightrightarrows$ X是可测的，则称集值映射G为由包含关系0∈F(ω，x，p)定义的随机集值隐函数.文献[1]在可分Asplund空间给出了随机集值隐函数(1) 的局部度量正则性、度量正则性、Lipschitz性质、非空性和下半连续性成立的充分条件.值得注意的是，文献[1]必须假设度量投射的内半紧性.本文在不假设度量投射的内半紧性的情况下证明随机集值隐函数的度量正则性.

定理1 设X，Y是可分Asplund空间，P是拓扑空间，(Ω， $\mathscr{A}$ ，μ)是完全σ-有限可测空间，集值映射F：Ω×X×P $\rightrightarrows$ Y满足对任意的p∈P，F(·，·，p)：Ω×X $\rightrightarrows$ Y是可测的.设G：Ω×P $\rightrightarrows$ X是由(1) 式定义的集值映射，(x₀，p₀)∈X×P满足对任意ω∈Ω有0∈F(ω，x₀，p₀).记F_ω，p(·)=F(ω，·，p).若对任意的ω∈Ω，存在常数r＞0和σ＞0使得

(ⅰ)任意的p∈B(p₀，r)，集值映射F_ω，p(·)是闭的；

(ⅱ)任意的(x，p)∈B(x₀，r)×B(p₀，r)且0∉F(ω，x，p)，

则

1) 任意的p∈P，G(·，p)：Ω $\rightrightarrows$ X是 $\mathscr{B}$ -可测的；

2) 任意的ω∈Ω，G(ω，·)：P $\rightrightarrows$ X在(x₀，p₀)周围是局部度量正则的且具有系数 $\frac{1+\sigma }{\sigma }$ .事实上，任意的 $\mu \in \left( 0,\frac{r\sigma }{2\left( 1+\sigma \right)} \right)$ ，任意的 $\left( x,p \right)\in B\left( {{x}_{0}},\frac{r}{2} \right)\times B\left( {{p}_{0}},r \right)$ 且dist(0，F(ω，x，p))＜μ，有

成立.

证  1) 任意的p∈P，考虑G(·，p)：Ω $\rightrightarrows$ X的图像

因为F(·，·，p)：Ω×X $\rightrightarrows$ Y可测，所以

从而

任给B∈ $\mathscr{B}$ (X)，由文献[2]定理8.3.2得

因为

所以

从而G(·，p)：Ω $\rightrightarrows$ X是 $\mathscr{B}$ -可测的.

2) 任给ω∈Ω.由假设条件，存在常数r＞0和σ＞0满足条件(ⅰ)和(ⅱ).任意的 $\mu \in \left( 0,\frac{r\sigma }{2\left( 1+\sigma \right)} \right)$ ，任意的 $\left( {x,p} \right) \in B\left( {{x_0},\frac{r}{2}} \right) \times B\left( {{p_0},r} \right)$ 且dist(0，F(ω，x，p))＜μ，现在证明(2) 式成立.若dist(0，F(ω，x，p))=0，则0∈F(ω，x，p)，故x∈G(ω，p)，从而(2) 式两边均为0，即(2) 式成立.不妨假设dist(0，F(ω，x，p))=α，其中α∈(0，μ)，下面只需证明

因为

所以

任意的ε∈(0，r-μ)且

由距离函数的定义，存在y∈F_ω，p(x)使得‖y‖＜α+ε＜μ+ε＜r.定义函数f_p：X×Y→ ${\bar{\mathbb{R}}}$ 为

则根据条件(ⅰ)，f_p在X×Y上是下半连续的.任意的 $t \in \left( {\frac{{2\left( {\alpha + \varepsilon } \right)}}{r},\frac{\sigma }{{1 + \sigma }}} \right)$ ，令

易知

显然，

由文献[3]定理2.26中的Ekeland变分原理，存在 $\left( {\hat x,\hat y} \right)$ ∈B(x₀，r)×B(0，r)满足

和

这意味着

且对任意的(x^′，y)∈B(x₀，r)×B(0，r)，

下面证明 $0 \in {F_{\omega ,p}}\left( {\hat x} \right)$ .假设 $0 \notin {F_{\omega ,p}}\left( {\hat x} \right)$ ，则 $\hat y \ne 0$ .显然， $\hat x \in B\left( {{x_0},r} \right),\hat y \in B\left( {0,r} \right)$ .因为

和

所以

定义函数φ₁，φ₂，φ₃：X×Y→ ${\bar{\mathbb{R}}}$ 分别为

由(3) 式知， $\left( {\hat x,\hat y} \right)$ 是函数φ₁+φ₂+φ₃在X×Y上的局部极小值点.由文献[3]命题1.114得

显然，φ₁和φ₂在X×Y上是局部Lipschitz连续的，且φ₃在X×Y上是下半连续的.由文献[3]推论1.81，易知 ${\partial ^\infty }{\varphi _1}\left( {\hat x,\hat y} \right) = \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\},{\partial ^\infty }{\varphi _2}\left( {\hat x,\hat y} \right) = \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}$ 和 $\partial {\varphi _2}\left( {\hat x,\hat y} \right) \subset t{B_{{X^*}}} \times 0 + 0 \times t{B_{{Y^*}}}$ .由文献[3]定理3.36得

由函数φ₁和φ₃的定义得

因为 $\hat y \ne 0$ ，由文献[4]命题2.124得

故存在y₁^*∈Y^*和(x₃^*，y₃^*)∈N( $\left( {\hat x,\hat y} \right)$ ；gph F_w，p)使得

因此，

令

则(x^*，-y^*)∈N( $\left( {\hat x,\hat y} \right)$ ；gph F_w，p)，从而x^*∈D_N^*F_ω，p $\left( {\hat x,\hat y} \right)$ (y^*).易知

这与条件(ⅱ)矛盾，故 $0 \in {F_{\omega ,p}}\left( {\hat x} \right)$ ，即 $\left( {\hat x} \right) \in G\left( {\omega ,p} \right)$ ，从而

因为 $t ＜ \frac{\sigma }{{1 + \sigma }}$ ，令 $t \to \frac{\sigma }{{1 + \sigma }}$ 和ε→0，则

注1 文献[1]定理3.1需要假设度量投射的内半紧性，但是定理1不需要.从定理1的证明过程可以看出，若将拓扑空间P换成度量空间，定理的结论仍然成立.

定理2 假设定理1的条件(ⅰ)，(ⅱ)满足，且

(ⅲ)任意的ω∈Ω，F(ω，·，·)在(x₀，p₀)是下半连续的.

则

1) 任意的p∈P，G(·，p)：Ω $\rightrightarrows$ X是 $\mathscr{B}$ -可测的；

2) 任意的ω∈Ω，G(ω，·)：P $\rightrightarrows$ X在(x₀，p₀)周围是度量正则的，且具有系数 $\frac{{1 + \sigma }}{\sigma }$ .事实上，存在x₀的邻域V和p₀的邻域U，使得对所有的(x，p)∈V×U有

成立.

证 显然，定理2的结论1) 成立.现在证明定理2的结论2) 也成立.任意的ω∈Ω，由定理1，任意的 $\mu \in \left( {0,\frac{{r\sigma }}{{2\left( {1 + \sigma } \right)}}} \right)$ ，任意的 $\left( {x,p} \right) \in B\left( {{x_0},\frac{r}{2}} \right) \times B\left( {{p_0},r} \right)$ 且dist(0，F(ω，x，p))＜μ，有

成立.注意到0∈F(ω，x₀，p₀)∩int B_μ(0).由条件(ⅲ)，存在x₀的邻域 ${\tilde V}$ 和p₀的邻域 ${\tilde U}$ ，使得对所有的(x，p)∈ $\tilde V \times \tilde U$ 有

成立.从而对所有的(x，p)∈ $\tilde V \times \tilde U$ 有dist(0，F(ω，x，p))＜μ.

令

下面证明V，U和 $\frac{{1 + \sigma }}{\sigma }$ 满足定理2的结论2).事实上，任意的(x，p)∈V×U，则(x，p)∈ $\tilde V \times \tilde U$ ，故

又因为 $\left( {x,p} \right) \in B\left( {{x_0},\frac{r}{2}} \right) \times B\left( {{p_0},r} \right)$ ，所以

定理3 假设定理1的条件(ⅰ)，(ⅱ)满足，P是赋范空间的子集，且

(ⅲ)任意的ω∈Ω，存在x₀的邻域V，p₀的邻域U和常数l＞0满足

则

1) 任意的p∈P，G(·，p)：Ω $\rightrightarrows$ X是 $\mathscr{B}$ -可测的；

2) 任意的ω∈Ω，G(ω，·)：P $\rightrightarrows$ X在(p₀，x₀)周围是Lipschitz的.

证 显然，定理3的结论1) 成立.下面证明定理3的结论2) 成立.任意的ω∈Ω，由定理1知任意的 $\mu \in \left( {0,\frac{{r\sigma }}{{2\left( {1 + \sigma } \right)}}} \right)$ ，对所有的 $\left( {x,p} \right) \in B\left( {{x_0},\frac{r}{2}} \right) \times B\left( {{p_0},r} \right)$ 且dist(0，F(ω，x，p))＜μ，有

成立.现在证明G(ω，·)在(p₀，x₀)周围是Lipschitz的，即存在常数l^′＞0，p₀的邻域 ${\tilde U}$ 和x₀的邻域 ${\tilde V}$ ，使得对所有的p，p^′∈ ${\tilde U}$ 有

假设存在序列x_k→x₀，p_k→p₀和p_k^′→p₀且对所有的k=1，2，…有

则对所有的k=1，2，…，有

因为0∈F(ω，x_k，p_k)，由(4) 式，对充分大的k有

从而对充分大的k有

特别地，对充分大的k，有

综合(5)-(8) 式可得

故当k充分大时有 $k \le \frac{{l\left( {1 + \sigma } \right)}}{\sigma }$ ，这是一个矛盾.

注2 定理3所使用的证明方法起源于文献[5]定理4.3，这与文献[6]定理3.5，文献[7]定理3.2和文献[8]定理3.3的证明方法不同.