为便于考虑，我们首先作变量代换，令

将P换为P-$ \left( {{\mathit{x}}^{\rm{2}}}+\frac{\mathit{x}_{2}^{2}}{2} \right)$，则方程(1)改写为

同时边界条件变为

其中：ϕ=v，η，p，$ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{v}}}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}, \frac{\partial \mathit{\eta }}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}$.为讨论方程组(1)相应的随机动力系统的存在性，接下来我们先给出相关的函数空间.设乘积希尔伯特空间H=H₁×H₂，其中H₂=L²(D)以及

引入空间V=V₁×V₂，其中V₁={u∈V₂²：divu=0}，V₂是满足在x₂=0，x₂=1处为零，而在x₁方向具有周期性的函数全体构成的H¹(D)的子空间，具有等价内积和范数

对v₁,v₂∈V₂,((v₁,v₂))=∫_D▽v₁·▽v₂dx,‖u‖_V2=∫_D|▽u|²dx,u∈V₂.

求解方程组(1)，令

其中

是一维方程dz+zdt=dw(t)的解，则随机变量z(w)是缓增的，且存在一个保测的θ_t不变集$ {\mathit{\tilde{\Omega }}}$⊂Ω使得对所有w∈ $ {\mathit{\tilde{\Omega }}}$，t→z(θ_tw)连续，且z(θ_tw)满足

则方程(4)有如下等价形式

同时边界条件为

其中：ϕ=u，η，p，$ \frac{\partial \mathit{\boldsymbol{v}}}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}, \frac{\partial \mathit{\eta }}{\partial {{\mathit{x}}_{\rm{1}}}}$.运用Galerkin逼近，参考文献[1]中定理3.3.1的证明可得，对P. a.e. w∈Ω和所有的(u₀，η₀)∈H，方程组(8)-(9)存在唯一解

其中

从而，对所有的t≥0，映射u(u₀，η₀) $ \mapsto $((u(t，w，u₀)，η(t，w，η₀)))从H映到H是连续的.则(v，η)是随机系统(4)-(5)的解，其中v=ue^εz(θ_tw).现定义一个连续的随机动力系统φ：$ {{\mathbb{R}}^{+}}\times \mathit{\Omega }\times \mathit{H}\to \mathit{H}$

其中

同时我们假定$ \mathscr{B}$是H=H₁×H₂上缓增随机子集的全体，即：

根据有界域上随机吸引子存在的充要条件，本节我们证明V空间存在随机吸收集.

引理1  设ε∈(0，1]，则对任意的B∈B，P-a.e. w∈Ω，存在T=T_B(w)＞0，使得对所有t≥T_B(w)，(v₀，η₀)∈B(θ_-tw)，有

其中：

证  在方程(1)第二式两边同时乘以T，再在D上积分得：

由Poincare不等式，取c=1可得

再在(0，t)上由Gronwall引理有

已知η=T-T₀+x₂，则由(16)式可得，

将(17)式中所有的w用θ_-tw来代替，则有

由假设知(v₀(θ_-tw)，η₀(θ_-tw))，所以存在T_B(w)＞0，当t＞T_B(w)时有

再用u对方程(8)第一式两边在H₁中作内积，并由Poincare不等式及Young不等式可得：

由Poincare不等式，存在λ＞0，有

则(20)式整理可得：

再在(0，t)上由Gronwall引理，并将(21)式中的w换为θ_-tw有：

由τ $ \mapsto $z(θ_τω)是连续的，由(7)式和(22)式有

再由于(v₀，η₀)∈B(θ_-tw)，存在T_B(w)＞0，当t≥T_B(w)＞0时，有

因此，由(19)，(24)式可知，该引理成立.

引理2  设ε∈(0，1]，则对任意的B∈ $ \mathscr{B}$，P-a. e. w∈Ω，存在T=T_B(w)＞0和两个缓增随机变量r_3ε(w)，r_4ε(w)，使得对所有t≥T_B(w)，(v₀，η₀)∈B(θ_-tw)，有

证  首先，在(15)式中，由T₁代替T，θ_-tw代替w，并给所得式子两端分别乘以e^2κ(T₁-t)得

给(4)式中的第二式两边同乘η：

由Poincare不等式，存在ξ＞0，有ξ ‖η‖²≤ $ \frac{\mathit{\kappa }}{2}$‖▽η‖²，则对(28)式联合Young不等式可得

则对(29)式当t≥T₁，在(T₁，t)上由Gronwall引理，并将所得式子中w替换为θ_-tw有

由τ$ \mapsto$z(θ_τω)是连续的，令$ \mathit{\kappa }=\frac{\mathit{\boldsymbol{\xi}}}{2}$，由引理1和(27)式可得：

对(31)式，由t+1代替t，t代替T₁

由于s∈[t，t+1]，有e^{ξ (s-t-1)}≥e^-ξ，因此由(32)式可得：

再因(v₀，η₀∈B(θ_-tw))，则存在T_B(w)＞0，当t≥T_B(w)＞0时，有

则由(33)及(34)式即可得

设T₂∈(0，t)，在(22)式中，用T₂替换t，并在所得式子两端同乘以$ {{\rm{e}}^{\mathit{\lambda }\left( {{\mathit{T}}_{\rm{2}}}-\mathit{t} \right)+2\mathit{\varepsilon }\int_{\mathit{s}}^{\mathit{t}}{\mathit{z}\left( {{\mathit{\theta }}_{\mathit{\tau -t}}}\mathit{w} \right)\rm{d}\mathit{\tau }}}}$得

对(21)式在(T₂，t)上由Gronwall引理，并将所得式子中的w替换为θ_-tw，我们有

其中，当t→+∞时，

我们结合(36)，(37)式有

对(38)式，用t+1代替t，t代替T₂有

注意到，当s∈[t，t+1]，有

则由(39)，(40)式可得

再由(v₀，η₀)∈B(θ_-tw)，所以存在T_B(w)＞0，当t≥T_B(w)，由(40)，(41)式有

引理3  设ε∈(0，1]，则对任意的B∈ $ \mathscr{B}$，P-a. e. w∈Ω，存在T=T_B(w)＞0和一个缓增随机变量M_ε(w)，使得对所有t≥T_B(w)，(v₀，η₀)∈B(θ_-tw)，有

证  给(8)式中的第一式两端同乘-Δu，则有：

给(8)式中的第二式两端同乘-Δη，则有：

又由文献[1]及Young不等式可得：

再结合(43)-(46)及Young不等式整理可得：

其中，

我们令

由(47)式有

为便于讨论，我们令

结合(48)，(49)式可得：

令s∈(t，t+1)，对(50)式在(t，t+1)上由Gronwall引理可得：

再对(51)式关于s在(t，t+1)上积分，并在所得式子中由θ_-t-1w代替w可得：

由引理1，存在T_B(w)＞0，当t≥T_B(w)时，我们有

则

由引理2，存在T_B(w)＞0，当t≥T_B(w)时，我们有

结合(54)，(55)式可得

而

其中，由引理1

则结合(57)，(58)式及引理2，并由τ→z(θ_τw)的连续性可得：

则由(55)-(59)式我们有：

由引理3以及V到H的Soblev紧嵌入，我们得到H空间中随机吸引子的存在唯一性.

定理1  固定ε∈(0，1]，则方程(4)在H上存在唯一的随机吸引子.特别地，带乘性白噪声的随机Boussinesq方程组在H上存在唯一的随机吸引子$ \mathscr{A}$_ε={A_ε(ω)：ω∈Ω}∈ $ \mathscr{B}$.

证  由引理1-3可得该定理成立.

现在考虑当ε→0⁺时，吸引子的渐近行为.

接下来记ξ^ε=(u^ε，η^ε)是方程(8)的解，ξ =(u，η)是方程

的解.将由(4)式生成的动力系统记为φ_ε.

由文献[3]随机吸引子的上半连续性的理论结果，证明系统的收敛性.

引理4  给定ε∈(0，1]，ξ^ε，ξ分别为(4)式和(60)式的解，则对P-a. e. ω∈Ω，t＞0，当ε→0，ξ₀^ε→ξ₀时，有

证  令

则由(4)式中第一式和(60)式中第一式可得：

对(62)式在H₁中用W₁作内积，其中

则对(60)式在H₁中用W₁作内积有：

而

结合(64)-(67)式，我们有：

其中令

对(68)式在(0，t)上由Gronwall引理可得：

由τ $ \mapsto$z(θ_τω)是连续的，对任意的t＞0，w∈Ω，有

同理

结合(69)-(71)式，由Lebesgue控制收敛定理，当ε→0时有‖W₁(t，w，W₁₀)‖→0

由(8)式中的第二式及(64)式可得

对(73)式在H₂中用W₂作内积，其中

则对(73)式在H₂中用W₂作内积有：

而

结合(75)-(77)式可得

与对(69)式的讨论类似，当ε→0时我们有

结合(69)及(79)式可知该引理成立，即

定理2  给定ε∈(0，1]，令$ \mathscr{A}$_ε={A_ε(w)}_w∈Ω是方程组(4)的随机吸引子，$ \mathscr{A}$是方程组(60)的全局吸引子，则对P-a.e. w∈Ω，有

证  由引理1，定义如下的K_ε={K_ε(w)}_w∈Ω：

其中r₁(w)和r_2ε(w)分别由(14)和(15)式给出.从而有

即K_ε存在一致的上界.由引理3知，E_ε(w)={ ξ ∈H：‖ ξ ‖_V²≤M_ε(w)}是H中紧的随机吸收集.由引理3的证明过程易知：M_ε(w)关于ε是递增的(类似于r_1ε(w))，则

所以，∪_0＜ε≤1A_ε(w)在H中是预紧的.由文献[4]的理论结果和引理4，结论成立.