考虑如下修正的Schrödinger方程：

其中$V \in C({\mathbb{R} ^3}, \mathbb{R}), g \in C({\mathbb{R} ^3} \times \mathbb{R}, \mathbb{R})$，并且满足以下条件：

(V₀) $\mathop {\inf }\limits_{x \in {\mathbb{R}^3}} \; V(x) > 0$；

(V₁) $\mathop {\lim }\limits_{\left| x \right| \to \infty } V(x) = \mathop {\sup }\limits_{x \in {\mathbb{R} ^3}} V(x) < \infty $；

(g₁)当t≥0时，g(x，t)≥0；当t＜0时，g(x，t)≡0；

(g₂) $\mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \frac{{g(x, t)}}{t} = 0$关于${x \in {\mathbb{R} ^3}}$一致成立；

(g₃)存在$h \in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$，l＞Λ，使得：

关于${x \in {\mathbb{R}^3}}$一致成立，并且：

(g₄)对任意的t＞0，${x \in {\mathbb{R}^3}}$，有$\frac{1}{4}$g(x，t)t-G(x，t)≥0，其中$G(x, t) = \int_0^t {g(x, s){\rm{d}}s.} $.

近年来，有很多学者对方程(1)近行了广泛的研究，得到了方程解的存在性和多重性(文献[1-7]).文献[1]考虑g(u)=|u|^p-1u(4＜p+1＜22^*)，运用约束极小化方法，获得了方程正基态解的存在性.文献[2]通过变量替换，将拟线性问题转化为半线性问题，运用山路引理，在Orlicz空间中证明对自治情形g(u)=λ|u|^p-1u(4＜p+1＜22^*)下正解的存在性.文献[3-4]假设在无穷远处G(x，t)~t⁴，并假设V是强制的，运用山路引理获得了非平凡解的存在性.受上述结论的启发，我们将考虑在无穷远处g(x，t)~t³，且V是渐近常数的情形.本文的主要结果是：

定理1  假设条件(V₀)-(V₁)，(g₁)-(g₄)都满足，则方程(1)至少有1个正解.

注1  容易找到满足定理1条件的V和g，如：

方程(1)对应的能量泛函为：

通过方程(1)的形式发现泛函I没有适当的作用空间，所以不能直接对泛函I应用变分方法.本文采用文献[2]的方法对泛函I作变量替换克服困难.令v=f^-1(u)，其中f定义为：

引理1^[6]  泛函f和f′有如下性质：

(f₁) f是唯一的，可逆的，并且f∈C^∞；

(f₂)对任意的$t \in \mathbb{R} $，|f′(t)|≤1；

(f₃)对任意的$t \in \mathbb{R} $，|f(t)|≤|t|；

(f₄) $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{f(t)}}{t} = 1$；

(f₅) $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{f(t)}}{{\sqrt t }} = {2^{\frac{1}{4}}}$；

(f₆)对任意的$t \in \mathbb{R} $，$\frac{{{f^2}(t)}}{2}$≤tf′(t)f(t)≤f²(t)；

(f₇)对任意的$t \in \mathbb{R} $，$\left| {f(t)} \right| \le {2^{\frac{1}{4}}}\sqrt {\left| t \right|} $；

(f₈)存在r＞0，使得

(f₉)对任意的$t \in \mathbb{R}, \left| {f(t)f'(t)} \right| < {2^{ -\frac{1}{2}}}$.

因此，泛函I经过变量替换获得如下形式：

J在H¹(${\mathbb{R}^3}$)中是C¹的，且

对任意的w∈H¹(${\mathbb{R}^3}$)，有

泛函J的临界点对应方程

的弱解.如果v是泛函J的临界点，那么u=f(v)是泛函I的临界点，则u=f(v)是方程(1)的解.因此，我们只需找到泛函J的临界点.

引理2  存在ρ＞0，α₀＞0，使得

证  由条件(g₂)，(g₃)可知，对任意的ε＞0，存在C＞0，4≤p≤6，使得

因此

再由性质(f₃)和Sobolev嵌入不等式可得

其中τ₂，τ_p为嵌入常数.根据性质(f₈)可知，存在r＞0，使得

令

由(5)式可获得

其中r₁=min{1，r}，选取$\varepsilon \le \frac{{{r_1}}}{{{\tau _2}}}$，当‖v‖=ρ足够小时，有J(v)≥α₀＞0.

引理3  存在v₀∈H¹(${\mathbb{R}^3}$)，满足‖v₀‖＞ρ和J(v₀)＜0.

证根据条件(g₃)，可以找到ϕ^*∈H¹(${\mathbb{R}^3}$)，满足|ϕ^*|₂=1，‖ϕ^*‖²＜l.因此由性质(f₃)，(f₅)和条件(g₃)以及Fatou引理可得

令v₀=tϕ^*，当t足够大时，有J(v₀)＜0.

引理4  泛函J的每一个(C_e)_c(c＞0)序列{v_n}是有界的.

证  设{v_n}⊂H¹(${\mathbb{R}^3}$)是J的(C_e)_c(c＞0)序列，即满足：

为了证明{v_n}有界，我们首先证明序列{v_n}满足不等式

令

由(6)式我们有

以及

结合(8)和(9)式，并根据条件(g₄)可得

因此{f(v_n)}在H¹(${\mathbb{R}^3}$)中是有界的.再根据(4)式和Sobolev嵌入不等式，存在c₁＞0，满足

因此由(9)和(10)式可得{v_n}满足不等式(7).其次证明$\int_{{\mathbb{R}^3}} {{{\left| {{v_n}} \right|}^2}{\rm{d}}x} $是有界的.事实上，

一方面，根据Sobolev嵌入不等式得

另一方面，由性质(f₈)可知，对任意|t|≤1，存在k＞0，使得

所以

从而{v_n}有界.

定理1的证明  由引理2和引理3可知，J具有山路结构.所以存在序列{v_n}⊂H¹(${\mathbb{R}^3}$)，使得当n→∞时，有：

其中：

再由引理4知，{v_n}是有界的(C_e)_c序列.因此存在子列(不妨记为{v_n})和v∈H¹(${\mathbb{R}^3}$)，使得在H¹(${\mathbb{R}^3}$)中v_n⇀v.根据定理1的假设条件易知泛函J′是弱连续的，因此J′(v)=0.若v≠0，则证明完成.若v=0，令

其中

由于当|x|→∞时，有V(x)→V(∞)，g(x，t)→h(t)，且在L_loc²(${\mathbb{R}^3}$)中，有f(v_n)→0，因此当n→∞时，可得

以及

因此{v_n}也是泛函$\tilde J$的(C_e)_c序列.根据{v_n}有界，可得

若δ=0，应用Lions引理^[7]得：在L^q(${\mathbb{R}^3}$)(2＜q＜2^*)中v_n→0.由性质(f₃)和(3)式，可得

由ε的任意性，我们获得

再根据

以及性质(f₆)得

因此

这与c＞0矛盾，从而δ＞0.所以存在N₁＞0，使得当n＞N₁时，有

并由(11)式知，存在序列{y_n}⊂${\mathbb{Z}^N}$，使得

令

由$\tilde J$自治可知{${\tilde v_n}$}也是$\tilde J$的(C_e)_c序列，并由{v_n}有界易得{${\tilde v_n}$}也是有界的，则存在$\tilde v$∈H¹(${\mathbb{R}^3}$)，使得${{\tilde v}_n} ⇀ \tilde v, \tilde J'(\tilde v) = 0$.再由(12)式，我们有

又因为在有界区域里${{\tilde v}_n} \to \tilde v$，所以

因此$\tilde v \ne 0$，即${\tilde v}$是${\tilde J}$的非平凡临界点.由性质(f₆)和Fatou引理可得

所以${\tilde v}$满足$\tilde J(\tilde v) \le c$.由文献[8]可知${\tilde v}$满足Pohozaev-type恒等式

利用文献[9]的办法，对任意的t＞0，令${w_t}(x) = \tilde v\left({\frac{x}{t}} \right)$.根据(3)式，得

因此，存在t₀＞0，当t≥t₀时，有$\tilde J({w_t}) < 0$，并且

对任意的0＜t≤1，令

当t=0时，令γ(t)(x)≡0.那么γ(t)∈C([0, 1]，H¹(${\mathbb{R}^3}$))，${\tilde J}$(γ(1))＜0.根据条件(V₁)，(g₃)以及J的连续性可知，存在$\hat t \in (0, 1]$，使得

矛盾.因此v≠0，由(g₁)易得v≥0.我们断言v＞0.事实上，若v≥0，则存在r′＞0，y∈${\mathbb{R}^3}$，B_r′(y)⊂${\mathbb{R}^3}$，满足

由假设条件知

因此

再由性质(f₂)，(f₃)以及条件(V₁)，可得

根据强极大值原理得v＞0.