假定Y是实局部凸拓扑向量空间，Y^*是Y的拓扑对偶空间. ℝⁿ表示n维欧式空间，ℝ₊ⁿ表示ℝⁿ中的非负象限锥. K为Y中的点闭凸锥.设A⊆Y，int A，cl A，cone A分别表示集合A的拓扑内部、拓扑闭包和锥包. A⊆Y的对偶锥定义为

定义1^[3]    设非空集合E⊆Y.若E满足0∉E且E+K=E，则称E是关于K的改进集. Y中的改进集全体记为 $\mathscr{F}_Y$ .

定义2^[4]    设E⊆Y为改进集.称A⊆Y是邻近E-次似凸的，若cl(cone(A+E))是凸集.

定义3^[7]    设E⊆Y为改进集且A⊆Y.称y∈A为A的E-超有效点，记作y∈SE(A，E)，若对任意V∈N(0)，存在U∈N(0)使得

例1    令Y=ℝ²，K=ℝ₊²，E={(x₁，x₂)：x₁+x₂≥1，x₁≥0，x₂≥0}且

显然E关于K是改进集且

对任意V∈N(0)，只要U∈N(0)足够小，则有cl(cone(A+E))∩(U-K)⊆V.于是可得0∈SE(A，E).

注1    y∈SE(A，E)当且仅当对任意V∈N(0)，存在U∈N(0)使得

文献[7]指出了E-超有效性与文献[6]中提出的E-Benson真有效性之间的关系.

注2    若y∈SE(A，E)，则y∈BE(A，E)，其中BE(A，E)表示A的E-Benson真有效点全体.

注3    若E=K\{0}，则定义3与文献[2]中提出的超有效点概念一致.

引理1^[9]    A⊆Y有界当且仅当对任意的f∈Y^*，均有sup{|f(x)|：y∈A}＜+∞.

定理1    设A⊆Y，E∈ $\mathscr{F}_Y$ 且y∈SE(A，E).若A-y是邻近E-次似凸的，则

证    对于f∈Y^*，由f在0点连续可知，存在V∈N(0)使得

对上述V，根据定义3可得，存在凸对称零邻域U∈N(0)且U⊆V使得

令Z=Y×Y×ℝ，定义Z中的子集如下：

其中U_ξ∈N(0)是凸对称的零邻域且U_ξ+U_ξ⊆U.由A-y的邻近E-次似凸性可知cl(cone(A+E-y))是凸集，即Q是凸锥.此外，易得S是Z的线性子空间，W是凸对称吸收集.

若u，v∈U_ξ满足y+u∈cl(cone(A+E-y))且v-y∈K，则y∈-u+cl(cone(A+E-y))，y∈v-K.于是，存在d∈cl(cone(A+E-y))，k∈K使得y=-u+d=v-k，即

因为u+v∈U_ξ+U_ξ⊆U，所以有

由(2)式可得y+u∈V.再由(1)式可得|f(y+u)|＜1.从而由u∈U_ξ⊆V有

于是，可得下式成立

否则，存在(y，-y，-f(y))∈S，(u，v，λ)∈W满足

于是有y+u∈cl(cone(A+E-y))，-y+v∈K且

此外，由(3)式和|λ|＜2可得

这与(5)式矛盾.因此，(4)式成立.由于(0，0，0)∈intW，则

此外，Q和(S+W-(0，0，4))显然是凸集，故存在0≠φ∈Z^*使得

根据Q是锥，可得φ∈Q^*且φ(γ)≤0，∀γ∈(S+W-(0，0，4)).由于φ≠0，故存在点w∈W使得φ(w)＞0，于是φ(0，0，4)＞0.不妨设φ(0，0，1)=1.由此可得supφ(S)≤4且因φ(S)有上界，故有φ(S)={0}.令

于是

由φ(q)≥0，∀q∈Q得

由于

故有

即

注4    若A为凸集且E=K\{0}，则定理1退化为文献[8]中的定理2.1.事实上，根据文献[10]中的命题4.1(ⅱ)可得

于是有

此外，

进而有

于是

由定理1得

则

因此

这就表明定理1退化到了文献[8]中的定理2.1.

定理2    设Y局部有界，A⊆Y，E∈ $\mathscr{F}_Y$ ，y∈A.若(A+E-y)^*-K^*=Y^*，则y∈SE(A，E).

证    由Y是实局部凸局部有界拓扑线性空间以及文献[8]可知，存在凸有界集U₀∈N(0).此外，cone(A+E-y)∩(U₀-K)是有界集.否则，存在网{t_α(y_α-e_α-y)=u_α-k_α：α∈I}是无界集，其中

由{u_α：α∈I}⊆U₀，得{u_α：α∈I}有界.进而可得{k_α：α∈I}无界.根据引理1，存在f₀∈Y^*使得

不失一般性，假设f₀(k_α)→+∞.由于

则存在g∈(A+E-y)^*和h∈K^*使得f₀=g-h.因此g=f₀+h.由g∈(A+E-y)^*及g在有界集U₀上连续可得

矛盾.于是cone(A+E-y)∩(U₀-K)有界.对任意V∈N(0)，存在t＞0使得

因此

从而由注1可知，y∈SE(A，E).

注5    定理2推广了文献[1]中的命题2.2，文献[8]中的定理2.2.事实上，若取E=K\{0}，则根据注4可得

于是(A-y)^*-K^*=Y^*.由定理2得y∈SE(A，E).根据注3有y就是文献[2]中定义的超有效点.于是，定理1退化为文献[8]中的定理2.2.

文献[8]中在锥是self-allied集的条件下获得了超有效性的最优性条件，其中A是self-allied集是指：A⊆Y，如果V∈N(0)，存在U∈N(0)且U⊆V满足若x，y∈A且x+y∈U，则x，y∈U.

推论1    设Y局部有界，K⊆Y是self-allied闭凸点锥.若A⊆Y，y∈A且A-y是邻近E-次似凸的，则y∈SE(A，E)当且仅当对任意f∈K^*，存在g∈K^*使得g-f∈K^*且

证    若y∈SE(A，E)，根据定理1有

故对任意f∈K^*，存在g∈(A+E-y)^*和h∈Y^*使得f=g-h.这表明g-f∈K^*且g∈K^*.因为g∈(A+E-y)^*，故g(y+e-y)≥0，∀y∈A，e∈E.于是

反之，若对任意f∈K^*，存在g∈K^*使得g-f∈K^*且

则有g∈(A+E-y)^*且g-f=h∈K^*.这表明

此外，因为Y是实局部凸局部有界拓扑线性空间，则由文献[9]中的定理9.3得，存在有界绝对凸零邻域U∈N(0)使得{(1/n)U：n∈ℕ}为Y的零邻域基.这意味着Y可度量.注意到K是self-allied集，则K^*-K^*=Y^*[8].根据(6)式可得

因此，Y^*=(A+E-y)-K^*.由定理2可得y∈SE(A，E).

注6    推论1推广了文献[1]中的推论2.3，文献[8]中的推论2.1.