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空间异质环境下带交错扩散项的Lotka-Volterra模型分岔解的稳定性

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徐茜. 空间异质环境下带交错扩散项的Lotka-Volterra模型分岔解的稳定性[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2018, 40(11): 35-40. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.11.006
引用本文: 徐茜. 空间异质环境下带交错扩散项的Lotka-Volterra模型分岔解的稳定性[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2018, 40(11): 35-40. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.11.006
Qian XU. The Stability of Bifurcating Solution for a Spatially Heterogeneous Lotka-Volterra Model with Cross Diffusion[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2018, 40(11): 35-40. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.11.006
Citation: Qian XU. The Stability of Bifurcating Solution for a Spatially Heterogeneous Lotka-Volterra Model with Cross Diffusion[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2018, 40(11): 35-40. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2018.11.006

空间异质环境下带交错扩散项的Lotka-Volterra模型分岔解的稳定性

  • 基金项目: 国家自然科学基金项目(11471221,11501031)
详细信息
    作者简介:

    徐茜(1982-), 女, 副教授, 主要从事反应扩散方程的研究 .

  • 中图分类号: O175.2

The Stability of Bifurcating Solution for a Spatially Heterogeneous Lotka-Volterra Model with Cross Diffusion

  • 摘要: 主要研究空间异质环境下带交错扩散项的Lotka-Volterra方程组分岔解的局部渐近稳定性.由分岔方向及细致的谱分析,证明了分岔平衡解是局部渐近稳定的.
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出版历程
  • 收稿日期:  2017-11-20
  • 刊出日期:  2018-11-20

空间异质环境下带交错扩散项的Lotka-Volterra模型分岔解的稳定性

    作者简介: 徐茜(1982-), 女, 副教授, 主要从事反应扩散方程的研究
  • 北京联合大学 基础部, 北京 100101
基金项目:  国家自然科学基金项目(11471221,11501031)

摘要: 主要研究空间异质环境下带交错扩散项的Lotka-Volterra方程组分岔解的局部渐近稳定性.由分岔方向及细致的谱分析,证明了分岔平衡解是局部渐近稳定的.

English Abstract

  • 本文主要研究下列空间异质环境下Lotka-Volterra交错扩散方程组

    其中:Ω$\mathbb{R}$N(N≤3)中的有界区域;c(x)>0和d(x)≥0都是连续函数,ρ(x)>0是光滑函数并且$\partial $νρ=0,x$\partial $Ωuv是被捕食者和捕食者;ak是正常数,b是实数,ab代表被捕食者和捕食者的出生率.交错扩散项Δ[ρ(x)vu]=▽[u▽(ρ(x)v)+ρ(x)vu]描述u扩散到ρ(x)v浓度低的区域的一种趋势.已有一些文章研究了关于空间异质环境对种群浓度的影响.文献[1-3]对于一些扩散的Lotka-volterra方程组研究了种内之间的退化效果;文献[4-7]研究了对于一些带扩散项的竞争方程组,空间异质环境下的出生率问题;文献[8]对于方程组(1)所对应的平衡解的方程组,证明了当ρcd是常数的时候,方程组由分岔参数b分岔出来的正解的集合Γp形成一个有界的曲线,并且当a和|b|小,k很大时,ρ(x),d(x)使得Γp关于b形成一个型的曲线;文献[9]研究了带两个趋化参数的趋化模型非常数平衡解的存在性.本文主要研究文献[8]中得到的分岔平衡解在分岔点(0,b*b*)处的稳定性.

  • 方程组(1)所对应的平衡解问题为:

    则方程组(2)变为

    易知方程组(3)有半平凡解集为Γv=(0,bb):b>0.定义空间

    其中

    对于固定的(kρ(x),c(x),d(x)),引进集合如下:

    为了后面证明的需要,先给出引理1.

    引理1[8]  任意固定(kρ(x),c(x),d(x)),则存在一个单调递增的光滑函数b=b*(a)满足

    使得

    定义正函数φ*为下列线性椭圆方程解

    引理2[8] 任意固定(kρ(x),c(x),d(x)),则下列结论成立:

    方程组(3)从Γv处分岔当且仅当b=b*>0,存在一个正数δ*和函数ψ*X使得在(Uvb)=(0,b*b*)∈X×$\mathbb{R}$附近所有正解有如下形式:

    其中

    是有界函数满足

  • 在方程组(1)中,令

    则方程组(1)变为

    在(U(s),v(s))处线性化方程组(5),相应的特征值问题为

    定义算子HX×$\mathbb{R}$Y

    经过简单计算可得:

    由式(4)可得

    其中

    方程组(6)可被改写为

    引进一算子LX×$\mathbb{R}$Y

    则方程组(6)可记为

    根据文献[10]中定理2.1和式(4.5)定义函数如下:

    定理1  对任意固定的(akρ(x),c(x),d(x)),由引理2定义的方程组(5)的分岔解(U(s),v(s))是局部渐近稳定的.

      首先证明0是L(0,b*b*)的第一特征值.对任意固定的(Uv)∈X满足

    φ*ψ*的定义易知

    因此0是L(0,b*b*)的一个特征值,下面证明0是L(0,b*b*)的第一特征值.反证法,假设0不是L(0,b*b*)的第一特征值,则存在L(0,b*b*)的一个正的特征值λ1及相应的特征函数U1v1X使得

    如果U1=0且v1≠0,则方程组(9)的第二个方程推出

    进而

    这是矛盾的,因为当-λ1v1为负时(-Δ+b*)-1(-λ1v1)是负的,因此U1≠0,则方程组(9)的第一个方程为

    由式(4)及单个椭圆方程定理,0是式(4)的第一特征值与λ1>0矛盾,因此0是L(0,b*b*)的第一特征值且其它特征值都是负的.应用文献[11]中的命题I.7.2,对0<sδ,存在扰动特征值σ(s)及连续可微函数φ1(s),φ2(s)∈X∩Range(L(Uv)(0,b*b*))满足

    类似地,存在扰动特征值σ(b)及连续可微函数φ1(b),φ2(b)∈X∩Range(L(Uv)(0,b*b*))满足

    在式(10)中对b进行求导及利用

    可推出

    其中

    由式(7)可推出

    由式(8)可计算如下方程

    由式(11)及(12)可得到

    由文献[11]中的公式得到

    其中

    由引理2及式(13)可知σ(0)<0.由此可推出当s>0且很小时σ(s)<0,因此引理2得到的分岔解(U(s),v(s))是局部渐近稳定的.

参考文献 (11)

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