-
假设E为实Banach空间, 其对偶空间为E*, 正规对偶映射J：E→2E*定义为
其中, 〈·, ·〉表示E和E*之间的对偶对.对∀t≥0, x∈X, 有：
用j表示单值正规对偶映射.众所周知：若E*为严格凸的Banach空间, 则J是单值的；若E*为一致凸的, 那么在E的每个有界集上, J为一致连续的[1].
映射T：C→C, F(T)={x∈C：Tx=x}表示T的不动点集, 其中C为E的非空闭凸子集.
定义1 (a)[2] 若存在数列{kn}⊂[1, +∞],
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {k_n} = 1$ , 使得对∀n≥1, 有则称映射T为渐近非扩张的；
(b) [3] 如果存在常数L, 使得对∀n≥1, 有
则称映射T为一致L-Lipschitzian的.
(c) [4] 若存在数列{kn}⊂[1, +∞],
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {k_n} = 1 $ , 使得对∀x, y∈C, 存在j(x-y)∈J(x-y), 使得则称映射T为渐近伪压缩的；
(d) [5] 若存在数列{kn}⊂[1, +∞],
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {k_n} = 1$ , 使得对∀x∈C, p∈F(T), 存在j(x-p)∈J(x-p), 使得则称映射T为渐近半伪压缩的.
注1 (a)取
$ L = \mathop {\sup }\limits_{n \ge 1} \{ {k_n}\} $ , 可知渐近非扩张映射必定是一致L-Lipschitzian映射, 同时也必定是渐近伪压缩映射；(b) 当不动点集F(T)≠∅时, 渐近伪压缩映射必定是渐近半伪压缩映射, 反之不成立[5].
目前, 关于非线性算子的不动点逼近, 仍然大量采用迭代逼近方法, 主要利用修正的Mann和Ishikawa迭代序列来逼近不动点[4-14].
设{Ti}i=1N是C上的有限族非扩张映射.文献[6]引入隐迭代序列{xn}n≥1如下：
其中函数mod N取值于1, 2, …, N, {αn}n≥1⊂[0, 1], 同时, 证明了在Hilbert空间中由(1)式所产生的迭代序列{xn}n≥1弱收敛于有限族非扩张映射的公共不动点.文献[7]将文献[6]的结果推广到了一致凸Banach空间中.
设{Ti}i=1N是C上的有限族渐近非扩张映射, 2008年, 文献[11]引入了一种具误差的隐迭代序列
其中Tnk=Tn(mod N)k(n), n=(k-1)N+i, i=i(n)∈{1, 2, …, N}, k=k(n)≥1, {αn}, {γn}⊂[0, 1], {un}为C中的有界列.文献[12]引入了如下的合成隐迭代序列：
其中Ti(n)k(n)=Tn(mod N)k(n), i(n)=(k(n)-1)N+i(n), i(n)∈{1, 2, …, N}, 正整数k(n)≥1, 并且当n→∞时, k(n)→∞, {αn}, {βn}, {γn}, {δn}⊂[0, 1], {un}, {vn}为C中的有界列.
特别地, 当βn=δn≡0时, (3)式简化为(2)式.
近来, 文献[13]在Banach空间中得到了一个Lipschitzian伪压缩映射关于隐迭代的收敛于不动点的充分必要条件.
受以上工作的启发, 本文在实Banach空间中引入有限族渐近半伪压缩映射具误差的合成隐迭代序列, 并讨论了有限族渐近半伪压缩映射在该迭代序列下的强收敛性, 得到了该迭代强收敛于有限族渐近半伪压缩映射公共不动点的充分必要条件.本文将文献[11-12]的渐近非扩张映射推广到了渐近半伪压缩映射, 将文献[13]中的一个映射推广到了一有限族映射, 将伪压缩映射推广到了渐近半伪压缩映射, 并将迭代序列推广到了带误差的情形.
全文HTML
-
设E为Banach空间, C为E的非空闭凸子集, {Ti}i=1N：C→C为一族N个一致L-Lipschitzian渐近半伪压缩映射.设{αn}, {βn}, {γn}, {δn}⊂[0, 1]为4个实数列, 对∀n≥1, 有αn+γn≤1, βn+δn≤1, {un}, {vn}为C中的有界列.任意给定初始x0∈C, 构造迭代序列
其中Ti(n)k(n)=Tn(mod N)k(n), i(n)=(k(n)-1)N+i(n), i(n)∈{1, 2, …, N}, 正整数k(n)≥1, 并且当n→∞时, k(n)→∞.
注2 对任意给定的xn∈C, 定义映射An：C→C为
则对∀x, y∈C, 有
当对∀n≥1, 有αnβnL2≤1时, 映射An：C→C为压缩映射.由压缩映照原理可知, 存在唯一不动点xn∈C, 即合成隐迭代序列(4)有意义.
以下给出本文用到的主要引理：
引理1[15] 设{an}, {bn}, {cn}是3个非负实数列, 满足
其中n0为某个常数(非负整数), 且
那么以下两个结论成立：
(ⅰ)极限
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} $ 存在；(ⅱ)如果存在子列{anj}⊂{an}, 满足
$ \mathop {\lim }\limits_{j \to \infty } {a_{{n_j}}} = 0$ , 则$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0 $ .引理2[16] 设C为Banach空间E中的非空子集, T：C→C为渐近半伪压缩映射, {kn}⊂[1, +∞),
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {k_n} = 1$ .那么, 对∀x∈C, p∈F(T), r＞0, 有其中I为恒等映射.
-
引理3 设C为Banach空间E中的一非空闭凸子集, {Ti}i=1N：C→C为一族N个一致L-Lipschitzian渐近半伪压缩映射, {kn}⊂[1, +∞),
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {k_n} = 1 $ , Lipschitz常数L＞1, 记$ F = \mathop \cap \limits_{i = 1}^N F\left( {{T_i}} \right)$ 表示一族N个一致L-Lipschitzian渐近半伪压缩映射的公共不动点集.如果{xn}⊂C由(4)式定义, 并满足以下条件：(a)
$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}{\beta _n} < \infty , \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \alpha _n^2 < \infty , $ $ \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}({k_n} - 1) < \infty $ ；(b)
$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\gamma _n} < \infty , \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}{\delta _n} < \infty $ ；(c) ∀n≥1, 有αnβnL2 < 1.
那么：
(ⅰ)存在两个数列{rn}, {sn}⊂[0, +∞],
$ \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {r_n} < \infty , \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {s_n} < \infty $ , 使得(ⅱ)极限
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ d(xn, F)存在, 其中证 (ⅰ) 由(4)式得到
并且
借助(5)式和(6)式, 可以得到
注意到
利用引理2, 可得
由(7)式和(8)式可得
也就是
接着, 我们作如下估计：
将(10)式和(11)式代入(9)式, 并注意到：
且
因为1+αn≥1, 整理可得
进一步整理得到
又因为
并注意到{αn}, {βn}, {δn}⊂[0, 1], L＞1, 则
因为：
可知：
从而
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ αn=0, 并注意到$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ kn=1, 因此存在某个正整数n0, 使得当n≥n0时, 有：所以
(12) 式变形可得
对于任意给定的p∈F, 注意到{un}, {vn}的有界性, 则存在常数M＞0, 使得：
(13) 式可变形为
其中：
由条件(a), (b), (c)可知：
(ⅱ) 对于所有的p∈F, 对(14)式两边取下确界, 得到
由引理1可知, 极限
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ d(xn, F(T))存在.定理1 设C为Banach空间E中的非空闭凸子集, {Ti}i=1N：C→C为一族N个一致L-Lipschitzian渐近半伪压缩映射, {kn}⊂[1, +∞),
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ kn=1, Lipschitz常数L＞1, 记$ F = \mathop \cap \limits_{i = 1}^N F\left( {{T_i}} \right)$ 表示一族N个一致L-Lipschitzian渐近半伪压缩映射的公共不动点集.如果{xn}⊂C由(4)式定义, 并满足以下条件：(a)
$ \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}{\beta _n} < \infty , \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \alpha _n^2 < \infty , $ $ \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}({k_n} - 1) < \infty $ ；(b)
$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\gamma _n} < \infty , \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}{\delta _n} < \infty $ ；(c) ∀n≥1, 有αnβnL2 < 1.
那么{xn}强收敛于{Ti}i=1N的一个公共不动点的充分必要条件为
证 必要性显然.事实上, 设p∈F,
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ xn=p, 那么有当n→∞时, 则有
下证充分性.设
由(14)式和引理1可知
以下证明{xn}为C中的Cauchy列.事实上, 对∀p∈F以及任意的正整数m, n, m＞n≥n0, 我们知道当x≥0时, 1+x≤ex, 借助引理3, 得到
其中
$ Q = {{\rm{e}}^{\mathop \sum \limits_{j = 1}^\infty {r_j}}}$ .则对∀p∈F, 取下确界, 有
因为：
可知{xn}⊂C是Cauchy列.因为E为Banach空间, C为E中的非空闭凸子集, 所以存在p0∈C, 使得
接下来证明p0∈F.因为{Ti}i=1N是一致L-Lipschitzian映射, 可知{Ti}i=1N是连续的, {Ti}i=1N的公共不动点集F是闭集.又注意到
所以p0∈F.
定理2 设C为Banach空间E中的非空闭凸子集, {Ti}i=1N：C→C为一族N个一致L-Lipschitzian渐近半伪压缩映射, {kn}⊂[1, +∞),
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ kn=1, Lipschitz常数L＞1, 记$ F = \mathop \cap \limits_{i = 1}^N F\left( {{T_i}} \right)$ 表示一族N个一致L-Lipschitzian渐近半伪压缩映射的公共不动点集.如果{xn}⊂C由(4)式定义, 并满足下条件：(a)
$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}{\beta _n} < \infty , \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty \alpha _n^2 < \infty , $ $ \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}({k_n} - 1) < \infty $ ；(b)
$\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\gamma _n} < \infty , \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty {\alpha _n}{\delta _n} < \infty $ ；(c) ∀n≥1, 有αnβnL2 < 1.
那么{xn}强收敛于{Ti}i=1N的一个公共不动点p的充分必要条件为存在子列{xnk}⊂{xn}, 使得
$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } $ xnk=p.证 因为
由定理1可知定理2成立.
下载: