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分数阶微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际应用价值[1-11].近年来，分数阶微分方程已被广泛地应用于流体力学、材料力学、天文学等学科.随着分数阶微分方程理论的不断发展和完善，分数阶微分方程成为了科学中很多复杂现象建模的重要工具，并不断展现出它独特的优势.
受文献[1-2]的启发，本文利用Krasnoselskii不动点定理研究了分数阶微分方程奇异系统边值问题
正解的存在性，其中2＜αi≤3，fi：[0，∞)→[0，∞)连续，
$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty $ ，i=1，2，…，n，Do+α是标准的Riemann-Liouville型分数阶导数.
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引理1[6] 若g(t)∈C[0, 1]，2＜α≤3，分数阶微分方程
的唯一解是
$u\left( t \right) = \int_0^1 {G\left( {t, s} \right)g\left( s \right){\rm{d}}s} $ ，其中引理2[6] 函数G(t，s)具有性质：(ⅰ)对于任意t，s∈(0，1)，G(t，s)＞0；(ⅱ)对于任意t，s∈(0，1)，G(t，s)≥θ(t)G(1，s).其中θ(t)=tα-1.
引理3 假设g(t)∈C[0, 1]，则u(t)∈C[0, 1]是边值问题(2)的解当且仅当u(t)∈C[0, 1]是积分方程
$u\left( t \right) = \int_0^1 {G\left( {t, s} \right)g\left( s \right){\rm{d}}s} $ 的解.引理4[7] 设E是Banach空间，P是E中的锥，Ω1，Ω2为E中的有界开集且满足θ∈Ω1⊆Ω1⊆Ω2.设A：P∩(Ω2\Ω1)P是全连续算子，如果满足下列条件之一：
(ⅰ)‖Au‖≥‖u‖(u∈P∩əΩ1)，且‖Au‖≤‖u‖(u∈P∩əΩ2)；
(ⅱ)‖Au‖≤‖u‖(u∈P∩əΩ1)，且‖Au‖≥‖u‖(u∈P∩əΩ2).
则A在P∩(Ω2\Ω1)中至少有一个不动点.
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为了方便，做以下记号：
在本文中，我们给出下面的假设条件：
(A1) fi(u(t))：[0，∞)n→[0，∞)(i=1，2，…，n)连续；
(A2) 对于任意t∈[0, 1]，vi(t)≥0，hi(t)≥0为连续函数，且
$\int_0^1 {{v_i}\left( s \right){\rm{d}}s} > 0$ (i=1，2，…，n).设X=C[0, 1]，其范数
$\left\| u \right\| = \mathop {\sup }\limits_{t \in \left[ {0, 1} \right]} \left| {u\left( t \right)} \right|$ .在E=X×X×…×X=Xn中定义范数$\left\| u \right\| = \sum\limits_{i = 1}^n {\left\| {{u_i}} \right\|} $ ，则{E，‖·‖}是Banach空间.定义E中的锥定义算子T=(T1，T2，…，Tn)：P→E，其中
由引理3知，算子T的不动点即系统(1)的解，解的形式为
其中
引理5 假设条件(A1)和(A2)成立，那么算子T：P→P是全连续的.
引理6 假设条件(A1)和(A2)成立，若存在η＞0，1≤j≤n，j∈
$\mathbb{N}$ ，使得那么‖Tu‖≥ληL‖u‖，其中
证 对于u∈əΩr，有
其中
引理7 假设条件(A1)和(A2)成立.令
若存在ε＞0，使得
${{\tilde f}_i}$ (r)≤εr(i=1，2，…，n)，那么证 对于u∈əΩr，有
引理6和引理7是基于f(u)和u的不等式.与此类似，可得如下结论：
引理8 假设条件(A1)和(A2)成立，那么对于u∈əΩr，有
引理9 假设条件(A1)和(A2)成立，那么对于u∈əΩr，有
定理1 假设条件(A1)和(A2)成立，且
$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty $ (i=1，2，…，n)，则：(ⅰ)若
$\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = 0$ (i=1，2，…，n)，那么对于任意λ＞0，系统(1)有一个正解；(ⅱ)若
$\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = \infty $ (i=1，2，…，n)，那么对于充分小的λ＞0，系统(1)有两个正解；(ⅲ)若存在λ0＞0，使得0＜λ＜λ0，那么系统(1)有一个正解.
证 (ⅰ) 由
$\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = 0$ ，可知$\mathop {\lim }\limits_{\omega \to \infty } \frac{{{{\tilde f}_i}\left( \omega \right)}}{\omega } = 0$ (i=1，2，…，n).取使得
其中ε＞0，且满足λKε＜
$\frac{1}{2}$ .根据引理7，可得由
$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty $ 知，存在r1＜r2，使得其中η＞0，且满足ληL＞1.于是有
根据引理6，可得
由引理4知，存在u∈Ωr2\Ωr1为系统(1)的一个解.
(ⅱ)取0＜r2＜r3，则存在λ0＞0使得：
根据引理9可得，对于0＜λ＜λ0，有‖Tu‖＜‖u‖(u∈əΩrp， p=2，3).另一方面，由
$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty $ 和$\;\mathop {\lim }\limits_{u \to \infty } \frac{{{f_i}\left( u \right)}}{u} = \infty $ 知，存在0＜r1＜r2＜r3＜r4′＜r4，使得fi(u)≥η|u|(i=1，2，…，n)，其中u=(u1，u2，…，un)∈E，0＜|u|≤r1或|u|≥r4′，且η＞0满足ληL＞1.于是有令
${r_4} = \max \left\{ {2{r_3}, \frac{1}{\theta }{{r'}_4}} \right\}$ ，若u=(u1，u2，…，un)∈əΩr4，那么：根据引理6，可得：
由引理4知，存在u1∈Ωr2\Ωr1和u2∈Ωr4\Ωr3为系统(1)的解，且r1＜‖u1‖＜r2＜r3＜‖u2‖＜r4.
(ⅲ)取r2＞0，根据引理9可得，对于0＜λ＜λ0，有
由
$\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} {f_i}\left( u \right) = \infty \;$ 知，存在0＜r1＜r2使得其中η＞0，且满足ληL＞1.于是有
根据引理6可得
由引理4，存在u∈Ωr2\Ωr1为系统(1)的一个解.
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