定义1  若记X₁⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾(1)，x₁⁽⁰⁾(2)，…，x₁⁽⁰⁾(n))为系统的特征数据序列，X_i⁽⁰⁾=(x_i⁽⁰⁾(1)，x_i⁽⁰⁾(2)，…，x_i⁽⁰⁾(n))(i=2，3，…，N)为系统的相关因素数据序列，X_i⁽¹⁾=(x_i⁽¹⁾(1)，x_i⁽¹⁾(2)，…，x_i⁽¹⁾(n))(i=1，2，…，N)为X_i⁽⁰⁾(i=1，2，…，N)的一阶累加生成序列，其中

Z₁⁽¹⁾=(z₁⁽¹⁾(2)，z₁⁽¹⁾(3)，…，z₁⁽¹⁾(n))为X₁⁽¹⁾的紧邻均值生成序列，其中

则称

为GM(1，N)模型.

定理1  X_i⁽⁰⁾，X_i⁽¹⁾(i=1，2，…，N)和Z₁⁽¹⁾参见定义1，则GM(1，N)模型参数的最小二乘估计值$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=(a，b₂，b₃，…，b_n)^T满足

(1) 当n＜N+1，且|B^TB|≠0时，$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=B^T(B^TB)^-1Y；

(2) 当n=N+1，且|B|≠0时，$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=B^-1Y；

(3) 当n＞N+1，且|B^TB|≠0时，$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=(B^TB)^-1B^TY

其中

证    证明过程可参考文献[10]，在此略.

定义2  若$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=(a，b₂，b₃，…，b_n)^T，则称

为GM(1，N)模型的白化微分方程.

定理2  X_i⁽⁰⁾，X_i⁽¹⁾(i=1，2，…，N)，Z₁⁽¹⁾和$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$参见定义1和定理1，初始条件$\hat x$₁⁽¹⁾(1)=x₁⁽¹⁾(1)=x₁⁽⁰⁾(1)，当X_i⁽¹⁾(i=2，3，…，N)变化幅度不大时，GM(1，N)模型的时间响应式为：

还原式为：

证  求解方程(5)可得

若X_i⁽¹⁾(i=2，3，…，N)变化幅度不大时，可以认定$\sum\limits_{i = 2}^N {{b_i}} x_i^{(1)}(t)$为灰常量，则GM(1，N)模型的时间响应式为：

若令$\hat x$₁⁽¹⁾(1)=x₁⁽¹⁾(1)=x₁⁽⁰⁾(1)，则可得

于是

对方程(5)两边同时在[k-1，k]上积分，有

即

则

若将z₁⁽¹⁾(k)=$\frac{1}{2}$[x₁⁽¹⁾(k-1)+x₁⁽¹⁾(k)]近似代替$\int_{k - 1}^k {x_1^{(1)}} (t){\rm{d}}t$，并视x_i⁽¹⁾(t)(i=2，3，…，N)为灰常量，则该模型为传统的GM(1，N)模型：

事实上，将x_i⁽¹⁾(t)(i=2，3，…，N)视为灰常量，即认为X_i⁽¹⁾(i=2，3，…，N)变化幅度不大，而在实际中X_i⁽¹⁾(i=2，3，…，N)变化幅度很大的情况并不少见，所以在离散化过程中易带来较大误差.为尽量减少误差，考虑到一阶累加后的序列X_i⁽¹⁾(i=1，2，…，N)一般具有灰指数率，而且一般是近似非齐次指数增长率，于是可假设

其中α_i，β_i，γ_i为待定常数，且满足

在区间[k-1，k]上，令

为了求出α_i，β_i，γ_i的值，在区间[k-1，k]上充分利用x_i⁽¹⁾(k-1)和x_i⁽¹⁾(k)的值，并利用初始点x_i⁽¹⁾(1)的值建立方程组：

由式(18)减式(17)可得

即

于是

由式(20)和式(21)可得

则

由式(20)和式(22)可得

由式(19)、式(22)和式(23)可得

将式(22)、式(23)和式(24)代入D_i⁽¹⁾(k)，可得

将D_i⁽¹⁾(k)代替$\int_{k - 1}^k {x_i^{(1)}} (t){\rm{d}}t$的值，可得到

其中

定义3  X_i⁽⁰⁾和X_i⁽¹⁾(i=1，2，…，N)见定义1，则称

为改进的GM(1，N)模型，其中

方程

为改进的GM(1，N)模型的白化微分方程.

定理3  设$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=[a，b₂，b₃，…，b_N]^T，

1) 当n＜N+1且|B^TB|≠0时，$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=B^T(B^TB)^-1Y；

2) 当n=N+1且|B|≠0时，$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=B^-1Y；

3) 当n＞N+1且|B^TB|≠0时，$\mathit{\boldsymbol{\hat a}}$=(B^TB)^-1B^TY.

证    证明方法同定理1，此略.

定理4  改进的GM(1，N)模型见定义3，则其时间响应函数为：

1) 当k=1时，

2) 当k≥2时，

其中

C为待定常数.

证    由改进的GM(1，N)模型的白化微分方程可解得

则

当k=1时，$\hat x$₁⁽¹⁾(1)=${{\rm{e}}^{ - a}}\left\{ {\int_1^1 {{{\rm{e}}^{a\omega }}} \left[ {\sum\limits_{i = 2}^N {{b_i}} x_i^{(1)}(\omega )} \right]{\rm{d}}\omega + C} \right\} = C{{\rm{e}}^{ - a}}$；当k≥2时，考虑到累加后序列只是近似服从指数增长，为了充分利用每个数据，尽量避免由于个别数据误差较大而带来的影响，本文将区间[1，k]分解为多个长度为1的区间之和，即

于是

令x_i⁽¹⁾(ω)=α_ie^β_iω+γ_i，其中

则

对于定理4中常数C的确定一般有两种方法：

1) 取定$\hat x$₁⁽¹⁾(1)=x₁⁽¹⁾(1)=x₁⁽⁰⁾(1)，可得$\hat x$₁⁽¹⁾(1)=Ce^-a，则

2) 以绝对误差的平方和最小为准则来确定，见定理5.

定理5  若以绝对误差的平方和最小为准则，改进的GM(1，N)模型的时间响应函数中常数C的最优值为

证  若记

则模型的绝对误差平方和

求导可得

令f^′(C)=0，得

即得驻点

又由于

故C=C₀为f(C)的极小值点.由于极值点唯一，则极小值点同时为最小值点，即f(C)在C=C₀处取得最小值.

文献[10]和文献[11]通过借用经典GM(1，1)幂模型的建模机理，提出了灰色多变量GM(1，N)幂模型，并通过实际应用说明了模型具有较好的实用性，是对传统GM(1，N)模型的有效推广.为了验证本文提出的改进的GM(1，N)模型的模拟预测效果，下面通过两个实例对传统GM(1，N)模型、GM(1，N)幂模型和本文中两种不同初值条件下的改进的GM(1，N)模型加以比较.为方便起见，记利用点(1，x₁⁽⁰⁾(1))确定初值的改进的GM(1，N)模型为改进的GM(1，N)模型1，记绝对误差平方和最小意义下的改进的GM(1，N)模型为改进的GM(1，N)模型2.

为了验证改进的GM(1，N)模型的模拟预测效果，现采用一个算例进行模拟分析.取x₁⁽⁰⁾(k)=20e^0.09k和x₂⁽⁰⁾(k)=30e^0.06k，令k=1，2，…，6，可得系统的特征序列：

系统的相关因素序列：

对原始序列X_i⁽⁰⁾(i=1，2)分别建立传统GM(1，2)模型、GM(1，2)幂模型、改进的GM(1，2)模型1和改进的GM(1，2)模型2，得到的具体模拟结果和相对误差见表 1.

从表 1可看出，传统的GM(1，2)模型和GM(1，2)幂模型的平均相对误差分别为6.50%和4.39%，而两种改进的GM(1，2)模型的平均相对误差分别为2.47%和2.48%，建模精度显著提高.

表 2为2009-2014年广东省高新技术投入(R & D占GDP比例)和产出(产品产值)数据(来源：广东科技统计网，http://www.sts.gd.cn/).

以广东省高新技术产品产值序列为系统特征序列，即

以R & D占GDP比例序列为系统相关因素序列，即

下面对X₁⁽⁰⁾和X₂⁽⁰⁾分别建立传统的GM(1，2)模型、GM(1，2)幂模型、改进的GM(1，2)模型1和改进的GM(1，2)模型2，得到的模拟结果见表 3.

从表 3可以看出，传统GM(1，2)模型和GM(1，2)幂模型的平均相对误差分别为13.86%和7.29%，而本文提出的两种改进的GM(1，2)模型的平均相对误差分别为5.78%和6.13%，说明改进的GM(1，2)模型能更准确反映广东省高新技术产业总产值的变化规律，更具实用性.

灰色多变量模型能够有效反映现实经济社会系统中普遍存在着的相互依赖、相互制约的关系.本文通过分析传统GM(1，N)模型的不足，重构了传统GM(1，N)模型的背景值，并对模型的时间响应式进行了近似计算.在初值的选取上，提供了两种不同的方式确定，在实际应用时可根据具体情况灵活选择.最后数值实例表明改进后的GM(1，N)模型能有效提高建模精度.本文提出的模型是在一阶累加序列具有近似非齐次指数增长率的前提下改进的，如果原始序列具有近似齐次指数率，那么改进效果显著；如果原始序列为振荡序列，那么改进效果有限，甚至可能出现精度反而降低的现象.因此，如何有效增强GM(1，N)模型的适应性，是值得进一步研究的问题.