趋化性即由介质中化学物质的浓度差异形成的刺激所引起的趋向性，有正趋化性和负趋化性两种.著名的趋化模型^[1]最初是由Keller-Segel在1970年提出的，它详细刻画了细胞的正趋化性，即细胞的趋化吸引现象.

因此，本文考虑如下一类拟线性抛物-椭圆的趋化增长系统

其中：Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域；N≥3；χ，μ，m，α，γ和β为正参数，并且满足m≥1和γ≥1.文献[2]证明，当β=1，如果α>m+γ-1或α=m+γ-1且μ>$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $，则对于任何给定的非负初值函数u₀ ∈W^1，∞(Ω)，该方程存在全局有界的经典解；文献[3]证明了在N≤2或μ>$\frac{{N-2}}{N}\chi $的情况下，方程对于任意的初值有唯一的全局有界经典解；文献[4]进一步表明，对于任意给定初值，方程组(1)有唯一的全局有界经典解的结论仍然适用于β=1的临界情况α=m+γ-1且μ=$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $.

基于已有的研究，本文进一步研究了在β>1的情况下方程组的解(u，w)在任意给定的非负初值函数u₀∈W^1，∞(Ω)的情况下的有界性.具体结论如下：

定理1 设Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域，N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数，且满足

若下列3个条件之一成立，

(Ⅰ) α>m+γ-1.

(Ⅱ) α=m+γ-1且μ>$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $.

(Ⅲ) α=m+γ-1且μ=$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $.

则对于任意给定的非负初值函数u₀∈W^1，∞(Ω)，方程组存在全局经典解(u，w)在Ω×(0，∞)上有界，即存在常数C>0使得

注：为了方便以下证明中将$\int_\mathit{\Omega } {} $udx简写为$\int_\mathit{\Omega } {} $u.

引理1 设Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域，N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且满足m≥1，γ≥1，β>1，若一个非负的初值函数u₀ ∈W^1，∞(Ω)，则存在T_max ∈(0，∞]使得方程组(1)的解(u，w)在Ω×(0，T_max)上满足

且Ω×(0，T_max)上的非负函数u和w使得

或

证 利用半群理论和不动点理论可以证明方程解的局部存在性，详细证明参考文献[3，5].由最大值原理可得函数u的非负性，同时也得出了函数w的非负性.

引理2 在定理1的条件下，方程组(1)的解满足

证 对方程组(1)的第一个方程积分得

利用Hölder不等式，得$\int_\mathit{\Omega } {} $u^1+α≥$\frac{1}{{{{\left| \mathit{\Omega } \right|}^\alpha }}}{\left( {\int_\mathit{\Omega } u } \right)^{1 + \alpha }}$，因此有

由常微分方程的比较原理，存在C₁：=max{$\int_\mathit{\Omega } {} $u₀，|Ω|}使得引理成立.

引理2证明了‖u(·，t)‖_L¹(Ω)的有界性，为了证明‖u(·，t)‖_L^p(Ω)的有界性需要以下引理.

引理3 设1 < p < +∞，在定理1的条件下，方程组(1)的解满足

证 对方程组第一个方程乘以u^p-1，并积分得

对第二个方程乘以u^m+p-1，并积分得

把(4)式代入(3)式得

即引理得证.

首先分别证明在条件Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ下‖u‖_L^p(Ω)的有界性.

引理4 设Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域，N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且m≥1，γ≥1，β>1，若α>m+γ-1，则在1 < p < ∞时，存在常数C₂>0使得

证 由α>m+γ-1，知α+p>p+m+γ-1，利用Young不等式得

且

对于给定的正常数ε₁，ε₂，存在一个ε < μ，使得

将不等式(6)代入(2)式得

利用Hölder不等式有$\int_\mathit{\Omega } {} $u^p+α≥$\frac{1}{{{{\left| \mathit{\Omega } \right|}^{\frac{\alpha }{p}}}}}{\left( {\int_\mathit{\Omega } {{u^p}} } \right)^{\frac{{\alpha + p}}{p}}}$，因此有

由常微分方程的比较原理，存在C₂：=max$\left\{ {\int_\mathit{\Omega } {{u^{_0^p}}, {{\left( {\frac{c}{\varepsilon }{{\left| \mathit{\Omega } \right|}^{\frac{\alpha }{p}}}} \right)}^{\frac{p}{{p + \alpha }}}}} } \right\}$使得引理成立.

引理5 设N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且m≥1，γ≥1，β>1，若α=m+γ-1且μ>$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $，令

则p∈(1，p₁]时A(p)≤0，p∈(p₁，∞)时A(p)>0.

证 对几个参数进行代数运算可得证明，详细证明参见文献[2].

引理6 设Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域，N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且m≥1，γ≥1，β>1，若α=m+γ-1且μ>$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $，则对于任意的p∈(1，p₁](p₁定义见引理5)，不等式(5)成立.

证 由α=m+γ-1，(2)式化为

由引理5知A(p)≤0，设ε：=-$\frac{1}{2}$A(p)，则由Young不等式得

即有

和引理4的(7)式相同，以下详细证明与引理4相同，引理得证.

引理7 设Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域，N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且m≥1，γ≥1，β>1，若α=m+γ-1且μ>$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $，则对于任意的p∈(p₁，∞)(此时p₁如引理5定义)，不等式(5)成立.

证 由引理6知$\int_\mathit{\Omega } {} $u^p₁有界，令$\int_\mathit{\Omega } {} $u^p₁≤C₃，对(8)式两边加上$\int_\mathit{\Omega } {} $u^p有

此时A(p)>0，令ε：=A(p)，利用Young不等式有

代入(9)式有

利用Gagliardo-Nirenberg不等式得

因此

得

又由μ>$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $得

即有0 < λ < 1，且

利用Young不等式得

令c(p)：=c₁(p)+c₃，则

根据常微分方程的比较原理，存在C₂：=max{$\int_\mathit{\Omega } {} $u₀，c(p)}使得引理成立.

引理8 设N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且m≥1，γ≥1，β>1，有α=m+γ-1且μ=$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $，又1 < p < ∞，令

则

且p∈(1，p₂]时B(p)≤0，p∈(p₂，∞)时B(p)>0.

证 进行简单的代数运算可得证明，详细证明参考文献[4].

引理9 设Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域，N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且m≥1，γ≥1，β>1，若α=m+γ-1且μ=$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $，则对任意的p∈(1，p₂](p₂定义见引理8)，存在C₄>0使得

证 B(p)代入不等式(2)得

又由B(p)≤0，有

由Gagliardo-Nirenberg不等式得

因此

得

由β>1，N≥2且1 < p≤p₂，即有0 < λ < 1.又

根据Young不等式

因此有

根据常微分方程的比较原理，存在C₄：=max{$\int_\mathit{\Omega } {} $u₀^p，c(p)}使得引理成立.

引理10 设Ω$\subset $$\mathbb{R}$^N是一个边界光滑的有界区域，N≥3，χ，μ，m，α，γ，β都是正参数且m≥1，γ≥1，β>1，若α=m+γ-1且μ=$\frac{{N\alpha-2}}{{2\left( {m-1} \right) + N\alpha }}\chi $，则对任意的p∈(p₂，+∞)，存在C₄>0使得不等式(10)成立.

证 由引理9知$\int_\mathit{\Omega } {} $u在p∈(1，p₂]上有界，令

由Young不等式得

利用Gagliardo-Nirenberg不等式有

因此

得

根据参数条件及p>p₂=$\frac{{N\alpha }}{2}$，得0 < λ < 1，又有

因此由Young不等式有

即有c₄：=c₁+c₃使得

利用常微分方程的比较原理，存在C₄：=max{$\int_\mathit{\Omega } {} $u₀^p，c₄}使得引理成立.

上面分别证明了在3种参数条件下‖u‖_L^p(Ω)的有界性，其中1 < p < ∞.下面证明定理1.

定理1的证明 由于p ∈(1，+∞)，根据方程组(1)的第二个方程和椭圆正则理论可知，存在常数c₁>0使得

通过Moser迭代知，存在常数c₂>0使得

结合引理1可推出定理1的结论.