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对简单图G，分别用m(G)和n(G)表示G的边集和顶点集，其边数和点数分别记为m = m(G)和n = n(G). NG(v)表示顶点v在G中的邻集.在图G中，顶点u和v的距离记为dG(u，v)，顶点u到其它各顶点的距离之和记为σG(u)，即
$\sigma_{G}(u) = \sum\limits_{\omega \in V(G)} d_{G}(u, \omega)$ .文献[1]介绍了一种关于连通图的新的拓扑指标，称为Balaban指标，或简称为J指标：类似地，Sum-Balaban指标[2]为
Balaban指标和Sum-Balaban指标都是非常有用的且具有良好性质的分子描述器，被广泛应用于QSAR和QSPR的各方面的研究[1-2].更多关于Balaban指标、Sum-Balaban指标和其它化学指标的研究，参考文献[3-11].
设U0 = Un(Sw1，Sw2，…，Swg) (见图 1)是一个围长为g的单圈图，其中Swi是以圈上的点wi为中心的星图，对1≤i≠j≤g，满足|n(Swi)-n(Swj)|≤1.图U1(见图 2)是由U0经过收缩边w1w2，并把w1w2变成悬挂边得到的，即
定理1 SJ(U0) < SJ(U1).
证 从图U0到图U1可以看到，除了顶点w2外，其它顶点的距离之和都变小了.即对u∈V(U0)(或u∈V(U1))，有σU0(u)＞σU1(u)，以及σU0(w2) < σU1(w2).因此，对任意边uv∈E(U0)(E(U1))，u，v≠w2，有：
对于顶点w1，w2，由于圈的收缩，容易看到在U0中w2与其它顶点的距离之和大于在U1中w1与其它顶点的距离之和，即σU0(w2)＞σU1(w1).因此，对于w2u∈E(U0)，u∈DU0(w2)和w1u∈E(U1)，有u∈DU1(w1)∩DU0(w2)，其中DU1(w1)∩DU0(w2) = DU0(w2)，则：
由图U0可以看到，连接顶点w2的边有w1w2，w2w3和悬挂边.接下来需要证明如下不等式：
因为σU1(w1) < σU0(w2)和σU1(w3) < σU0(w3)，则
如果σU0(w1)+σU0(w2)≥σU1(w1)+σU1(w2)，则由(5)式，不等式(4)成立.否则，
当U0的围长是偶数时，可以看出，对顶点w2，其增加的部分σU1(w2)－σU0(w2)等于顶点w1的减少部分σU0(w1)－σU1(w1)，故
因此，只需讨论U0的围长是奇数的情况.可以看到：
从图U0到图U1，我们有：
由Δ(U0) = dU0(w3)≥dU0(w2)和(7)，(8)式，故σU1(w3) < σU0(w2).因此，由σU1(w1) < σU0(w1)，可得
不失一般性，设
则存在非负整数k1，满足σU0(w2)+σU0(w3) = σ+k1.类似地，由(6)式和(9)式，存在正整数k2和k3，分别满足σU1(w1)+σU1(w2) = σ+k2和σU1(w1)+σU1(w3) = σ－k3.如果k1≥k2，则
因此由(9)式，不等式(4)成立.否则
在U0的围长是奇数的条件下，讨论k2和k3的关系.令：
从U0到U1，可以看出：
因此
由Δ(U0) = dU0(w3) < Δ1-，以及(10)式和(11)式，则有k1 < k2 < k3.于是
因为对x＞0，
$\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+s}}$ 是单调递减函数，其中s是正整数，k2 < s < k3+k1，则对σ－k3 < σ，我们有当s增加时，不等式的左边会变大；当s减少时，不等式的左边会变小.因此
故有：
因此，不等式(4)成立.由(2)，(3)，(4)式和Sum-Balaban指标的定义，定理1成立.
容易看出定理1对J(G)也成立.本文所提出的新的比较方法是基于圈收缩变换的.对于任意一个单圈图，经过圈收缩后，对于原图中的大部分顶点的距离之和都会变小，但存在唯一一个顶点w2的距离之和是变大的.考虑把图的边集划分为若干部分进行比较.特别地，对含有顶点w2的边，需要进行恰当的组合，再进行有效的比较.定理1采用的方法也可以推广到双圈图以及k(k≥3)圈图，有助于对这类化学指标进行值极刻画.
On Sum-Balaban Index of Graphs Based on Contraction of Cycles
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摘要: 连通图 \lt i \gt G \lt /i \gt 的Balaban指标（也叫 \lt i \gt J \lt /i \gt 指标）的定义是 $ J\left( G \right) = \frac{m}{{m - n + 2}}\sum\limits_{uv \in E\left( G \right)} {\frac{1}{{\sqrt {{\sigma _G}\left( u \right){\sigma _G}\left( v \right)} }}} $ 连通图 \lt i \gt G \lt /i \gt 的Sum-Balaban指标定义为 $ SJ\left( G \right) = \frac{m}{{m - n + 2}}\sum\limits_{uv \in E\left( G \right)} {\frac{1}{{\sqrt {{\sigma _G}\left( u \right) + {\sigma _G}\left( v \right)} }}} $ 其中 \lt i \gt m \lt /i \gt ， \lt i \gt n \lt /i \gt 分别是图 \lt i \gt G \lt /i \gt 的边数和点数， \lt i \gt σ \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt G \lt /i \gt \lt /sub \gt （ \lt i \gt u \lt /i \gt ）表示 \lt i \gt G \lt /i \gt 中从顶点 \lt i \gt u \lt /i \gt 到其它各个顶点的距离之和.Balaban指标和Sum-Balaban指标被广泛应用于QSAR和QSPR的研究.证明了：经过圈收缩后，一类单圈图的Balaban指标和Sum-Balaban指标是增大的.观察Balaban指标和Sum-Balaban指标在圈收缩操作中的变化规律，对这两类拓扑指标提出了一种新的比较方法.
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关键词:
- Balaban指标 /
- Sum-Balaban指标 /
- 距离
Abstract: The Balaban index (also called \lt i \gt J \lt /i \gt index) of a connected graph \lt i \gt G \lt /i \gt is denoted as $ J\left( G \right) = \frac{m}{{m - n + 2}}\sum\limits_{uv \in E\left( G \right)} {\frac{1}{{\sqrt {{\sigma _G}\left( u \right){\sigma _G}\left( v \right)} }}} $ and the Sum-Balaban index of a connected graph \lt i \gt G \lt /i \gt is denoted as $ SJ\left( G \right) = \frac{m}{{m - n + 2}}\sum\limits_{uv \in E\left( G \right)} {\frac{1}{{\sqrt {{\sigma _G}\left( u \right) + {\sigma _G}\left( v \right)} }}} $ where \lt i \gt m \lt /i \gt , \lt i \gt n \lt /i \gt are the edge number and vertex number of \lt i \gt G \lt /i \gt , respectively, and \lt i \gt σ \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt G \lt /i \gt \lt /sub \gt ( \lt i \gt u \lt /i \gt ) (resp. \lt i \gt σ \lt /i \gt \lt sub \gt \lt i \gt G \lt /i \gt \lt /sub \gt ( \lt i \gt v \lt /i \gt )) denotes the total distance from \lt i \gt u \lt /i \gt to all the other vertices of \lt i \gt G \lt /i \gt . The Balaban index and the Sum-Balaban index have been widely used in various QSAR and QSPR studies. In this paper, we have proved that the Balaban index and the Sum-Balaban index increase by the contraction of cycles. Then we see the varieties of this operation and propose a new method for these two indices.-
Key words:
- Balaban index /
- Sum-Balaban index /
- distance .
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图( 2)
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