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矩阵方程AXB+CXD=E有广泛的实际应用背景，许多学者在实数域或复数域上给出过该方程的不同求解方法，例如共轭梯度法、迭代法等[1-3].而在四元数体上，由于元素乘积不可换，导致上述方法失效.文献[4]在四元数体上讨论了该方程的Hermitian解，文献[5]在四元数体上给出了该方程的3类特殊最小二乘解，同时文献[6-7]在四元数体上论讨了Lyapunov方程的循环解及反问题解.
本文的目的是在四元数体上讨论方程
具有M自共轭解及其最佳逼近问题，其中A，C∈Qm×n，B，D∈Qn×l，E∈Qm×l，M∈Qn×m是已知矩阵，X∈Qn×n是未知矩阵.
随着矩阵应用领域的扩大，各种结构的矩阵不断被提出[8-10].例如，实数域上M对称矩阵的概念最早由文献[10]所提出，即给定M∈Rn×m，若矩阵X∈Rn×n，满足(MTXM)T=MTXM，则称矩阵X为M的对称矩阵.与此同时，文献[10]解决了矩阵方程ATXA=B的M对称解及M对称最小二乘问题.在此，我们把实数域上M对称矩阵的概念推广到四元数体，给出M自共轭矩阵的定义.
定义1 设矩阵M∈Qn×m，若矩阵X∈Qn×n，满足(M*XM)*=M*XM，则称矩阵X为M自共轭矩阵.显然，M自共轭矩阵是实数域上M对称矩阵的推广.
用SCn(Q)(ASCn(Q))分别表示全体n阶四元数自共轭(反自共轭)矩阵集合，U表示四元数酉矩阵，vec(A)表示矩阵A按列顺序拉直向量，A+表示A的Moore-Penrose广义逆，A⊗B表示矩阵A与B的Kronecker积.
定义2 设A=(aij)∈SCn(Q)，B=(bij)∈ASCn(Q)，记
则称向量
分别是自共轭矩阵A与反自共轭矩阵B的拉直向量.
引理1 设
$\boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{ll}{\boldsymbol{X}_{1}} & {\boldsymbol{X}_{2}} \\ {\boldsymbol{X}_{3}} & {\boldsymbol{X}_{4}}\end{array}\right] \in Q^{\mathit{n\times n}} $ ，其中X1∈Qr×r，X2∈Qr×(n－r)，X3∈Q(n－r)×r，X4∈Q(n－r)×(n－r)，则存在矩阵P∈Rn2×n2，使得其中
ei是单位矩阵In的第i列.本文具体讨论如下两个问题：
问题1 给定A，C∈Qm×n，B，D∈Qn×l，E∈Qm×l，M∈Qn×m，求M自共轭矩阵X∈Qn×n，使得AXB+CXD=E.若此问题无解，即它的解集SE=∅，求M自共轭矩阵X∈Qn×n，使得‖AXB+CXD－E‖=min.
问题2 设问题1的解集SE≠∅，N∈Qn×n是已知四元数矩阵，求矩阵
$\tilde{\boldsymbol{X}} $ ∈SE，使得$ \min\limits _{X \in S_{E}}\|\boldsymbol{X}-\boldsymbol{N}\|=\|\tilde{\boldsymbol{X}}-\boldsymbol{N}\|$ .
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首先，对给定的矩阵M∈Qn×m，设rank(M)=r，并对M作奇异值分解(SVD)：
其中Σ=diag(σ1，σ2，…，σr)>0，V∈Um×m，U∈Un×n.
定理1 矩阵X∈Qn×n是M自共轭矩阵的充分必要条件为
其中X1∈SCr(Q)，X2∈Qr×(n－r)，X3∈Q(n－r)×r，X4∈Q(n－r)×(n－r)为任意四元数矩阵.
证 必要性 由M的奇异值分解(5)得Σ>0，V∈Um×m，U∈Un×n，令
若X是M自共轭矩阵，则(M*XM)*=M*XM，代入(5)式，化简得
所以X1=X1*，于是(6)式成立.
充分性 设矩阵X的表达式如(6)式所示，直接计算可得(M*XM)*=M*XM，因此X是M自共轭矩阵.
根据定理1，四元数矩阵方程(1)等价于
其中X1∈SCr(Q).记
并设四元数矩阵AU，U*B，CU，U*D，E，X1，X3，X2，X4在复数域
$\mathbb{C}$ 上的分解式为因此，四元数矩阵方程(7)等价于
将(9)式左边展开，并根据四元数矩阵复分解的唯一性，可得
记
则复矩阵方程(10)等价于
利用引理1，可得vec(Y1)=P·l1，vec(Y1)=P·l1，vec(Y2)=P·l2，vec(Y2)=P·l2，其中P如(4)式所示，且
因此
由于X1=X11+X12j∈SCr(Q)，因此由文献[11]的引理2.5及引理2.6可得
记
其中，I是相应阶数的单位矩阵，Ks，Ka是形如文献[11]引理2.5中相应阶数的矩阵.因此方程组(11)等价于
其中，v∈R(4n2－2r2－r)×1.设
$\tilde{\boldsymbol{G}} $ ，L在实数域$\mathbb{R}$ 上的分解式为$ \tilde{\boldsymbol{G}}=\tilde{\boldsymbol{G}}_{0}+\tilde{\boldsymbol{G}}_{1} i$ ，L=L0+L1i，并记则方程组(14)等价于
此外，利用四元数矩阵Frobenius范数及方程组(10)可得
因此，关于问题1的M自共轭矩阵解问题，我们有：
定理2 给定A，C∈Qm×n，B，D∈Qn×l，E∈Qm×l，M∈Qn×m，则四元数矩阵方程(1)存在M自共轭解的充要条件是
$\boldsymbol{\hat{G}} \boldsymbol{\hat{G}}^{+} \boldsymbol{\hat{L}}=\boldsymbol{\hat{L} }$ .有解时，它的一般解为无解时，它的最小二乘M自共轭解仍为(18)，其中
这里
$\boldsymbol{\hat{G}} $ ∈R4ml×(4n2－2r2－r)，$\hat{\boldsymbol{L}} $ ∈R4ml×1如(15)式所示，$v\left(1 : \frac{r(r+1)}{2}\right) $ 表示由向量v的第1至$\frac{r(r+1)}{2} $ 个元素组成的$ \frac{r(r+1)}{2}$ 维列向量.证 由方程组(16)、引理1及文献[12]的引理2可知，四元数矩阵方程(1)存在M自共轭解
$\Leftrightarrow $ 方程组(16)有解$\Leftrightarrow \boldsymbol{\hat{G} }\boldsymbol{\hat{G}}^{+} \boldsymbol{\hat{L}}=\boldsymbol{\hat{L}} $ .有解时，矩阵方程(1)的M自共轭解显然由(18)式给出.无解时，由(17)式可得‖AXB+CXD－E‖=$\min \Leftrightarrow\|\boldsymbol{\hat{G}} \boldsymbol{v}-\boldsymbol{\hat{L}}\| $ =min，因此，矩阵方程(1)的最小二乘M自共轭解仍为(18).
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设问题1的解集SE≠∅，N∈Qn×n是已知的四元数矩阵，现将N分块
其中N1∈Qr×r，N3∈Q(n－r)×r，N2∈Qr×(n－r)，N4∈Q(n－r)×(n－r).再对N1，N3，N2，N4作复分解，得
记
当
$\boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{ll}{\boldsymbol{X}_{1}} & {\boldsymbol{X}_{2}} \\ {\boldsymbol{X}_{3}} & {\boldsymbol{X}_{4}}\end{array}\right] \in S_{E} $ 时，根据定理2，以及(8)，(19)，(20)式，得其中v如(13)式所示.因此，关于问题2的解，我们有如下结果：
定理3 设问题1的解集SE≠∅，N∈Qn×n是已知的四元数矩阵，则在SE中存在
$\widetilde{\boldsymbol{X}} $ ，使得‖X－M‖=min，且$\widetilde{X} $ 有如下表达式其中
$\boldsymbol{v}=\hat{\boldsymbol{G}}^{+} \hat{\boldsymbol{L}}+\left(\boldsymbol{I}-\hat{\boldsymbol{G}}^{+} \hat{\boldsymbol{G}}\right)\left[\hat{\boldsymbol{W}}\left(\boldsymbol{I}-\hat{\boldsymbol{G}}^{+} \hat{\boldsymbol{G}}\right)\right]^{+}\left(\hat{\boldsymbol{n}}-\hat{\boldsymbol{W}} \hat{\boldsymbol{G}}^{+} \hat{\boldsymbol{L}}\right) $ ，vec(Xij)(i=1，2，3，4，j=1，2)与定理2的取法相同.证 当X∈SE时，根据定理2及(21)式，有
根据文献[12]的引理2可知，当
$\boldsymbol{\hat{G}}^{+} \boldsymbol{\hat{G}}=\boldsymbol{I} $ 时，(23)式关于Y的最小二乘解为当
$ \boldsymbol{\hat{G}}^{+} \boldsymbol{\hat{G}}=\boldsymbol{I}$ 时，方程(1)存在M自共轭解$\boldsymbol{\tilde{v}}=\boldsymbol{\hat{G}}^{+} \boldsymbol{L} $ .因此，不论哪种情况，均有于是，存在
$\widetilde{\boldsymbol{X}} $ ∈SE，使得‖X－N‖=min成立，并且$\widetilde{\boldsymbol{X}} $ 由(22)式给出.
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本文提出并讨论了四元数矩阵方程(1)具有M自共轭结构解的问题.本文的研究拓展了所引相关文献的结果.在处理方法上，主要利用四元数矩阵的复分解与实分解，解决四元数乘法非交换限制，并采用M自共轭矩阵的向量化刻划，实现方程的无约束转化，从而得到问题1具有M自共轭解的充要条件及其通解表达式.当问题1的解集SE≠∅时，根据F范数的性质及无约束方程，得到了问题2的最佳逼近解.
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