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商业银行是经营风险的企业，处于金融市场核心地位，借助于货币乘数效应和投资加速度效应，其风险具备放大效应和传染效应，对于系统性金融风险的发生、累积与明斯基时刻爆发具有主导影响.本文研究商业银行系统性金融风险溢出问题，对于防范化解重大风险，守住不发生系统性金融风险底线，具有理论指导和现实启发意义.
商业银行风险除具备金融时间序列一般特征之外，也具备特殊的多维数据结构，不可避免地需要刻画多维数据之间的相依关系，这是确保商业银行风险计量准确有效的前提.商业银行多维风险之间的这种关系更多地体现为非线性相依，有文献Lai(2009)[1]、Lee(2009)[2]表明Copula拟合这种非线性相依效果较好，进而有吴振翔等(2006)[3]、柏满迎和孙禄杰(2007)[4]、Segoviano & Goodhart(2009)[5]、Reboredo(2015)[6]、苟红军等(2015)[7]、马锋等(2015)[8]采用Copula分析研究金融风险，实现较理想效果.既有文献大部分采用Copula刻画多维金融风险相依关系，进而计量孤立风险VaR，孤立风险VaR能够反应单个金融机构的绝对风险水平，却无法计量多维风险之间的传染性、传染方向与传染强度.鉴于此，CoVaR指标应运而生，并且迅速地与Copula函数一起应用于金融风险的传染计量之中，相关文献有高国华和潘英丽(2011)、陈守东(2013)、欧阳资生和莫廷程(2017)、Karimalis & Nomikos(2018)、王锦阳(2018)等[9-13].
本文基于以往研究成果，采用时变Copula与CoVaR结合研究商业银行的系统性金融风险溢出问题，进行△CoVaR分析，展示单个商业银行如何把不同强度的风险传染给银行业指数，过程中开展动态与静态Copula-CoVaR风险效果的比较研究，结论证明动态Copula-CoVaR模型能够更加准确捕捉商业银行系统性金融风险溢出现象，这就为精准计量、把控、预防商业银行系统性金融风险提供了一种新的模型与思路.
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根据Sklar(1959)[14]，Copula本质上是变量间的连接函数，给定信息集F[t－1]时，结合本文实际，令rst，rit表示金融时间序列，其联合累积分布函数可以表示为式(1)中的Copula函数形式：
式(1)的参数拟合需要借助于两阶段建模法实现.第一阶段是对边缘函数Fs，Fi的拟合，拟合过程本文采用AR(2)-GJR-SkewT函数进行；第二阶段是对Copula函数Cs，i[t]的拟合，这里的Cs，i[t]的上角t考虑了时变因素，因此是时变Copula拟合.时变Copula拟合需要设定时变参数，本文选用t Copula函数类型，并且设定t Copula的相关系数ρis是动态的，而自由度保持不变.动态过程如式(2)：
其中，
${\rho _{is, t}}, {R_{is}}, {{\mathop r\limits^ \wedge }_{is, t - 1}} $ 分别表示拟合数据的时变相关参数、样本相关参数、残差相关参数，αis和βis分别表示其后变量对应的参数系数. -
VaR即在险价值，是孤立的单个风险，不具备次可加性；CoVaR即VaR的条件形式，CoVaR的Co或为conditional(条件)、contagion(传染)、或comovement(协同)之意.公式表达为式(3)：
其中s，i分别表示两种指数，式(3)表示显著性水平为q时，市场序列ri的风险处于VaRqi时，市场序列rs受到ri的风险传染为CoVaRqs|i.
本文求解VaR和CoVaR的积分形式为式(4)、式(5)：
其中CoVaRqs|i表示风险i对风险s的条件风险CoVaR，VaRqs表示风险s的在险价值，q表示分位点小概率，即显著性水平.式(4)、式(5)是变上限的定积分方程，展开式较为复杂，没有解析解，需要借助线性逼近法数值迭代运算，借助于Matlab可以实现.
△CoVaR是条件金融机构在危机状态时和正常状态时CoVaR与VaR的差值，是金融机构对系统性金融风险贡献，这里的危机状态q取值0.05，正常状态q取值0.5，则
1.1. Copula函数概念与拟合
1.2. VaR、CoVaR与△CoVaR
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本文选取2010年1月4日到2018年4月4日的A股市场收盘价(Pit，Pst)=Pt数据，i表示浦发、华夏、民生、招商、兴业、中信6个银行个股，s表示中证800银行业指数，其风险用来代表商业银行系统性金融风险，指数数据取自万德数据库.数据分析时，取对数收益率ln(Pt/Pt－1)为研究对象，为了提升分析效率，将连续若干日收益率为0的后几日对应数据删除，共得1896组数据.
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金融时间序列的平稳性能够保障建模中求解系数公式分母不为0，是模型预测和拟合的前提，表 1中可见7个时间序列的ADF统计量都远远超过了临界显著性水平，拒绝了单位根存在的原假设，认为7个对数收益率序列都是平稳的.
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采用AR(2)-GJR-SkewT函数进行原始数据拟合，拟合结果如表 2所示. AR(2)-GJR-SkewT模型过滤之后的标准化残差以相应λ和ν参数的SkewT模型进行概率积分变换(PIT)，以获取第二阶段Copula函数拟合所需的均匀分布序列.相应的PIT检验结果如表 3所示.
表 3的最后一行可见，均匀分布的单样本检验均接受了原假设，认为7个银行风险数据都是均匀分布的.
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本文采用时变t Copula函数拟合PIT序列，拟合以800银行指数为基准，其余6个商业银行数据与之分别建模，得到包含式(2)参数在内的t Copula系数表 4，进而以两阶段获得的参数进行VaR、CoVaR与△CoVaR分析，研究商业银行系统性金融风险溢出问题.
其中，i表示6个商业银行，s表示800银行指数，表 4中的银行列对应参数表示各银行与800银行指数的时变t Copula拟合参数，“\”对应的表现原因在于算法的局限未能求出参数相应的标准误，尽管如此，我们可以看到其余的参数显著性均很高，说明模型拟合效果较好.
2.1. 平稳性检验
2.2. 第一阶段边缘分布拟合
2.3. 第二阶段时变Copula函数拟合
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运用第2节中的数据，进行式(4)(5)变上限的定积分方程的求解，采用线性逼近法迭代运算，得到包含VaR或CoVaR变上限的数值解，对其进行比较分析，可以得到表 5：
表 5体现出动态Copula求解的显著性水平在5%时6个商业银行对于800银行指数的CoVaR均为负值，验证了商业银行风险溢出的负外部性和本文运算的合理性.进一步发现，中信银行CoVaR的负外部性均值最大，负外部性均值排序依次为：中信银行、华夏银行、民生银行、浦发银行、招商银行、兴业银行；兴业银行风险波动最为剧烈，负外部性极值排序依次为：兴业银行、华夏银行、浦发银行、民生银行、中信银行、招商银行.说明兴业银行虽然风险溢出均值最小，却有可能会产生最大的单次负外部风险冲击，兴业银行最应该是重点风险监管对象. 6个商业银行CoVaR的负外部性差异很可能源于其股权结构占比、股权集中度、股权性质(民营或国有控股程度)等决定，股权差异会导致股份制商业银行股东间博弈均衡策略不同，进而影响到银行经营的激进性、盈利性，而存款产品、理财产品的多样性，区域渗透、金融混业程度等问题，最终也会反应到商业银行的系统性金融风险溢出方面，相应的静态Copula-CoVaR统计可以得到大体一致的结论，相应的静态统计表格限于篇幅不再陈述.
而△CoVaR的分析则较为复杂，根据1.2节中表述，我们得到动态Copula-△CoVaR数值表 6，由于△CoVaR是q=0.05相对于q=0.5时CoVaR与VaR的差，△CoVaR是轻微差别数据，本文研究的1896个时点数据并非每个数据都会必然产生较大风险差异，大部分的△CoVaR将是0或可以忽略为0，小部分数据是相对较大的.将表 6与静态Copula-△CoVaR数值比较，可以发现动态Copula-△CoVaR虽然大部分为0，但是小部分数据仍然是较大数据，说明动态Copula可以更为敏锐地捕捉到风险溢出与风险贡献，而静态Copula则几乎不可能捕捉到这种风险贡献，静态的△CoVaR几乎全部为0，因为静态的△CoVaR表中数据几乎全部为0，这里也不再列于文内.将表 6归纳为描述统计表 7，则更为直观地体现了6个商业银行的系统性金融风险贡献.
表 7中，6个商业银行的风险贡献强度△CoVaR均为负值，进一步说明了商业银行系统性风险贡献的负外部性，极端情形个体商业银行均会把风险传染给银行业800指数.鉴于溢出强度△CoVaR的均值与标准差不同，本文对△CoVaR标准值进行比较，令：△CoVaR标准值=(最小值-均值)/标准差.可见，标准值绝对值排序为：中信银行、兴业银行、华夏银行、民生银行、浦发银行、招商银行，说明中信银行的风险溢出强度最大.
表 5、表 7可以看出，CoVaR负外部性溢出大的商业银行，其风险溢出强度△CoVaR并不必然也很大，CoVaR与△CoVaR之间并不具有一致性关系.实际上，CoVaR是一种条件概率关系，其意义在于数字的符号，符号为负，表示商业银行对于系统性风险具备风险溢出效应，表示风险溢出方向，而△CoVaR是危机机构q=0.05相对于平常状态q=0.50时的差值，如式(6)，表示风险溢出方向上的溢出强度.
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本文采用动态Copula模型研究商业银行系统性金融风险贡献问题，与静态Copula的风险结果进行比较，发现动态模型能够捕捉到△CoVaR小部分轻微不为0风险溢出强度，而静态模型得到的△CoVaR几乎全部为0，因此得出动态Copula模型对于风险强度△CoVaR的刻画更加敏感、更加准确的结论；而对于CoVaR的计量上二者并无实质性差别.研究结论显示，6个商业银行对于系统性金融风险代表的800银行业指数均具有负外部性，而负外部性的风险溢出强度大小依次为中信银行、兴业银行、华夏银行、民生银行、浦发银行、招商银行，这就为风险监管资源分配、监管对象确定提供了依据.
本文仅对单个银行对于系统性金融风险贡献进行了研究，单个银行之间还存在着某种单向或双向风险溢出问题，这种风险溢出最终会直接或间接作用于系统性金融风险，产生复杂得多的风险负外部性问题，感兴趣的读者可以进一步研究.