有限群的特征标维数集合与有限群的共轭类长度集合都对有限群的结构和性质有密切的影响.文献[1-2]研究了特征标维数集合是cd(G)={1, n}的有限群, 并给出了当群G是非幂零群时的结构的基本刻画；同时当G是幂零群时, 只需要考虑G是有限p-群, 并证明了这类有限p-群的幂零类小于或者等于p.关于cd(G)={1, p^m}的有限p-群的分类, 目前还是一个公开的研究问题.

关于群的元素的共轭类也有类似的研究.文献[3-7]研究了具有特殊共轭类长度集合cs(G)={1, n₁, …n_s}的有限群G, 并分别给出了共轭类长度集合只有2, 3, 4的群的结构的刻画.即：若|cs(G)|=2, 则G是有限p-群与交换群的直积；若|cs(G)|=3, 则G是有限可解群；若|cs(G)|=4且G是单群, 则G$\cong $PSL(2, 2ⁿ).文献[8]进一步研究了满足cs(G)={1, p^m}的有限p-群G, 证明了这类群幂零类至多是3.文献[9]证明了任意有限群其所有的非单位元中共轭类长度最小的元生成的子群幂零类至多为3.

本文先考虑特征标维数集合cd(G)={1, p^m}的有限p-群, 给出了满足这类条件的, 且幂零类大于等于3的群的阶的下界是p^3m+1, 同时还对特征标维数集合和共轭类长度集合是一样的有限p-群进行了简单研究, 证明了若有限p-群的特征标维数集合和共轭类长度集合都是{1, p^m}时, 其幂零类为2, 且阶大于或者等于p^3m.

引理1^[6]  设群G是有限p-群且|G′|=p.则G=(A₁*A₂*…*A_s)Z(G), 其中*表示中心积, A₁, …, A_s是内交换p-群.

定理1  设G是有限非交换p-群, 满足cd(G)={1, p^m}.若G的幂零类大于或者等于3, 则|G|≥p^3m+1.

证  取群G的正规子群N, 使得N包含在G′中, 且|G′:N|=p.由于cd(G/N)={1, p^m}, 于是|G/N:Z(G/N)|= p^2m, 进而可得|G:G′|≥p^2m.

下面证明|G′/K₃(G)|≥p^m.若不然, 假设|G′|≤p^m.由文献[1]可得G′/K₃(G)是初等交换p-子群.因此存在M是群G的正规子群, 使得M≤G′且满足|K₃(G/M)|=p.由此可得

同时对任意x∈(G/M)′-K₃(G/M), x∉Z(G/M).因此不妨假设群满足

对任意x_i∈G′-K₃(G), 易得〈x_i, K₃(G)〉=K_i是阶为p²的正规子群, 进而可得|G:C_G(K_i)|=p.假设|G′|=p^s, 于是可以得到|G:C_G(G′)|≤p^s-1.设y∈G-C_G(G′), 令子群C=C_G(y).则T=C∩G′是G′的真子群, 且|T|≤p^m-1.易得K₃(G)≤T, 因此T$\unlhd$G.又因

由于CG′/G′$\cong $C/T, 故该群是交换群.又根据假设, G的幂零类是3, 即G′是交换群.于是可得CG′/T是群G/T的交换正规子群.

由G′是交换子群可知y∈G-G′.由于商群G/N满足|(G/N)′|=p, 则由引理1可得

又由文献[7]的推论2.24可得

因此有

由G/T是非交换群, 且cd(G/T)={1, p^m}, 因此由文献[7]的定理6.15可得G/T不存在指数小于p^m的交换正规子群, 矛盾.故|G′/K₃(G)|≥p^m, 进而|G|≥p^3m+1.

定理1取得的结果也许还可以更进一步.文献[2]已经证明了特征标维数集合是cd(G)={1, p^m}的有限p-群, 其幂零类小于等于p.因此我们有猜测：

猜测1  若有限p-群G的幂零类c≤p且cd(G)={1, p^m}, 是否|G|≥p^cm+1?

下面我们研究特征标维数集合与元素的共轭类长度集合都是{1, p^m}的有限p-群.

引理2  设群G是有限p-群, 且满足

其中n₁＜n₂＜…＜n_s.令子群

则M的幂零类至多是2.

证  对任意x∈G-Z(G)且|G:C_G(x)|=p^n₁, 令子群H=C_G(x).因此H的主特征标在群G的诱导特征标满足

又因

于是可得(1_H)^G的不可约成分都是群G的线性特征标.故G′＜Ker(1_H)^G.又因

从而可得G′≤H.于是由x的任意性可得

因此[M′, M]=1, 即M的幂零类是2.

定理2  设G是有限非交换p-群, cd(G)={1, p^m}=cs(G).则G的幂零类等于2, 且|G|≥p^3m.

证  显然G=MZ(G), 其中M是非中心的元生成的正规子群.由引理2, G的幂零类是2.又由文献[2]可知G′是初等交换子群.因为|G:H|=p^m, 则可得|[〈x〉, G]|≥p^m.于是|G′|≥p^m, 故|G|≥p^3m.

本文只得到定理2这种特殊情况.对于一般情况, 我们也有如下猜测：

猜测2  设群G是有限p-群, 且满足cd(G)=cs(G)={1, p^n₁, p^n₂, …, p^n_s}, 其中n₁＜n₂＜…＜n_s.是否G的幂零类至多是s+1?

例如有下面的简单群例：

例1  群G=〈a, b|a^p3=b^p2=1, a^b=a^1+p〉.易得cd(G)=cs(G)={1, p, p²}, 且G的幂零类是3.