-
目前已有不少关于带有白噪声随机Kuramoto-Sivashinsky(K-S)方程解的长时间行为的研究[1-2].然而本文则是通过参考文献[3]在Wong-Zakai逼近意义下证明了非自治随机的K-S方程
$\mathscr{D} $$ -拉回吸引子的存在性，即定义一个关于K-S方程的连续协循环Φ，利用Sobolev嵌入定理证明了Φ的渐进紧性.借鉴文献[4]引入参数动力系统及拉回吸引子相关概念.设(X，d)是一个可分的完备度量空间并带有Borel-代数
$\mathscr{B} $$ (X)，(Ω，$\mathscr{F} $$ ，P)是一个随机概率空间，变换θt：ℝ ×Ω→ Ω是一个($\mathscr{B} $$ (ℝ)×$\mathscr{F} $$ ，$\mathscr{F} $$ )且满足θt(0，t)，θt(s+t，·)=θt(t，·)$ \circ $$ θt(s，·)的可测变换.定义1 令(Ω，
$\mathscr{F} $$ ，P，{θt}t∈ ℝ)是参数动力系统，如果映射Φ：ℝ +× ℝ ×Ω×X→ X，对任意ω∈Ω，τ∈ ℝ及t，s∈ ℝ +，满足条件：(ⅰ) Φ(·，τ，·，·)：ℝ +×Ω×X →X是(
$\mathscr{B} $$ (ℝ +)×$\mathscr{F} $$ ×$\mathscr{B} $$ (X)，$\mathscr{B} $$ (X))可测；(ⅱ) Φ(0，τ，ω，·)是X上的恒等映射；
(ⅲ) Φ(t+s，τ，ω，·)=Φ(t，τ+s，θsω，·)
$ \circ $$ Φ(s，τ，ω，·)；(ⅳ) Φ(t，τ，ω，·)：X→ X是连续的.
则称映射Φ是关于(Ω，
$\mathscr{F} $$ ，P，{θt}t∈ ℝ)的连续动力过程.定义2 令
$\mathscr{D}$$ 为X的所有有界非空子集族的集合，假设K={K(τ，ω)：τ∈ ℝ，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$$ .如果存在T=T(G，τ，ω)>0，当t≥T时，对任意τ∈ ℝ，ω∈Ω及G∈$\mathscr{D}$$ ，满足则称K为关于Φ的
$\mathscr{D}$$ -拉回吸收集.另外，如果∀τ∈ ℝ，ω∈Ω，K(τ，ω)是K的非空闭子集，K在Ω中关于
$\mathscr{F}$$ 可测，则称K为Φ的闭可测$\mathscr{D}$$ -拉回吸收集.定义3 如果
$\mathscr{A}$$ ={$\mathscr{A}$$ (τ，ω)：τ∈ ℝ，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$$ 满足：(ⅰ)
$\mathscr{A}$$ 在Ω中关于$\mathscr{F}$$ 可测，并且对于∀ω∈Ω，$\mathscr{A}$$ 在X中是紧的；(ⅱ)
$\mathscr{A}$$ 关于Φ是不变的，即对∀t≥0，Φ(t，τ，ω，$\mathscr{A}$$ (τ，ω))=$\mathscr{A}$$ (τ+t，θtω)；(ⅲ)
$\mathscr{A}$$ 吸引$\mathscr{D}$$ 中的每个元素，即对于每个G∈$\mathscr{D}$$ ，则称
$\mathscr{A}$$ 是Φ的$\mathscr{D}$$ -拉回吸引子，其中distX(A，B)=supa∈Ainfb∈B‖a-b‖X是Hausdorff-半距离.
全文HTML
-
本论文讨论如下具有初边值条件的非自治的Kuramoto-Sivashinsky方程在Wong-Zakai逼近下吸引子的存在性问题，其中τ，δ∈ ℝ且δ≠0.
其中：D=∂/∂x，I=
$\left({\frac{{ - l}}{2}, \frac{l}{2}} \right)$$ ，l>0.对于υ和非自治项g有如下假设：(F0) κ=：υλ12-
$\frac{4}{v}$$ >0，其中λ1是算子-D2的首特征值；(F1) g∈Lloc2(ℝ，L2(I)).
下面给出本文所讨论的函数空间并定义相应的内积与范数，定义
分别定义在L和H上的内积与范数：
当δ≠0时，定义随机变量
$\mathscr{G}$$ δ：Ω→ℝ如下：存在一个θt不变量集Ω⊆
${\tilde \Omega }$$ ，对于每个ω∈${\tilde \Omega }$$ ，有由(2)式可得
已知Wong-Zakai过程有以下性质：
1) 线性增长性. t →
$\mathscr{G}$ δ(θtω)是连续的并且满足2) 时间收敛性.对∀ε>0，ω∈Ω，δ≠0，存在Cδ(ε，ω)>0，使得
方程(1)是含有参数ω∈Ω的确定性方程，由Galerkin逼近法，可得对∀τ∈ ℝ，ω∈Ω，uτ∈L2(I).方程(1)存在唯一的解u(·，τ，ω，uτ)∈C([τ，∞)，L2(I))∩Lloc2((τ，∞)，H01(I)).由此定义一个协循环Φ：ℝ +× ℝ ×Ω×L →L，使得对∀t∈ ℝ +，τ∈ ℝ，ω∈Ω和uτ∈L满足：
由定义1可知Φ是L2(I)上关于(Ω，
$\mathscr{F}$$ ，P，{θt}t∈ ℝ)的连续协循环.为了证明吸引子的存在性，进一步假设外力项g满足如下条件：存在常数α0∈
$ \left({0, \frac{\kappa }{2}} \right)$$ ，使得此外，定义
$\mathscr{D}$$ 为L2(I)中所有有界非空子集的集合，即$\mathscr{D}$$ ={G={G(τ，ω)：τ∈ ℝ，ω∈Ω}}.对∀c>0，τ∈ ℝ和ω∈Ω，如果存在α1∈$\left({{\alpha _0}, \frac{\kappa }{2}} \right) $$ 有则G为缓增族.如果
$\mathscr{D}$$ 的所有元素都是缓增的，则称$\mathscr{D}$$ 是缓增的.
-
本节将证明方程(1)拉回吸引子在L2(I)的存在性.
引理1 假设(F0)，(F1)成立，对∀τ∈ ℝ，ω∈Ω，G={G(τ，ω)：τ∈ ℝ，ω∈Ω}∈
$\mathscr{D}$$ ，存在T=T(τ，ω，G)≥1，使得对任意t≥ T，方程的解满足：证 让方程(1)与u在L上作内积并注意到
于是得到
由Young不等式可知
由Poincaré不等式可知
由(13)-(15)式知
根据假设(F0)，有κ=υλ12-
$\frac{4}{v}$$ >0.对(16)式使用Gronwall引理，在(τ-t，τ)上积分，用θ-τω替换ω可知由(6)式可知，存在Cδ(ω)>0，使得
结合(18)式，由G缓增集的性质知存在Tδ=Tδ(τ，ω，G)>0，使得
结合(17)与(19)式，可知(11)式成立.
此外，存在
$ {{\tilde T}_\delta }$$ =$ {{\tilde T}_\delta }$$ (τ，ω，G)≥1，∀t≥$ {{\tilde T}_\delta }$$ ，利用(18)式可得因此
综上，取T=T(τ，ω，G)=max{Tδ，
$ {{\tilde T}_\delta }$$ }引理1得证.推论1 假设(F0)，(F1)成立，方程(1)的协循环Φ拥有一个L2(I)上闭的可测
$\mathscr{D} $$ -拉回吸收集K={K(τ，ω)：τ∈ ℝ，ω∈Ω}∈$\mathscr{D}$$ ，且对∀τ∈ ℝ，ω∈Ω有并且
其中
证 对给定的τ∈ ℝ，ω∈Ω，G∈
$\mathscr{D}$$ ，由引理1可得，存在T=T(τ，ω，G)≥1，使得对任意的t≥T有由(6)式可知，存在Cδ(ω)>0，使得
则
因此K(τ，ω)∈
$\mathscr{D}$$ .引理2 假设(F0)，(F1)成立，对于τ∈ ℝ，ω∈Ω，以及G={G(τ，ω)：τ∈ ℝ，ω∈Ω}∈
$\mathscr{D}$$ ，存在T=T(τ，ω，G)>0，使得对∀t≥ T，δ≠0，满足证 将方程(1)与D4u在L上做内积可得
由Young不等式和插值不等式知
由(27)，(28)式可知
任给t≥0，τ∈ ℝ，ω∈Ω，取s∈(τ-1，τ)，在区间(τ-1，τ)上运用Gronwall不等式，并将ω替换成θ-τω，可得
由引理1、推论1和g∈Lloc2(ℝ，L2(I))可得
综上，引理2成立.
-
定理1 假设(F0)，(F1)成立，则协循环Φ在L2(I)上有唯一的
$\mathscr{D} $$ -拉回吸引子$\mathscr{A} $$ ={$\mathscr{A} $$ (τ，ω：τ∈ ℝ，ω∈Ω)}∈$\mathscr{D}$$ .证 由引理1与推论1可知，Φ在L2(I)有一闭的、可测的
$\mathscr{D}$$ -拉回吸收集K(τ，ω)，根据引理2与Sobolev嵌入定理可知，Φ在L2(I)上$\mathscr{D} $$ -是拉回渐进紧的.因此，由文献[5]中吸引子的存在性定理可知，协循环Φ存在唯一的$\mathscr{D}$$ -拉回吸引子$\mathscr{A} $$ .
下载: