本文将种群分为5个仓室，用S，E，I，Q，R分别表示易感者、潜伏者、染病者、隔离者、移除者的人数，建立如下数学模型：

其中：A表示种群的常数输入率；d表示自然死亡率；δ₁，δ₂，δ₃分别表示潜伏者、染病者和隔离者的康复率；β₁表示潜伏者与易感者之间的有效接触率，β₂表示染病者与易感者之间的有效接触率；ε表示潜伏者进入染病者的比率；α表示潜伏者、染病者和隔离类的因病死亡率，μ₁表示潜伏者被隔离的比率，μ₂表示染病者被隔离的比率.从生物数学角度考虑，规定本文所有参数都是非负的.

把模型(1)中的几个方程相加可以得到(S+E+I+Q+R)′=A-d(S+E+I+Q+R)-α(E+I+Q)≤A-d(S+E+I+Q+R)即$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \sup (S + E + I + Q + R) \le \frac{A}{d}$.

这表明对模型(1)来说，集合$\mathit{\Omega}=\left\{(S, E, I, Q, R) \in \mathbb{R}_{+}^{5}: S+E+I+Q+R \leqslant \frac{A}{d}\right\}$为模型(1)的正向不变集.

定义基本再生数^[7]

定理1  当R₀ < 1时，模型(1)仅存在无病平衡点$\boldsymbol{P}_{0}=\left(\frac{A}{d}, 0, 0, 0, 0\right)$；当R₀>1时，模型(1)不仅存在无病平衡点P₀，而且还存在唯一的地方病平衡点P^*=(S^*，E^*，I^*，Q^*，R^*).

证  显然模型(1)总有一个无病平衡点$\boldsymbol{P}_{0}=\left(\frac{A}{d}, 0, 0, 0, 0\right)$.地方病平衡点P^*=(S^*，E^*，I^*，Q^*，R^*)应满足以下方程组

由第3个方程可推出

由第4个方程可推出

把E^*，Q^*，I^*代入第5个方程有

第1个和第2个方程相加可得

把E^*代入(3)式有

把S^*，E^*代入第一个方程计算可得

易知，当β₁Aε(d+α+δ₂+μ₂)+β₂Aε²>εd(d+α+δ₂+μ₂)(d+ε+α+δ₁+μ₁)时，I^*>0.即当R₀>1时，

所以模型(1)存在唯一的地方病平衡点P^*=(S^*，E^*，I^*，Q^*，R^*)，定理得证.

定理2  当R₀ < 1时，无病平衡点P₀局部渐近稳定；当R₀>1时，无病平衡点P₀不稳定.

证  模型(1)在无病平衡点$\boldsymbol{P}_{0}=\left(\frac{A}{d}, 0, 0, 0, 0\right)$处的Jacobian矩阵为

显然特征根-d(二重)，-(d+α+δ₃)均小于零.另外两个特征根满足方程：

其中

设其两个特征根为λ₁，λ₂，则由韦达定理可知λ₁，λ₂满足

由$R_{0}=\frac{\beta_{1} A\left(d+\alpha+\delta_{2}+\mu_{2}\right)+\beta_{2} A \varepsilon}{d\left(d+\alpha+\delta_{2}+\mu_{2}\right)\left(d+\varepsilon+\alpha+\delta_{1}+\mu_{1}\right)}$容易得到：

1) 当R₀ < 1时，有

即

所以

所以有λ₁+λ₂ < 0，λ₁λ₂>0，即λ₁ < 0，λ₂ < 0，由Routh-Hurwitz判据^[8]可知当R₀ < 1时，无病平衡点P₀局部渐近稳定.

2) 当R₀>1时，λ₁λ₂ < 0，方程(4)存在一个正根，无病平衡点P₀不稳定.定理得证.

定理3  当R₀ < 1时，无病平衡点P₀全局渐近稳定.

证  当R₀ < 1时，构造lyapunov函数

则沿着模型(1)的全导数为

当R₀ < 1时，$\dot{V} \leqslant 0$.又因为$\boldsymbol{P}_{0}=\left(\frac{A}{d}, 0, 0, 0, 0\right)$是集合$(S, E, I, Q, R) | \dot{V}=0$上的唯一平衡点，所以由LaSalle不变集定理^[9]可得，当R₀ < 1时，无病平衡点$\boldsymbol{P}_{0}=\left(\frac{A}{d}, 0, 0, 0, 0\right)$是全局渐近稳定的.

观察可知系统(1)的前三个方程和后两个方程没有关系，所以先考虑如下子系统：

容易看出集合$\mathit{\Gamma}=\left\{(S, E, I) \in \mathbb{R}_{+}^{3}: S+E+I \leqslant \frac{A}{d}\right\}$为系统(5)的正向不变集. $ \overline{\boldsymbol{P}}_{0}=\left(\frac{A}{d}, 0, 0\right) $，$ \overline{\boldsymbol{P}}^{*}=\left(\bar{S}^{*}, \bar{E}^{*}, \bar{I}^{*}\right) $分别是系统(5)的无病平衡点和唯一的地方病平衡点，且当R₀>1时，地方病平衡点才存在，其中

定理4  当R₀>1时，系统(5)的地方病平衡点P^*是局部渐近稳定的.

证  系统(5)在P^*处的Jacobian矩阵为

为方便计算令p=β₁E^*+β₂I^*，m=d+ε+α+δ₁+μ₁，n=d+α+δ₂+μ₂，计算可得矩阵所对应的特征方程为

其中

因为p=d(R₀-1)，$S^{*}=\frac{A}{d R_{0}}$，所以

因为$S^{*}=\frac{A}{d R_{0}}=\frac{m n}{\beta_{1} n+\beta_{2} \varepsilon}$，所以变形计算可得

所以

由a₁>0可知，m+p+d-β₁S^*>0，所以a₁a₂-a₃>0.由Routh-Hurwitz判据可知，当R₀>1时，地方病平衡点P^*是局部渐近稳定的，定理得证.

以下部分开始证P^*的全局渐近稳定性.

考虑微分方程

设x (t，x₀)是初始值为x (0，x₀)=x₀的方程(6)的解.给出两个假设：

(H₁)存在一个紧吸引子集K⊂D；

(H₂)方程(6)有唯一的平衡点x∈D.

设x→P(x)是一个$ \left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) $矩阵函数，x∈D时，P(x)∈C¹.假设P^-1(x)存在且在x∈K时是连续的，K是一个紧的吸引集.定义

其中$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}_{f} \boldsymbol{P}^{-1}+\boldsymbol{P} \frac{\partial f^{[2]}}{\partial \boldsymbol{x}} \boldsymbol{P}^{-1}$，矩阵P_f是P(x)沿着f方向的方向导数，μ(B)是矩阵Lozinskil测度，

引理1^{[6, 10]}  系统(5)的无病平衡点$ \overline{\boldsymbol{P}}_{0}\left(\frac{A}{d}, 0, 0\right) $是系统的不变集Γ的边界上的唯一的ω-极限点.

证  系统(5)的向量场横截不变集Γ的各个面，除了S轴是关于系统(5)不变的，在S轴上S满足的方程为S′=A-dS，易证$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } S(t) = \frac{A}{d}$，这样就证明了P₀是不变集Γ的边界上的唯一的ω-极限点.

引理2^{[6, 10]}  当R₀>1时，P₀不能成为始于不变集Γ内部的任何轨道的ω-极限点.

证  构造lyapunov函数

则沿着系统(5)的全导数为

当R₀>1时，$S=\frac{A}{d}>\frac{A}{d R_{0}}, \dot{V}>0$.即存在$\overline{\boldsymbol{P}}_{0}\left(\frac{A}{d}, 0, 0\right)$的一个邻域使得从该邻域出发的轨线均要跑出此邻域，引理得证.

引理1和引理2说明系统(5)是一致持续生存的，故在Γ内存在一个紧吸引子集K⊂Γ.且P^*=(S^*，E^*，I^*)是当R₀>1时的唯一平衡点.

引理3^[11-13]  假设D是单连通的且满足(H₁)和(H₂)成立，如果q < 0那么系统(5)的唯一平衡点是全局稳定的.

定理5  当R₀>1，且2Aβ₁ < d(d+ε+α+δ₁+μ₁)时，系统(5)的地方病平衡点P^*全局渐近稳定.

证  系统(5)的Jacobian矩阵为

其中m=d+ε+α+δ₁+μ₁，n=d+α+δ₂+μ₂其对应的第二加性符合矩阵为

取$\boldsymbol{P}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{P}(S, E, I)=\operatorname{diag}\left(1, \frac{E}{I}, \frac{E}{I}\right)$，那么$\boldsymbol{P}_{f} \boldsymbol{P}^{-1}=\operatorname{diag}\left\{0, \frac{E^{\prime}}{E}-\frac{I^{\prime}}{I}, \frac{E^{\prime}}{E}-\frac{I^{\prime}}{I}\right\} $，矩阵B = P_fP^-1+PJ^[2]P^-1可以写成分块矩阵

其中

令(u，v，w)代表$R^{3} \cong R\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right)$中向量，其范数‖·‖定义为‖(u，v，w)‖=max{|u|，|v|+|w|}.相应于范数‖·‖的Lozinskil测度是μ(B).

利用文献[14]的估值方法得μ(B)≤sup{g₁，g₂}，其中g₁=μ₁(B₁₁)+|B₁₂|，g₂=μ₁(B₂₂)+|B₂₁|，|B₁₂|，|B₂₁|是关于l₁向量范数的矩阵范数，μ₁是关于l₁范数的Lozinskil测度.

把B₂₂的每一列非对角矩阵取绝对值加到相应的对角线元素上得

取B′₂₂的两个对角元素的最大值即得μ(B₂₂)，则

由系统(5)后两个方程可得

代入(7)，(8)式可得

当2Aβ₁ < md且R₀>1时，有

可得

由引理3可知，系统(5)地方病平衡点全局渐近稳定.

定理6  当R₀>1时，地方病平衡点P^*(S^*，E^*，I^*，Q^*，R^*)是全局渐近稳定的.

证  由定理(5)可知，当t→+∞时，(S，E，I)→(S^*，E^*，I^*)，由模型(1)的极限系统

易得，当t→+∞时

所以，模型(1)的地方病平衡点是全局渐近稳定的.

为了形象说明模型的稳定性，下面运用Matlab软件对模型(1)进行数值模拟来验证所得到的结果.选取参数A=1，β₁=0.05，β₂=0.1，d=0.16，ε=0.2，δ₁=0.08，δ₂=0.09，δ₃=0.1，α=0.07，μ₁=0.4，μ₂=0.5，并选取一组初值(2，1.5，0.4，0.3，1).

当μ₁=0. 4，μ₂=0.5时，基本再生数R₀=0.511 < 1.表明无病平衡点是全局渐近稳定的，疾病将绝灭(图 1).

当μ₁=0.12，μ₂=0.05时，基本再生数R₀=1.032>1，表明地方病平衡点是全局渐近稳定的，疾病最终蔓延(图 2).