定义基本再生数$R=\frac{r\beta }{kbe}$，易得R>1时，$\frac{r}{k}>\frac{b{{v}^{*}}}{1+a{{u}^{*}}+bv}$.

定理1   当R>1时，平衡点E^*是局部渐近稳定的.

证  系统(1)在平衡点E^*处的线性化系统为

其中

系统(2)所对应的特征方程为

其中：

由定理条件易知$\frac{r}{k}>\frac{b{{u}^{*}}}{{{\left(1+a{{u}^{*}}+b{{v}^{*}} \right)}^{2}}}$，则B₁>0，B₂>0，这说明特征方程的根均有负实部，所以平衡点E^*是局部渐近稳定的.

定理2   当R>1时，平衡点E^*是全局渐近稳定的.

证   定义Lyapunov函数

其中$h=\frac{1+b{{v}^{*}}}{\beta +\beta au*}$，则有

这里

当$\frac{r}{k}>\frac{b{{u}^{*}}}{1+a{{u}^{*}}+b{{v}^{*}}}$时，$\frac{\text{d}V(t)}{\text{d}t}\le 0$，故平衡点E^*是全局渐近稳定的.

考虑系统(1)所对应的椭圆方程组

引理1   存在常数C，C，使系统(2)任一非负解(u，v)满足

证  根据比较原理^[11]，由方程组(3)中第二个方程容易得到，max_Ωv(x)≤k.再将方程组(3)中两个方程相加，同样利用比较原理可得，${{\max }_{\Omega }}u(x)\le \beta k\left(1+\frac{r}{e} \right)$.取$\bar{C}=\max \left\{ k, \beta k\left(1+\frac{r}{e} \right) \right\}$即可证明u，v的上界.

下面证明u，v的下界，将系统(3)中的第一个方程两端同乘以u并在Ω上积分，注意到

则有

由积分中值定理可知，存在x₀∈Ω，使$\frac{\beta v\left({{x}_{0}} \right)}{1+au\left({{x}_{0}} \right)+bv\left({{x}_{0}} \right)}\ge e$，从而$v\left({{x}_{0}} \right)\ge \frac{e}{\beta }$.再由Hanack不等式^[11]可得

故

下面利用反证法证明u的下界.假设存在序列W_m=(u_m，v_m)，使得m ∞时，min x∈ u_m(x) 0.结合Hanack不等式，max x∈ u_m(x) 0.则u_m(x) 0在Ω一致成立.另外，解序列W_m=(u_m，v_m)满足方程组(3)，由方程组(3)中第二个方程积分

令m→∞，则v_m→k.同理将方程组(3)第一个式子积分两边同除以$\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{\max }}\, {{u}_{m}}(x)$积分可得

由于$\frac{{{u}_{m}}}{\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{\max {{u}_{m}}}}\, (x)}>\frac{\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{\min {{u}_{m}}}}\, (x)}{\underset{x\in \bar{\Omega }}{\mathop{\max {{u}_{m}}}}\, (x)}\ge \frac{1}{{{A}_{1}}}$，再令m→∞，可得$\frac{\beta k}{1+bk}=e$，另一方面，由条件H₁计算可得$\frac{\beta k}{1+bk}>\alpha $，矛盾.因此u，v≤C立.引理证毕.

记系统(3)为-(Δ)^α W=F(W).令$B=\{x\in \Omega |u, v\in (\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{C}, \bar{C})\}$，W=(u，v)且W满足方程

其中(I-D)^-1是I-D的逆.由于算子G是单位算子I的一个等干扰算子.对∀W∈$\partial $B有G(W)≠0，故可定义Leray-Schander拓扑度deg(G(·)，0，B).直接计算得：

记

假设$\ell _ { 1 } < 0, \ell _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \ell _ { 2 } > 0$，此时H(μ^α)=0有两正根$\begin{array} { l } \wedge \quad \wedge \\ \mu _ { 1 }, \mu _ { 2 } \end{array}$，并且存在两正整数k₁，k₂，使得${{\hat{\mu }}_{1}}\in \left[\mu _{{{k}_{1}}}^{\alpha } \right., \left. \mu _{{{k}_{1}}+1}^{\alpha } \right), {{\hat{\mu }}_{2}}\in \left(\mu _{{{k}_{2}}}^{\alpha }, \mu _{{{k}_{2}}+1}^{\alpha } \right).$.

由Leray-Schander定理，有以下引理^[9].

引理2   对所有正整数i都有H(μ_i^α)≠0，则

定理3   若满足条件$\ell _ { 1 } < 0, \ell _ { 1 } ^ { 2 } - 4 \ell _ { 2 } > 0$，且$\sum\nolimits_{i={{k}_{1}}+1, H\left(\mu _{i}^{\alpha } \right) < 0}^{{{k}_{2}}}{\rm dim}E\left(\mu _{i}^{\alpha } \right)$为奇数，系统(3)至少有一个非常数正平衡解.

证  利用反证法.设d为充分大的正数，定义

考虑如下方程

同理(5)式也可以记为

当t=1时，系统(5)即是系统(3)，并且(5)只有唯一正常数解E^*.由定理条件以及引理2可知

另一方面，当t=0时，$H\left(0, {{\mu }^{\alpha }} \right)={{d}^{2}}{{\mu }^{2\alpha }}+d{{\ell }_{1}}{{\mu }^{\alpha }}+{{\ell }_{2}}$，由于${{\ell }_{2}}$，所以只要取足够大的d>0，满足$2{{d}^{2}}{{\mu }^{2\alpha }}+d{{\ell }_{1}}>0$，则对所有μ ≥0有H(0，μ^α)>0，故此时deg(F(D，·)，E^*)=(-1)⁰=1.由Leray-Schander度的同伦不变性^[12]可得矛盾.这说明系统(3)中至少有一个不同于E^*的解.定理证毕.