-
本文涉及的群均为有限群，特征标为复特征标. Irr(G)表示群G的所有不可约特征标的集合，cd(G)={χ(1)：χ∈Irr(G)}表示群G的所有不可约特征标维数的集合，ρ(G)表示G不可约特征标维数的所有互异素数因子的集合，Out(G)表示群G的外自同构群.设n为正整数，p为素数，π(n)表示整除n的所有互异素因子集合，np是整除n的最大的p的方幂.特别地，
对任意p∈ρ(G)，令
给定群G，定义G的维数幂图Γ(G)如下：以V(G)作为图Γ(G)的顶点，两顶点x，y∈V(G)有边相连当且仅当存在m∈cd(G)使得xy|m，并记为x~y，令E(G)是V(G)所有边的集合.如果存在p∈π(G)使得χ(1)p=|G|p，则称χ为p-亏零的.其它未说明的符号和术语都是标准的(见文献[1-2]).
2000年，Huppert提出如下猜想：
Huppert猜想[3] 设M是非交换单群，如果群G满足cd(G)=cd(M)，则G⊩M×A，其中A是交换群.
Huppert猜想指出：有限非交换单群M能够被它的所有不可约特征标维数集刻画.猜想证明了单群L2(q)和Sz(q)，及Mathieu等19个散在单群都成立[3-5]，且文献[6-7]证明了3个散在单群Co1，Co2，Co3也满足猜想，但Huppert猜想至今未被完全证明.文献[8-10]在减弱猜想的条件下提出用群的阶与其最高阶不可约特征标维数刻画单群，成功刻画了K3-单群和Mathieu，Janko等大部分散在单群.然而，很多单群被证明不能用群的阶与其最高阶不可约特征标维数去唯一刻画.文献[11]提出了群G的维数图Δ(G).文献[12]证明了许多单群能被它的阶和维数图唯一刻画.文献[13]证明了并非所有非交换单群都能被|G|和Δ(G)唯一决定，并证明了散在单群M12不能由它的维数图和群的阶唯一确定.文献[14]提出维数幂图的概念，且证明了：所有的Mathieu群能被群的阶和维数幂图唯一刻画.本文继续了这一问题的研究，特别研究了阶相同的两个非交换单群A8和L3(4)，主要结果如下：
定理 1 设G是有限群，G⊩L3(4)当且仅当|G|=|L3(4)|和Γ(G)=Γ(L3(4)).
定理 2 设G是有限群，G⊩A8当且仅当|G|=|A8|和Γ(G)=Γ(A8).
为证明定理1、定理2，还需要下面的引理：
引理 1[1] 设N⊲G，χ∈Irr(G).若θ∈Irr(χN)，则(χ(1)/θ(1))||G:N|.
由引理1立即得到：
引理 2 设N⊲⊲G，χ∈Irr(G).若θ∈Irr(χN)，则(χ(1)/θ(1))||G:N|.
定理 1 的证明
必要性是显然的，下面证充分性.
由假设及文献[2]有
及
由文献[14]可得
且群G不可解.由文献[14]知，存在G的正规群列1⊴H⊴K⊴G，使得K/H同构于非交换单群的直积，且|G/K|||Out(K/H)|.由群G的阶及文献[2]知，K/H只能同构于下述单群之一：A5，L3(2)，A6，L2(8)，A7，A8或L3(4).
情形 1 K/H≇A5
若K/H⊩A5，则由
及文献[14]知
其中α=5，6.从而
由文献[14]知，H非可解.再根据引理2，可得3~7∈E(H).由文献[1]的定理2.3，有
矛盾.
情形 2 K/H≇L3(2)
若K/H⊩L3(2)，则由
及文献[14]知
从而|H|=2t·3·5，其中t=2，3.由文献[14]知，H非可解.再根据引理2，得3~5∈E(H).由文献[1]的定理2.3，有
矛盾.
情形 3 K/H≇A6
若K/H⊩A6，则由
及文献[14]知
故|H|=2t·7，其中t=1，2，3.由文献[14]知，H非可解，显然矛盾.
情形 4 K/H≇L2(8)
若K/H⊩L2(8)，则由
及文献[14]知
根据L2(8)的阶，则α=2，因此|H|=23·5.由文献[14]知，H非可解，矛盾.
情形 5 K/H≇A7
若K/H⊩A7，则由
及文献[14]知
从而|H|=2t，其中t=2，3.
当t=2时，|H|=4，则H为循环群或交换群.但根据文献[14]知，H非可解，矛盾.当t=3时，|H|=8，由文献[14]可得，存在θ∈Irr(H)使得θ(1)2=|H|2，从而23|θ(1).由文献[1]的定理2.3知
矛盾.
情形 6 K/H≇A8
若K/H⊩A8，则通过阶的比较有G⊩A8.但根据文献[2]，有32·7∉cd(A8)，矛盾于E(G)的结构.
情形 7 K/H⊩L3(4)
通过比较阶可得G⊩L3(4).
定理 2 的证明
必要性是显然的，下面证充分性.
由假设及文献[2]得
及
由文献[14]可得
且群G不可解.再根据文献[14]，可知G中存在极小正规子群N，且N为非交换单群.由文献[2]及群G的阶，N只能同构于以下单群之一：A5，L3(2)，A6，L2(8)，A7，A8或L3(4).由N/C定理，G/N≲Out(N).如果N⊩A5或N⊩A6，由
则|G/N||22，从而7∤|G|，矛盾.同理，N≇L3(2)，L2(8).
如果N⊩A7，由
可知
但|G|2=26，矛盾.
如果N⊩L3(4)，比较群G的阶得G⊩L3(4).但32·7∈cd(L3(4))(见文献[2])，矛盾于E(G)={32~5，5~7}.
因此N⊩A8，比较群G的阶得G⊩A8.
A New Characterization of Simple Group A8 and L3(4)
-
摘要: 众所周知，有限群的特征标维数图对群的结构有重要的影响.Huppert猜想提出：有限非交换单群能够被它的所有不可约特征标维数集所刻画.利用群的特征标维数刻画群的结构是研究有限群的一个重要方法.继续这一相关问题的研究，研究了群的特征标维数幂图与群结构的关系，并利用群的阶与群的不可约特征标维数幂图成功地刻画了单群A8和L3（4）.Abstract: It is well known that the character dimension graph of a finite group has an important influence on the structure of a group. The Huppert's conjecture proposed that all finite non-abelian simple groups can be characterized by the set of their irreducible character degrees. It is an important method to characterize the structure of a finite group by using its characteristic dimension. In this paper, we continue to investigate this topic, and study the relationship between the dimension power graph and the structure of a finite group. In particular, we successfully characterize the simple group A8 and L3(4)by their order and dimension power graph.
-
Key words:
- simple group /
- order of finite group /
- character degree .
-
-
[1] ISAACS I M. Character Theory of Finite Groups[M].New York:Academic Press, 1976. [2] CONWAY J H, CURTIS R T, NORTON S P, et al. Atlas of Finite Groups[M].New York:Clarendon Press, 1985. [3] HUPPERT B. Some Simple Groups Which Are Determined by the Set of Their Character DegreesI[J]. Illinois J Math, 2000, 44(4):828-842. doi: 10.1215/ijm/1255984694 [4] HUPPERT B, BLACKBURN N.Finite GroupsII[M].New York:Springer-Verlag, 1982. [5] HUPPERT B, BLACKBURN N.Finite Groups III[M].New York:Springer-Verlag, 1982. [6] doi: http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=10.4171/RSMUP/126-11 ALAVI S H, DANESHKHAH A, TONG-VIET H P, et al.Huppert's Conjecture for Fi23[J].RendSemin MathUniv Padova, 2011, 126:201-211. [7] ALAVI S H, DANESHKHAH A, TONG-VIET H P, et al.On Huppert's Conjecture for the Conway and Ficsher Families of Sporadic Simple Groups[J].Journal of the Australia Math Soc, 2013, 94(3):289-303. doi: 10.1017/S1446788712000535 [8] 徐海静.群的特征标性质与群的结构研究[D].重庆: 西南大学, 2011. [9] XU H J, CHEN G Y, YAN Y X.A New Characterization of Simple K3-Groups by Their Orders and Large Degrees of Their Irreducible Characters[J].Communications in Algebra, 2014, 42(12):5374-5380. doi: 10.1080/00927872.2013.842242 [10] doi: http://cn.bing.com/academic/profile?id=82f45514759a0dd838b4f734d85e2845&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn XU H J, YAN Y X, CHEN G Y.A New Characterization of Mathieu Groups by the Order and One Irreducible Character Degree[J].Ineq Appl, 2013(1):209. [11] MANZ O, STASZEWSKI R, WILLEMS W.On the Number of Components of a Graph Related to Character Degrees[J].Proc Amer Math Soc, 1988, 103(1):31-37. doi: 10.1090/S0002-9939-1988-0938639-1 [12] doi: https://www.researchgate.net/publication/303788395_Recognition_of_some_simple_groups_by_character_degree_graph_and_order KHOSRAVI B.Recognition of Some Simple Groups by Character Degree Graph and Order[J].MathRep(Bucur), 2016, 18(1):51-61. [13] doi: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021869306007472 HEYDARI S, AHANJIDEH N.Some Simple Groups Which Are Determined by Their Character Degree Graphs[J].SiblektronMat, 2016, 13:1290-1299. [14] QIN C, YAN Y X, SHUM K, et al.Mathieu Groups and Its Degree Prime-Power Graphs[J].Communications in Algebra, 2019, 47(10):4173-4180. doi: 10.1080/00927872.2019.1579342 -
计量
- 文章访问数: 937
- HTML全文浏览数: 937
- PDF下载数: 132
- 施引文献: 0
下载: