由于圆柱体容器中的物质是均匀的，其中的温度也是对称的，因此，利用极坐标更方便.通过极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，注意到状态u不依赖于θ，可记为u=u(r，t)，于是系统(4)变换为

系统(5b)-(5d)形式上是一维的空间变量.式(5b)中的$\frac{1}{r}{{u}_{r}}$可以用Gauge变换消除^[12].然而，这将会导致u的系数依赖r，因此我们倾向于保留这一项.

为了设计一个控制来使闭环系统u(x，y，t)达到指数稳定，用Backstepping变换

将系统(5b)-(5d)转换为一个指数稳定的目标系统

其中$c\ge \frac{1}{4{{\varepsilon }^{2}}}$，核函数k待定.后面将会证明目标系统的指数稳定性.

通过变换(6)，为了满足目标系统的边界条件(7b)，u需要满足以下条件

通过方程(5c)，还需要满足

将(9)式对t求导，得到

由于u满足方程(5b)，利用分部积分，通过子系统(5a)，控制输入U(t)需要满足

因为α= CB是一个不为零的常数，所以取控制律为

接下来导出核函数满足的方程.对(6)式关于t进行求导时，因为u满足方程(5b)，再通过分部积分和u(R，t)=0，得到

式(6)两边关于r求偏导，可得

其中

将(11)，(12)和(13)式带入(7)式，得到

令核函数k(r，s)满足以下条件

于是w满足目标系统(7a).

因为方程(14a)的系数依赖于r和s，要得到核函数方程组(14)的解析解在数学上存在一定困难，~所以本文考虑证明解的存在性.在参考文献[5]中已经给出此类核函数方程解存在性的证明方法.具体步骤如下：首先，利用变换$\widetilde{k}\left(r\text{, }s \right)=\sqrt{\frac{r}{s}}k\left(r, s \right)$消去k_r(r，s)和k_s(r，s)项；然后，通过变量替换ξ=r-s+R以及ηa=r+s-R可以将偏微分方程转化为一个积分方程；最后，运用迭代法可以证明积分方程解的存在性，从而证明核函数方程组(14)的解的存在性.

要得到闭环系统(5b)-(5d)的稳定性，需要证明目标系统(7)的稳定性以及变换(6)的可逆性.由于目标系统(7)不同于以前的任何系统，因此，接下来证明目标系统(7)的稳定性.

令函数f(r，θ)定义在以Γ_ε和Γ_R为边界的区域Ω上.如果f不依赖θ，那么它在极坐标下的L₂范数‖f‖为

引理1 对于目标系统(7)，有

其中‖w(t)‖表示w(r，t)在Ω上的L₂范数，即目标系统在L₂范数意义下指数稳定.

证  选取李雅普诺夫函数

V(t)对t求导，由于w满足方程(7a)，利用边界条件(7b)，(7c)，可得

通过分部积分，利用边界条件(7b)和(7c)，有

通过庞家来不等式以及边界条件(7b)和(7c)，有

因此由方程(16)，(17)，(18)和$c\ge \frac{1}{4{{\varepsilon }^{2}}}$，可以得到

利用微分不等式的比较原理，可以得到

因此

即得目标系统(7)在L₂范数意义下指数稳定.

变换(6)的可逆性的证明过程与参考文献[5]中证明过程类似.接下来，需要证明如下引理：

引理2  变换(6)和它的逆变换都是有界算子，即存在正整数β和γ使得

证 从变换(6)与范数的性质，可以得到

根据Holder不等式，可以得到

其中

因此

同样地，由逆变换可以得到

其中

此处l(r，s)为逆变换的核函数.

根据引理1和引理2，可以建立闭环系统的稳定性定理.

定理1 设u(r，t)为系统(5b)-(5d)在控制律(10)作用下的闭环信号.于是存在正数σ使得

即闭环系统(5b)-(5d)在L₂范数意义下指数稳定.