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本文所涉及的群均为有限群. Sylow子群的正规化子在有限群的研究中扮演着十分重要的角色.假定P是有限群G的Sylow子群，NG(P)如何影响有限群的结构?许多学者对其进行了研究，并获得了丰富的结果.比如著名的Burnside定理[1]：
定理1[1] 假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果P包含在NG(P)的中心中，则G是p-幂零群.
定理2[2] 假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果NG(P)是p-幂零的，且P的幂零类不大于p，即P≤Zp-1(P)，则G是p-幂零的.
在这之后，许多学者对文献[2]的结果进行了推广(参见文献[3-9]).
文献[10]首次引入了S-拟正规的概念：设H是群G的子群.如果对于G的任意Sylow子群P，都有HP=PH，则称H为G的S-拟正规子群.如果对H的阶中的每一个素因子p，H的Sylow p-子群也是G的某个S-拟正规子群的Sylow p-子群，则称H在G中为S-拟正规嵌入的.这个概念由文献[11]引入，它对群的结构有着重要的影响，许多学者对此进行了研究.本文主要通过假定群G的Sylow子群P在G的正规化子NG(P)是p-幂零的及P中子群的S-拟正规嵌入性来研究有限群的p-幂零性，推广了前人的一些结果.
本文所涉及的所有术语和符号都是标准的，见文献[1].
定义1[11] 如果对H的阶中的每一个素因子p，H的Sylow p-子群也是G的某个S-拟正规子群的Sylow p-子群，则称H在群G中为S-拟正规嵌入的.
引理1[11] 设H在群G中为S-拟正规嵌入的，则下列结论成立：
(ⅰ)如果H≤M≤G，那么H在M中是S-拟正规嵌入的；
(ⅱ)如果N
引理2[10, 12] 如果H是群G的S-拟正规子群，则下列结论成立：
(ⅰ) H
(ⅱ) H/HG是幂零的；
(ⅲ)如果H是G的p-子群，则NG(H)≥Op(G).
定理3 假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果NG(P)是p-幂零的，P中存在一个包含在Φ(P)中的正规子群P1，使得P1在G中是S-拟正规嵌入的，且P/P1的幂零类不大于p，即P/P1≤Zp-1(P/P1)，则G是p-幂零的.
证 假设定理结论不成立，且设G为极小阶反例.我们按下列步骤证明：
步骤1 P1是非平凡的，且G不是单群.
如果G是单群，则G中存在一个S-拟正规子群K，使得P1是K的Sylow p-子群.由引理2知，K
步骤2 Op′(G)=1.
如果Op′(G)≠1.根据引理1，G/Op′(G)满足定理3的条件.因此，由G的极小性，G/Op′(G)是p-幂零的，从而G是p-幂零的，矛盾.
步骤3 若P≤H < G，则H是p-幂零的.
显然NH(P)=NG(P)∩H≤NG(P).由引理1知，P1在H中是S-拟正规嵌入的.因此H满足定理3的假设，从而由G的极小性知H是p-幂零的.
步骤4 设N是G的极小正规子群，则G/N是p-幂零群.进一步，N是G的唯一极小正规子群且Φ(G)=1.
显然NG(P)=
$\overline {{N_G}(P)} $ 是p-幂零的.由引理1知，G/N满足定理3的假设，由G的极小性得到G/N是p-幂零的.若G有两个极小正规子群N1和N2，则G/N1和G/N2都是p-幂零的，从而G/(N1∩N2)$\cong$ G也是p-幂零的，矛盾.因此G有唯一的极小正规子群N.若N≤Φ(G)，则G/Φ(G)是p-幂零的.这意味着G是p-幂零的，矛盾于G的极小性.因此Φ(G)=1.步骤5 P1∩N < N.
如果P1∩N=N，则N≤P1≤Φ(P)，这意味着N≤Φ(G)=1，矛盾.
步骤6 Op(G)=1且N不是p-幂零的.
如果Op(G)≠1，则由步骤4知N≤Op(G).我们分为以下几步来证明步骤6：
步骤6.1 N=Op(G).
由步骤4，存在G的极大子群M，使得G=MN.由于N是初等交换的，所以N∩M
而Φ(Op(G))≤Φ(G)=1，这表明Op(G)交换.因此Op(G)∩M
步骤6.2 P1∩N=1.
因为P1在G中是S-拟正规嵌入的，所以G中存在S-拟正规子群K，使得P1是K的Sylow p-子群.如果KG≠1，则由步骤6.1及步骤4知N≤KG≤K.这说明N≤P1，与步骤5矛盾.因此，KG=1.由引理2可得K是幂零的.再由文献[12]的定理1.2.7，P1是G的S-拟正规子群.又根据文献[12]的定理1.2.19，P1∩N是G的S-拟正规子群.应用引理2，得到
这表明P1∩N
步骤6.3 N≤Zp-1(P).
令P=P/P1且N=NP1/P1，我们有
因为N是G的正规子群，所以
这表明N≤Zp-1(P).
步骤6.4 完成步骤6的证明.
令L是G的Hall p′-子群，则由G/N的p-幂零性得LN
根据文献[8]的引理2.2，G是p-幂零的，矛盾.
步骤7 P1∩N=1.
因为P1在G中是S-拟正规嵌入的，所以G中存在S-拟正规子群K，使得P1是K的Sylow p-子群.如果KG≠1，则由步骤4知N≤KG≤K.又由步骤3有PKG=G.这意味着P1∩N≤Φ(P)，再由文献[13]的结果得N是p-幂零的，矛盾.因此，KG=1.所以P1∩N
步骤8 最后的矛盾.
令Np是N的Sylow p-子群，则NG(Np) < G且P≤NG(Np).由步骤3，NG(Np)是p-幂零的.又由步骤7，可得
所以Np的幂零类不大于p.根据定理2得N是p-幂零的，这与步骤6矛盾.
推论1 假定p是素数，且P是有限群G的Sylow p-子群.如果NG(P)是p-幂零的，且P′在G中是S-拟正规嵌入的，则G是p-幂零的.
证 由假定，P′在G中是S-拟正规嵌入的.因为P′≤Φ(P)，且P/P′是交换的，所以根据定理3可得G是p-幂零的.
推论2[14] 假定p是G的阶的最小素因子，且P是G的Sylow p-子群.如果P的每个极大子群都在NG(P)中是S-拟正规嵌入的，且P′在G中是S-拟正规嵌入的，则G是p-幂零的.
证 由引理1及文献[15]可得NG(P)是p-幂零的.又由推论1可证推论2.
The S-Quasinormally Embedded Subgroups and p-Nilpotency of Finite Groups
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摘要: 设H是有限群G的子群.如果H的Sylow子群也分别是G的某个S-拟正规子群的Sylow子群，则称H在G中S-拟正规嵌入.利用子群的S-拟正规嵌入性给出了有限群为p-幂零群的一个充分条件，推广了已有的结论.Abstract: A subgroup H of a group G is said to be S-quasinormally embedded in G, if every Sylow subgroup of H is also a Sylow subgroup of some S-quasinorml subgroup of G. In this paper, a sufficient condition for p-nilpotent groups have been obtained based on the assumption that some subgroups are S-quasinormal embedded. Our theorem is a generalization of the known results.
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Key words:
- S-quasinormally embedded subgroup /
- S-quasinormal subgroup /
- nilpotency class /
- p-nilpotent group .
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[1] ROBINSON D J S.A Course in the Theory of Groups[M].New York:Springer, 1982. [2] doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/OAPaper/oai_doaj-articles_215bda88968ae744684ed880579ea568 HALL P. On a Theorem of Frobenius[J].ProcLondon MathSoc, 1936, 40:468-501. [3] 常健, 刘建军.有限群的SS-可补子群[J].西南师范大学学报(自然科学版), 2018, 43(10):1-4. doi: http://xbgjxt.swu.edu.cn/article/doi/10.13718/j.cnki.xsxb.2018.10.001 [4] 蹇祥, 吕恒.具有极大正规化子的有限群[J].西南大学学报(自然科学版), 2016, 38(12):56-60. doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/xnsfdxxb201808002 [5] 曹建基, 高建玲.非正规循环子群的正规化子皆极大的两类有限可解群[J].西南大学学报(自然科学版), 2018, 40(12):81-85. doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/Periodical/xnnydxxb201812012 [6] doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/OAPaper/oai_doaj-articles_e03a6dffec4967aaecef5bf2e8cc5cd0 BALLESTER-BOLINCHESA, GUO X Y, LIY M, et al.On Finite p-Nilpotent Groups[J]. MonatshMath, 2016, 181(1):63-70. [7] LI Y M, SU N, WANG Y M. A Generalization of Burnside's p-Nilpotency Criterion[J]. JGroup Theory, 2017, 20(1):185-192. [8] 苏宁, 李样明, 王燕鸣.p-幂零群的一个判定准则[J].数学进展, 2018, 47(1):65-70. doi: http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=sxjz201801007 [9] XU X Y, LIY M. A Criterion on the Finite p-Nilpotent Groups[J].JMath Res Appl, 2019, 39(3):254-258. [10] KEGEL O. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler Endlicher Gruppen[J].MathZ, 1962, 78(1):205-221. doi: 10.1007/BF01195169 [11] BALLESTER-BOLICHES A, PEDRAZA-AQUILERAM C. Sufficient Conditions for Supersolvability of Finite Groups[J]. J Pure ApplAlgebra, 1998, 127:113-118. doi: 10.1016/S0022-4049(96)00172-7 [12] BALLESTER-BOLINCHES A, ESTEBAN-ROMERO R, ASAAD M.Products of Finite Grous[M].Berlin:Walter de Gruyter, 2010. [13] doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/NSTLQK/NSTL_QKJJ0210121538/ TATE J.Nilpotent Quotient Groups[J].Topology, 1964, 3(3):109-111. [14] 高金新, 李保军. S-拟正规嵌入子群[J].大学数学, 2012, 28(1):45-49. doi: 10.3969/j.issn.1672-1454.2012.01.010 [15] doi: http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=43aa617776c9da93c349ce9badfed33e ASAAD M, HELIEL A A. On S-Quasinormality Embedded Subgroups of Finite Groups[J].JPureApplAlgebra, 2001, 165:129-135. -
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