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具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球

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李明, 龚妍廿. 具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2020, 45(6): 33-38. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2020.06.007
引用本文: 李明, 龚妍廿. 具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2020, 45(6): 33-38. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2020.06.007
Ming LI, Yan-nian GONG. Locally Strongly Convex Relative Spheres with Parallel Cubic Simon Forms[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2020, 45(6): 33-38. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2020.06.007
Citation: Ming LI, Yan-nian GONG. Locally Strongly Convex Relative Spheres with Parallel Cubic Simon Forms[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2020, 45(6): 33-38. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2020.06.007

具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球

  • 基金项目: 国家自然科学基金项目(11871126)
详细信息
    作者简介:

    李明(1981-), 男, 副教授, 主要从事微分几何学的研究 .

  • 中图分类号: O186.1

Locally Strongly Convex Relative Spheres with Parallel Cubic Simon Forms

  • 摘要: 仿射微分几何中的一类重要问题是分类具有平行3-形式的超曲面.超曲面的Simon 3-形式是独立于仿射法化的几何量,是3-形式的无迹部分.运用相对微分几何的基本方程,选取局部强凸仿射超曲面的特殊幺正标架,研究了具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球的3-形式沿最大值方向的特征值分布以及相应的特征空间分解.证明了:具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球要么为二次超曲面,要么具有平行的3-形式.该结果推广了中心仿射法化情形下的相关工作.
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-12-29
  • 刊出日期:  2020-06-20

具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球

    作者简介: 李明(1981-), 男, 副教授, 主要从事微分几何学的研究
  • 重庆理工大学 数学科学研究中心, 重庆 400054
基金项目:  国家自然科学基金项目(11871126)

摘要: 仿射微分几何中的一类重要问题是分类具有平行3-形式的超曲面.超曲面的Simon 3-形式是独立于仿射法化的几何量,是3-形式的无迹部分.运用相对微分几何的基本方程,选取局部强凸仿射超曲面的特殊幺正标架,研究了具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球的3-形式沿最大值方向的特征值分布以及相应的特征空间分解.证明了:具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球要么为二次超曲面,要么具有平行的3-形式.该结果推广了中心仿射法化情形下的相关工作.

English Abstract

  • 相对微分几何是关于仿射空间中超曲面的一种理论,包含等积几何和中心仿射几何为其特例.设xMA是从n维连通定向流形Mn+1维仿射空间A的局部强凸浸入.设{Yy}是x(M)的相对法化. 3-形式C是最重要的几何不变量之一. Simon 3-形式$\widetilde{C}$定义为3-形式C的无迹部分:

    其中UVM上的向量场,h是由相对法化诱导的黎曼度量,T是Tchebychev向量场.

    Simon 3-形式$\widetilde{C}$与相对法化的选择无关. M的Simon 3-形式为0当且仅当M为二次曲面.关于3-形式和Simon 3-形式的基本性质及仿射微分几何的基本内容,可参考文献[1-3].

    许多作者对具有平行3-形式(即满足▽hC=0)的等积仿射超曲面进行了深入研究[4-6].本文所指的平行均指对于h的Levi-Civita联络▽h平行.对应于诱导联络等其它联络的平行性,可参考文献[7-9].

    最近,文献[10-11]分类了具有平行3-形式的局部强凸中心仿射超曲面.文献[12]给出了具有平行Simon 3-形式的二维非退化中心仿射曲面的分类.文献[13]给出了具有平行Simon 3-形式局部强凸中心仿射超曲面的分类.本文对于相对球,得到以下定理:

    定理1  设M是关于给定相对法化的局部强凸相对球,即仿射形状算子S=cid,其中c为常数.设▽h是诱导黎曼度量h的Levi-Civita联络.如果M的Simon 3-形式是平行的▽h$\widetilde{C}$=0,那么M具有平行的3-形式▽hC=0,或者M为二次曲面.

    在中心仿射法化的情形下,任何超曲面都是相对球,因此定理1是文献[13]部分结果的推广.本文所使用的方法实际上源于文献[14].

    本文约定以下指标的范围:

    h是一个黎曼度量,▽和▽*是无挠仿射联络.如果三元组{▽,h,▽*}满足

    那么{▽,h,▽*}称作共轭联络.对于共轭联络{▽,h,▽*},可以定义

    由(1)式可知,(0,3)-型$\hat{C}=h\circ C$是完全对称的,称作{▽,h,▽*}的3-形式.利用黎曼度量h可将同态C与3-形式$\hat{C}$等同.

    以下关于3-形式的引理多次出现在子流形几何中[4, 14],因为其具有一般性,所以我们将其总结成共轭联络的一个性质:

    引理1[4, 14]  给定共轭联络{▽,h,▽*}及其诱导的3-形式$\hat{C}$.对于任意pMSpM表示TpM上关于度量h的单位球.定义函数fSpM$\mathbb{R}$

    那么存在TpM的幺正标架场{ e1e2,…,en},使得:

    (i) e1SpMfSpM上达到最大值的点;

    (ii) { e1e2,…,en}是算子C(e1)的特征向量,即C(e1) ei=λi ei,其中λ1=f(e1)=$\mathop {\max }\limits_{v \in {S_p}M} \left( \mathit{\boldsymbol{v}} \right)$,如果记C(e1) ei=C1ij ej,则

    (iii) λ1≥2λα,对于任意的α∈{2,3,…,n},如果λ1=2λα,那么f(eα)=0.

    对于给定的局部强凸仿射超曲面M,通过逐点利用引理1,可以定义局部幺正标架场{ e1,…,en}.本文将使用这种特殊选择的标架场.

    引理2  设x(M)是具有给定相对法化的局部强凸相对球.如果x(M)的Simon 3-形式$\widetilde C$是平行的▽h$\widetilde C$=0,那么

    其中

    因此3-形式C在满足μ=0的M的子集上是平行的.进一步,对于αβ∈{2,…,n}和k∈{1,2,…,n},有

      如果M是具有平行Simon 3-形式▽h$\widetilde C$=0的相对球,那么根据文献[15]的性质2.3,可知▽hT=λid.因此

    μ的定义,很显然(3)式成立.

    取(3)式的协变导数,可得

    在(7)式中交换lp,并作差,得到

    但是Ricci恒等式蕴含着

    其中Riklj是仿射度量h的曲率张量Rh在适当标架场下的系数,即Rh(ekel) ei=Riklj ej.那么从(8)和(9)式,我们有

    x(M)具有可积性条件,见文献[15]中的(1.46)式,该等式在适当标架场下可表示为

    将(11)式代入(10)式,有

    在(12)式中选择i=j=p=1,l=α≥2,且运用(2)式,有

    在(13)式中令k=1,得到(4)式.在(13)式中令k=l=α≥2,可得(5)式.最后,在(12)式中令i=j=1,l=α≥2,p=β≥2,αβ,根据(4)式,可知(6)式成立.

    引理3  在引理2的假设下,有下面的结论:

    (i) 对于任意α∈{2,…,n},如果λα2-λ1λα+c≠0,则

    其中V (λα)是C(e1)关于特征值λα的特征空间;

    (ii) 对于任意αβ∈{2,…,n},如果λαλβλ1-2λα≠0,则

    (iii) 如果μ不是常数,则

      (i)在(12)式中选择p=k=1,i=j=l=α∈{2,…,n},可得

    对于某个α∈{2,…,n},如果λα2-λ1λα+c≠0,则

    由此可知

    对∀UVV (λα),易知

    由(17)和(18)式,可得

    在(19)式中将V变成- V,可知

    将(19)和(20)式作和,得到

    利用(17),(21)式,且考虑h(C(U + V + W)(U + V + W),U + V + W)的展开式,其中∀UVWV (λα),我们最终可得(14)式.

    (ii) 对于任意αβ∈{2,…,n},如果λ1-2λα≠0且λαλβ,那么(6)式蕴含(17)式.

    (iii) 如果μ不是常数,根据(5)式有

    那么(6)式蕴含

    其中αβγ∈{2,…,n},且λαλβ.结合(14),(15)以及(22)式,得知(16)式成立.

    定理1的证明  在(3)式中选择合适的指标,我们有

    其中α∈{2,…,n},且k∈{1,2,…,n}.根据(23)式和引理1,可得

    类似地计算可得

    情形1  μ为常数.

    如果μ为常数,那么由(5)式知,λα是下列关于y的方程的解:

    方程(28)至多有3个实数解,且

    但引理1说明λ1≥2λαα∈{2,…,n},从而

    已经假设dim V (λ2)=r,则引理3表明

    A∈{r+2,…,n},a∈{2,…,r+1},从(6)式可知

    由于(λa-λA)(2λA-λ1)≠0,可得

    对于A∈{r+2,…,n},因为2λA-λ1≠0,从而在(25)式中选择k=1,得到

    由(30),(32)和(33)式,我们得到

    因此,在μ为常数的情形下,由(24),(26)和(34)式得到

    如果λ1=2λ2,那么(35)式表明

    μ=0.

    如果0=λn2-λ1λn+c,那么(35)式表明

    再次利用(35)式,取(36)式沿e1的导数,得到

    从而μ=0.在这种情形下,由(3)式可知▽h C=0.

    情形2  μ不是常数且没有零点.

    在此情形下,(5)式表明

    作为(37)和(25)式的推论,我们有

    因此

    由引理3,有

    在(27)式中选择k=α∈{2,…,n},利用(38)和(39)式,可得

    则在点μ≠0处,有

    由引理1、引理3以及(41)式,得

    由(42)和(43)式,我们有

    这等价于$\tilde C$=0.

参考文献 (15)

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