-
相对微分几何是关于仿射空间中超曲面的一种理论,包含等积几何和中心仿射几何为其特例.设x:M→A是从n维连通定向流形M到n+1维仿射空间A的局部强凸浸入.设{Y,y}是x(M)的相对法化. 3-形式C是最重要的几何不变量之一. Simon 3-形式
$\widetilde{C}$ 定义为3-形式C的无迹部分:其中U,V是M上的向量场,h是由相对法化诱导的黎曼度量,T是Tchebychev向量场.
Simon 3-形式
$\widetilde{C}$ 与相对法化的选择无关. M的Simon 3-形式为0当且仅当M为二次曲面.关于3-形式和Simon 3-形式的基本性质及仿射微分几何的基本内容,可参考文献[1-3].许多作者对具有平行3-形式(即满足▽hC=0)的等积仿射超曲面进行了深入研究[4-6].本文所指的平行均指对于h的Levi-Civita联络▽h平行.对应于诱导联络等其它联络的平行性,可参考文献[7-9].
最近,文献[10-11]分类了具有平行3-形式的局部强凸中心仿射超曲面.文献[12]给出了具有平行Simon 3-形式的二维非退化中心仿射曲面的分类.文献[13]给出了具有平行Simon 3-形式局部强凸中心仿射超曲面的分类.本文对于相对球,得到以下定理:
定理1 设M是关于给定相对法化的局部强凸相对球,即仿射形状算子S=cid,其中c为常数.设▽h是诱导黎曼度量h的Levi-Civita联络.如果M的Simon 3-形式是平行的▽h
$\widetilde{C}$ =0,那么M具有平行的3-形式▽hC=0,或者M为二次曲面.在中心仿射法化的情形下,任何超曲面都是相对球,因此定理1是文献[13]部分结果的推广.本文所使用的方法实际上源于文献[14].
本文约定以下指标的范围:
设h是一个黎曼度量,▽和▽*是无挠仿射联络.如果三元组{▽,h,▽*}满足
那么{▽,h,▽*}称作共轭联络.对于共轭联络{▽,h,▽*},可以定义
由(1)式可知,(0,3)-型
$\hat{C}=h\circ C$ 是完全对称的,称作{▽,h,▽*}的3-形式.利用黎曼度量h可将同态C与3-形式$\hat{C}$ 等同.以下关于3-形式的引理多次出现在子流形几何中[4, 14],因为其具有一般性,所以我们将其总结成共轭联络的一个性质:
引理1[4, 14] 给定共轭联络{▽,h,▽*}及其诱导的3-形式
$\hat{C}$ .对于任意p∈M,SpM表示TpM上关于度量h的单位球.定义函数f:SpM→$\mathbb{R}$ 为那么存在TpM的幺正标架场{ e1,e2,…,en},使得:
(i) e1∈SpM是f在SpM上达到最大值的点;
(ii) { e1,e2,…,en}是算子C(e1)的特征向量,即C(e1) ei=λi ei,其中λ1=f(e1)=
$\mathop {\max }\limits_{v \in {S_p}M} \left( \mathit{\boldsymbol{v}} \right)$ ,如果记C(e1) ei=C1ij ej,则(iii) λ1≥2λα,对于任意的α∈{2,3,…,n},如果λ1=2λα,那么f(eα)=0.
对于给定的局部强凸仿射超曲面M,通过逐点利用引理1,可以定义局部幺正标架场{ e1,…,en}.本文将使用这种特殊选择的标架场.
引理2 设x(M)是具有给定相对法化的局部强凸相对球.如果x(M)的Simon 3-形式
$\widetilde C$ 是平行的▽h$\widetilde C$ =0,那么其中
因此3-形式C在满足μ=0的M的子集上是平行的.进一步,对于α,β∈{2,…,n}和k∈{1,2,…,n},有
且
证 如果M是具有平行Simon 3-形式▽h
$\widetilde C$ =0的相对球,那么根据文献[15]的性质2.3,可知▽hT=λid.因此由μ的定义,很显然(3)式成立.
取(3)式的协变导数,可得
在(7)式中交换l和p,并作差,得到
但是Ricci恒等式蕴含着
其中Riklj是仿射度量h的曲率张量Rh在适当标架场下的系数,即Rh(ek,el) ei=Riklj ej.那么从(8)和(9)式,我们有
x(M)具有可积性条件,见文献[15]中的(1.46)式,该等式在适当标架场下可表示为
将(11)式代入(10)式,有
在(12)式中选择i=j=p=1,l=α≥2,且运用(2)式,有
在(13)式中令k=1,得到(4)式.在(13)式中令k=l=α≥2,可得(5)式.最后,在(12)式中令i=j=1,l=α≥2,p=β≥2,α≠β,根据(4)式,可知(6)式成立.
引理3 在引理2的假设下,有下面的结论:
(i) 对于任意α∈{2,…,n},如果λα2-λ1λα+c≠0,则
其中V (λα)是C(e1)关于特征值λα的特征空间;
(ii) 对于任意α,β∈{2,…,n},如果λα≠λβ且λ1-2λα≠0,则
(iii) 如果μ不是常数,则
证 (i)在(12)式中选择p=k=1,i=j=l=α∈{2,…,n},可得
对于某个α∈{2,…,n},如果λα2-λ1λα+c≠0,则
由此可知
对∀U,V ∈ V (λα),易知
由(17)和(18)式,可得
在(19)式中将V变成- V,可知
将(19)和(20)式作和,得到
利用(17),(21)式,且考虑h(C(U + V + W)(U + V + W),U + V + W)的展开式,其中∀U,V,W ∈ V (λα),我们最终可得(14)式.
(ii) 对于任意α,β∈{2,…,n},如果λ1-2λα≠0且λα≠λβ,那么(6)式蕴含(17)式.
(iii) 如果μ不是常数,根据(5)式有
那么(6)式蕴含
其中α,β,γ∈{2,…,n},且λα≠λβ.结合(14),(15)以及(22)式,得知(16)式成立.
定理1的证明 在(3)式中选择合适的指标,我们有
其中α∈{2,…,n},且k∈{1,2,…,n}.根据(23)式和引理1,可得
类似地计算可得
情形1 μ为常数.
如果μ为常数,那么由(5)式知,λα是下列关于y的方程的解:
方程(28)至多有3个实数解,且
但引理1说明λ1≥2λα,α∈{2,…,n},从而
已经假设dim V (λ2)=r,则引理3表明
对A∈{r+2,…,n},a∈{2,…,r+1},从(6)式可知
由于(λa-λA)(2λA-λ1)≠0,可得
对于A∈{r+2,…,n},因为2λA-λ1≠0,从而在(25)式中选择k=1,得到
由(30),(32)和(33)式,我们得到
因此,在μ为常数的情形下,由(24),(26)和(34)式得到
如果λ1=2λ2,那么(35)式表明
且μ=0.
如果0=λn2-λ1λn+c,那么(35)式表明
再次利用(35)式,取(36)式沿e1的导数,得到
从而μ=0.在这种情形下,由(3)式可知▽h C=0.
情形2 μ不是常数且没有零点.
在此情形下,(5)式表明
作为(37)和(25)式的推论,我们有
因此
由引理3,有
在(27)式中选择k=α∈{2,…,n},利用(38)和(39)式,可得
则在点μ≠0处,有
由引理1、引理3以及(41)式,得
且
由(42)和(43)式,我们有
这等价于
$\tilde C$ =0.
Locally Strongly Convex Relative Spheres with Parallel Cubic Simon Forms
-
摘要: 仿射微分几何中的一类重要问题是分类具有平行3-形式的超曲面.超曲面的Simon 3-形式是独立于仿射法化的几何量,是3-形式的无迹部分.运用相对微分几何的基本方程,选取局部强凸仿射超曲面的特殊幺正标架,研究了具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球的3-形式沿最大值方向的特征值分布以及相应的特征空间分解.证明了:具有平行Simon 3-形式的局部强凸相对球要么为二次超曲面,要么具有平行的3-形式.该结果推广了中心仿射法化情形下的相关工作.
-
关键词:
- 强凸相对球 /
- 3-形式 /
- Simon 3-形式 /
- Techebychev向量场
Abstract: An important problem in affine differential geometry is to classify the hypersur-faces with parallel cubic forms. The cubic Simon form is a geometric invarance of a hyper-surface which is the traceless part of the cubic form and independent to the choice of the relative normalizations. Using the fundamental equations in relative geometry and choosing special orthonormal moving frames, the eigenvalues and engenspaces are investigated along the maximum direction of the cubic form of a locally strongly convex relative sphere with parallel cubic Siom form. Finaly the locally strongly convex relative spheres with parallel cubic Siom form have parallel cubic form or are quadric. It generalizes a previous result in centroaffine geometry.-
Key words:
- strongly convex relative sphere /
- cubic form /
- cubic Simon form /
- Techebychev vector field .
-
-
[1] LI A M, SIMON U, ZHAO G S, et al.Global Affine Differential Geometry of Hypersurfaces[M].Berlin:Walter de Gruyter, 2015. [2] NOMIZU K, SASAKI T.Affine Differential Geometry[M].Cambridge:Cambridge University Press, 1994. [3] SIMON U, SCHWENK-SCHELLSCHMIDT A, VIESEL H.Introduction to the Affine Differential Geometry of Hypersurfaces[M]. Tokyo:Science University Tokyo, 1991. [4] DILLEN F, VRANCKEN L, YAPRAK S.Affine Hypersurfaces with Parallel Cubic Form[J].Nagoya Math J, 1994, 135:153-164. doi: 10.1017/S0027763000005006 [5] doi: http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=5a4ac19335c7dca4053de5e167246f9c HU Z J, LI H Z, SIMON U, et al.On Locally Strongly Convex Affine Hypersurfaces with Parallel Cubic Form, I[J].Differential GeomAppl, 2009, 27(2):188-205. [6] 李兴校.对称等仿射球和极小对称Lagrange子流形的对应[J].中国科学(数学), 2014, 44(1):13-36. doi: http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=zgkx-ca201401002 [7] BOKAN N D, NOMIZU K, SIMON U.Affine Hypersurfaces with Parallel Cubic Forms[J]. Tôhoku MathJ, 1990, 42(1):101-108. doi: 10.2748/tmj/1178227697 [8] doi: http://cn.bing.com/academic/profile?id=f768a386c102e01ae58a8ced85210dce&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn DILLEN F, VRANCKEN L.Hypersurfaces with Parallel Difference Tensor[J].JapanJMath, 1998, 24(1):43-60. [9] LI C C.Affine Hypersurfaces with Parallel Difference Tensor Relative to Affine α-Connection[J].Journal of Geometry and Physics, 2014, 86:81-93. doi: 10.1016/j.geomphys.2014.07.018 [10] doi: http://d.old.wanfangdata.com.cn/OAPaper/oai_arXiv.org_1208.1155 HILDEBRAND R.Centro-Affine Hypersurface Immersions with Parallel Cubic Form[J]. Beiträge zur Algebra und Geometrie, 2015, 56(2):593-640. [11] CHENG X X, HU Z J, MORUZ M.Classification of the Locally Strongly Convex Centroaffine Hypersurfaces with Parallel Cubic Form[J]. Results Math, 2017, 72(1-2):419-469. doi: 10.1007/s00025-017-0651-2 [12] doi: http://cn.bing.com/academic/profile?id=8345032e46edc0f7df48e1784eb37d54&encoded=0&v=paper_preview&mkt=zh-cn LIU H L, WANG C P.Centroaffine Surfaces with Parallel Traceless Cubic Form[J].Bull BelgMathSoc, 1997, 4(4):493-499. [13] doi: http://www.wanfangdata.com.cn/details/detail.do?_type=perio&id=5bc964385a01dfea92acc3dbcfa103ea CHENG X X, HU Z J.An Optimal Inequality on Locally Strongly Convex Centroaffine Hypersurfaces[J]. JGeomAnal, 2018, 28(1):643-655. [14] LI H Z, VRANCKEN L.A Basic Inequality and New Characterization of Whitney Spheres in a Complex Space Form[J]. Israel Journal of Math, 2005, 146(1):223-242. doi: 10.1007/BF02773534 [15] LI A, LIU H, SCHWENK-SHELLSCHMIDT A, et al.Cubic Form Methods and Relative Tchebychev Hypersurfaces[J]. Geometriae Dedicata, 1997, 66(2):203-221. doi: 10.1023/A:1004912032314 -
计量
- 文章访问数: 1847
- HTML全文浏览数: 1847
- PDF下载数: 88
- 施引文献: 0