设R是Noetherian环，M是有限生成R-模. 文献[1]引入了G-维数为0的模. 文献[2]证明了在双边Noetherian环上，G-维数为0的有限生成模与Gorenstein投射模等价. 随后许多学者对这两类模做了深入的研究和推广. 文献[3]将Gorenstein投射模的概念推广到强Gorenstein投射模，并且证明了R-模M是Gorenstein投射模当且仅当M是某个强Gorenstein投射模的直和项. 一般情况下，M是强Gorenstein投射模关于扩张不封闭，因此，这类模不是投射可解类. 文献[4]引入了Ext-强Gorenstein投射模，给出了Ext-强Gorenstein投射模的相关性质，并且证明了Ext-强Gorenstein投射模是投射可解类. 更多Gorenstein同调模的相关性质，请参考文献[5-8].

文献[9]引入了半对偶化R-模，接着在此基础上引入了C-投射模，之后学者们从不同角度对此类模做了进一步研究. 文献[10]引入了W_P-Gorenstein模的概念，文献[11]引入了强W_P-Gorenstein模的概念，并且证明了R-模M是W_P-Gorenstein模当且仅当M是某个强W_P-Gorenstein模的直和项. 文献[12]在投射可解类的基础上定义了P_c(R)-可解类.

受以上工作的启发，本文在前人的研究基础上引入一个新的模类，命名为Ext-强W_P-Gorenstein模，推广了之前的Ext-Gorenstein模类，并讨论了这个新模类的性质和刻画. 特别地，将它们与覆盖和包络理论联系起来，证明了Ext-强W_P-Gorenstein模是P_c(R)-可解的.

文中的环均指有单位元的交换环，模均指酉模. 为方便起见，所有的模都指左R-模，记R-模范畴为R-Mod.用$P_{C}(R), P_{C}(R)-p d_{R}(M) $分别表示C-投射模、M的C-投射维数.

由文献[10]知：如果存在C-投射R-模的正合序列

使得$M \cong \operatorname{Ker} f^{0} $，且对任意的$Q \in P_{C}(R) $，有$\operatorname{Hom}_{R}(Q, \xi) $和$\operatorname{Hom}_{R}(\xi, Q) $正合，则左R-模M是W_P-Gorenstein模.

定义1^[11]     如果存在C-投射R-模的正合序列

使得$M \cong \operatorname{Ker} f $，且对任意的$Q \in P_{C}(R) $，有$\operatorname{Hom}_{R}(Q, \xi) $和$ \operatorname{Hom}_{R}(Q, \xi)$正合，则R-模M是强W_P-Gorenstein模.

将W_P-Gorenstein模和强W_P-Gorenstein模类分别记作$ G\left(W_{P}\right), S G\left(W_{P}\right)$.

定义2     设$\chi $是R-模类，如果$P_{C}(R) \subseteq \chi $，并且对任意R-模的正合序列$ 0 \longrightarrow M^{\prime} \longrightarrow M \longrightarrow M^{\prime \prime} \longrightarrow 0$，其中$M^{\prime \prime} \in \chi $，有$M \in \chi $当且仅当$M^{\prime} \in \chi $，则称$\chi $是$P_{C}(R) $ -可解类.

文献[9]引入了半对偶化R-模的定义，证明了在交换环上，半对偶化R-模是忠实的，并且在此基础上引入了C-投射R-模的概念.

设M，N是R-模，记$\operatorname{Ext}(M, N)=\{Y: $任意正合序列$ 0 \longrightarrow N \longrightarrow Y \longrightarrow M \longrightarrow 0 $ }.

定义3     设$\chi $是R-模类，定义

由强W_P-Gorenstein模的定义可知$ P_{C}(R) \subseteq S G\left(W_{P}\right) $. 由文献[11]知，$S G\left(W_{P}\right) $不是$P_{C}(R) $ -可解类. 为了在$ P_{C}(R)$和$ S G\left(W_{P}\right)$之间找到一种$P_{C}(R) $ -可解类. 下面引入Ext-强W_P-Gorenstein模.

定义4     设$M \in S G\left(W_{P}\right) $，如果$ \operatorname{Ext}\left(S G\left(W_{P}\right), M\right) \subseteq S G\left(W_{P}\right)\left(\right.$或$\left.\operatorname{Ext}\left(M, S G\left(W_{P}\right)\right) \subseteq S G\left(W_{P}\right)\right) $. 则R-模M是右(左)强W_P-Gorenstein模，将右(左)强W_P-Gorenstein模类记作$ r S G\left(W_{P}\right)\left(l S G\left(W_{P}\right)\right) $. 如果$M \in r S G\left(W_{P}\right)\left(\right. $或$\left.M \in l S G\left(W_{P}\right)\right) $，则M是Ext-强W_P-Gorenstein模.

由文献[11]的定理3.7知：

引理1     设$0 \longrightarrow K \longrightarrow M \longrightarrow C \otimes_{R} Q \longrightarrow 0$是R-模的正合序列，其中Q是投射R-模，则K∈ $S G\left(W_{P}\right) $当且仅当$ M \in S G\left(W_{P}\right)$.

命题1     设$0 \longrightarrow M^{\prime} \longrightarrow M \longrightarrow M^{\prime \prime} \longrightarrow 0 $是R-模的正合序列，其中$M^{\prime \prime} \in S G\left(W_{P}\right) $.

(i) 如果$M^{\prime \prime} \in r S G\left(W_{P}\right) $且$M \in S G\left(W_{P}\right) $，那么$ M^{\prime} \in S G\left(W_{P}\right)$；

(ii) 如果$M \in I S G\left(W_{P}\right) $，那么$M^{\prime} \in S G\left(W_{P}\right) $.

证    (i)已知$M^{\prime \prime} \in S G\left(W_{P}\right) $，有正合序列$0 \longrightarrow M^{\prime \prime} \longrightarrow C \otimes_{R} Q \longrightarrow M^{\prime \prime} \longrightarrow 0 $，其中Q是投射模

由中间行知$T \in S G\left(W_{P}\right) $，故由中间列和引理1知$ M^{\prime} \in S G\left(W_{P}\right) $.

(ii) 证明方法和(i)类似.

定理1     设R是环，则$r S G\left(W_{P}\right) $和$l S G\left(W_{P}\right) $是$P_{C}(R) $ -可解类.

证     只证$ r S G\left(W_{P}\right)$是$P_{C}(R) $ -可解类，用同样的方法可证$l S G\left(W_{P}\right) $是P_C(R)-可解类.

设$ 0 \longrightarrow M_{1} \longrightarrow M_{2} \longrightarrow M_{3} \longrightarrow 0$是R-模的正合序列，其中$M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right) $. 下面需证M₁∈ $ r S G\left(W_{P}\right) $当且仅当$ M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right) $.

必要性    假设$M_{1} \in r S G\left(W_{P}\right) $，已知$ M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right)$，下证$ M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right)$.

设$ 0 \longrightarrow M_{2} \longrightarrow K \longrightarrow W \longrightarrow 0$是R-模的正合序列，其中$ W \in S G\left(W_{P}\right)$. 考虑推出图

在最后一列中，因为$M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right), W \in S G\left(W_{P}\right) $，所以$T \in S G\left(W_{P}\right) $. 在中间行中，因为$T \in S G\left(W_{P}\right) $，$M_{1} \in r S G\left(W_{P}\right) $，所以$K \in S G\left(W_{P}\right) $. 故由中间列得$M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right) $.

充分性    假设$ M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right)$，已知$ M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right)$，下证$ M_{1} \in r S G\left(W_{P}\right)$. 由于$M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right) \subseteq $$S G\left(W_{P}\right) $故存在正合序列$ 0 \longrightarrow M_{3} \longrightarrow C \otimes_{R} P \longrightarrow M_{3} \longrightarrow 0$，其中P是投射R-模. 考虑拉回图

由于$ M_{2}, M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right) $，由必要性的证明知$X \in r S G\left(W_{P}\right) $. 由中间一列和引理1知$M_{1} \in S G\left(W_{P}\right) $. 设$0 \longrightarrow M_{1} \longrightarrow L \longrightarrow M_{1}^{\prime} \longrightarrow 0$是R-模的正合序列，其中$ \longrightarrow M_{1}^{\prime} \in S G\left(W_{P}\right) $. 考虑推出图

在中间列中，因为$X \in rSG\left( {{W_P}} \right),{M'_1} \in SG\left( {{W_P}} \right)$，所以$ L \oplus\left(C \otimes_{R} P\right) \in S G\left(W_{P}\right)$. 对于中间行，由引理1知$ L \in S G\left(W_{P}\right) $. 故$ M_{1} \in r S G\left(W_{P}\right)$.

命题2     设$0 \longrightarrow M_{1} \longrightarrow M_{2} \longrightarrow M_{3} \longrightarrow 0 $是R-模的正合序列，其中$M_{3} \in G\left(W_{P}\right) $，则以下结论成立：

(i) 若$M_{1} \in S G\left(W_{P}\right), M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right) $，则$ M_{3} \in S G\left(W_{P}\right)$；

(ii) 若$M_{1} \in l S G\left(W_{P}\right), M_{2} \in S G\left(W_{P}\right)$，则$ M_{3} \in S G\left(W_{P}\right)$；

(iii) 若$M_{1}, M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right)$, 则 $M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right) $；

(iv) 若$M_{1}, M_{2} \in l S G\left(W_{P}\right) $，则$M_{3} \in lSG\left(W_{P}\right) $.

证    (i) 已知$M_{1} \in S G\left(W_{P}\right) $，存在R-模的正合序列

其中P是投射R-模. 考虑$M_{1} \longrightarrow M_{2} $和$M_{1} \longrightarrow C \otimes_{R} P$的推出图

由中间列知，$M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right), M_{1} \in S G\left(W_{P}\right) $，故$ X \in S G\left(W_{P}\right)$. 因为$ M_{3} \in G\left(W_{P}\right)$，所以由定义知$ \operatorname{Ext}_{R}^{1}\left(M_{3}, C \otimes_{R} P\right)=0$，故中间行可裂. 则存在正合序列$ 0 \longrightarrow M_{3} \longrightarrow X \longrightarrow C \otimes_{R} P \longrightarrow 0 $. 引理1知$ M_{3} \in S G\left(W_{P}\right)$.

(ii) 证明方法和(i)类似.

(iii) 因为$ M_{1}, M_{2} \in r S G\left(W_{P}\right)$，由(i)和上面的证明知$X \cong M_{3} \oplus\left(C \otimes_{R} P\right) $. 所以存在正合序列$0 \longrightarrow M_{3} \longrightarrow X \longrightarrow C \otimes_{R} P \longrightarrow 0 $. 由定理1知$ M_{3} \in r S G\left(W_{P}\right) $.

(iv) 证明方法和(iii)类似.

推论1    设$M \in G\left(W_{P}\right) $，存在正合序列

使得$L \in r S G\left(W_{P}\right)\left(\text { 或 } L \in l S G\left(W_{P}\right)\right), 0 \leqslant i \leqslant n $，则$M \in r S G\left(W_{P}\right)\left(\text { 或 } M \in lSG\left(W_{P}\right)\right)$.

证     设$ K_{i} \in \operatorname{Ker}\left(L_{i} \longrightarrow L_{i-1}\right), 0 \leqslant i \leqslant n, L_{-1}=M $. 由文献[10]的命题2.7知，K_i是$ G\left(W_{P}\right),$$0 \leqslant i \leqslant n-2 $. 则有正合序列

由命题2(iii)知$K_{i} \in r S G\left(W_{P}\right)\left(\text { 或 } K_{i} \in l S G\left(W_{P}\right)\right)$对于短正合序列$0 \longrightarrow K_{0} \longrightarrow L_{0} \longrightarrow M \longrightarrow 0 $，由命题2(iii)知$M \in r S G\left(W_{P}\right)\left(\text { 或 } M \in lSG\left(W_{P}\right)\right) $.

命题3     设R是环，则以下结论等价：

(i) $ l S G\left(W_{P}\right)=S G\left(W_{P}\right)$；

(ii) $S G\left(W_{P}\right)=G\left(W_{P}\right) $；

(iii) $ r S G\left(W_{P}\right)=S G\left(W_{P}\right)$；

(iv) $S G\left(W_{P}\right) $关于扩张封闭，$M_{3} \in lSG\left(W_{P}\right) $；

(v) $ lSG\left(W_{P}\right) \cap r S G\left(W_{P}\right)=S G\left(W_{P}\right)$.

证     (i)$ \Rightarrow $(ii) 设$l S G\left(W_{P}\right)=S G\left(W_{P}\right) $. 由定理1知，$ l S G\left(W_{P}\right)$是$P_{c}(R)- $可解的. 设$M \in G\left(W_{P}\right) $. 由文献[11]的定理3.6知，M是$ S G\left(W_{P}\right)$的直和项. 由文献[13]的命题1.4和文献[11]的命题3.5知，$S G\left(W_{P}\right) $关于直和项封闭. 因此$M \in S G\left(W_{P}\right) $，即$ S G\left(W_{P}\right)=G\left(W_{P}\right)$.

(ii) $ \Rightarrow $(i) 设$M \in G\left(W_{P}\right) $，已知$ S G\left(W_{P}\right)=G\left(W_{P}\right)$. 下证$M \in l S G\left(W_{P}\right) $. 由文献[14]的推论4.5知，$ \operatorname{Ext}\left(M, S G\left(W_{P}\right)\right)=\operatorname{Ext}\left(M, G\left(W_{P}\right)\right) \subseteq G\left(W_{P}\right)=S G\left(W_{P}\right) $. 则$M \in l S G\left(W_{P}\right) $.

(ii) $ \Rightarrow $(iii) 证明类似(ii)$ \Rightarrow $(i).

(iii) $ \Rightarrow $(ii) 证明类似(i)$ \Rightarrow $(ii).

(iv) $ \Rightarrow $(i) 由定义知.

(i) $ \Rightarrow $(iv) 由定理1知$l S G\left(W_{P}\right) $是$ P_{c}(R)$ -可解的，因此$S G\left(W_{P}\right) $关于扩张封闭.

(v) $ \Rightarrow $(i) 由已知条件得$S G\left(W_{P}\right)=l S G\left(W_{P}\right) \cap r S G\left(W_{P}\right) \subseteq S G\left(W_{P}\right) $.

(iv) $ \Rightarrow $(v) $S G\left(W_{P}\right) $关于扩张封闭，则$l S G\left(W_{P}\right)=S G\left(W_{P}\right), r S G\left(W_{P}\right)=S G\left(W_{P}\right) $.

设$\chi $是R-模的类. $ \operatorname{dim}_{\chi} M$表示R-模M的$\chi $-分解维数，并且$\operatorname{dim}_{\chi} M=\min \{n$:存在正合序列$0 \longrightarrow X_{n} \longrightarrow \cdots \longrightarrow X_{2} \longrightarrow X_{1} \longrightarrow X_{0} \longrightarrow M \longrightarrow 0 $如果不存在这样的n，那么规定$\operatorname{dim}_{\chi} M=\infty $.

设$\chi $是R-模类. M是R-模，若对任意的X∈$\chi $，

是正合的，则称f是M的$\chi $-预覆盖. 对偶地，有M的$\chi $-预包络的定义.

定理2     设M是R-模，并且$ M \notin r S G\left(W_{P}\right), n \geqslant 1$，则以下结论等价：

(i) $ \operatorname{dim}_{r S G\left(W_{P}\right)} M \leqslant n$；

(ii) M有一个满的$r S G\left(W_{P}\right)- $预覆盖$f: T \longrightarrow M $，其中$K=\operatorname{Ker} f $，且$ P_{c}(R)-p d_{R}(K)=n-1 $；

(iii) 存在两个正合序列$0 \longrightarrow K \longrightarrow T \longrightarrow M \longrightarrow 0,0 \longrightarrow M \longrightarrow Q \longrightarrow T \longrightarrow 0 $，其中$ T \in$ $ r S G\left(W_{P}\right), P_{c}(R)-p d_{R}(K)=n-1$，且$ P_{c}(R)-p d_{R}(Q)=n$.

证     (i)$ \Rightarrow $(ii) 由定理1和文献[15]的命题3.1(1)即证.

(ii) $ \Rightarrow $(iii) 由(ii)知，存在正合序列

其中$ T \in r S G\left(W_{P}\right)$，并且$ P_{c}(R)-p d_{R}(K)=n-1 $. 因为$T \in r S G\left(W_{P}\right) \in S G\left(W_{P}\right) $，所以存在正合序列

其中P是投射R-模，考虑$T \longrightarrow C \otimes_{R} P $和$ T \longrightarrow M$的推出图

由中间行正合知$P_{c}(R)-p d_{R}(Q)=n $. 由最后一列知$ 0 \longrightarrow M \longrightarrow Q \longrightarrow T \longrightarrow 0$正合.

(iii) $ \Rightarrow $(i)显然.