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若黎曼流形(Mn，g)上存在光滑向量场X满足方程
则称Mn为Ricci孤立子，记为(Mn， g，X)，其中Ric为其Ricci张量，
$\mathscr{L}$ Xg表示度量g沿X方向的Lie导数，X为孤子场，λ∈ℝ为孤立子常数. 当λ>0(λ=0，或λ < 0)时，称Ricci孤立子为收缩的(稳定的，或扩张的). Ricci孤立子为Ricci流的自相似解，也是Einstein度量的自然推广(参见文献[1-2]).当使用新的光滑函数λ来替代原来的孤立子常数λ时，称Mn为近Ricci孤立子(参见文献[3]). 同样地，通过改变孤立子方程中的常数项，可得到如下关于h-近Ricci孤立子的推广概念：
若黎曼流形(Mn，g)上存在光滑向量场X以及光滑函数λ，h：M→ℝ，使得
则称Mn为h-近Ricci孤立子(参见文献[4])，记为(Mn，g，X，h，λ). 特别地，若λ为常数，则称Mn为h-Ricci孤立子. 若向量场X为Mn上某个光滑函数f：M→ℝ的梯度，则称Mn为具有势函数f的梯度h-近Ricci孤立子，记为(Mn，g，▽f，h，λ)，此时
$\mathscr{L}$ Xg=2▽2f，从而(1)式可重新写为这里的▽2f为f的Hessian算子.当X为齐性共形向量场时，即对某个常数c，有
$\mathscr{L} $ Xg=cg时，称Mn为平凡的孤立子，否则为非平凡的.从以上的定义不难看出，1-Ricci孤立子即为Ricci孤立子，1-近Ricci孤立子即为近Ricci孤立子. 目前对于孤立子的研究主要致力于其刚性问题，以及平凡性讨论，且这方面已经取得了比较丰富的研究成果. 文献[5]证明了数量曲率S(S≥0且S∈L1)的完备扩张Ricci孤立子等距于标准球面. 文献[6]证明了数量曲率可达下界的稳定Ricci孤立子为Ricci平坦的. 文献[6]证明了满足适当积分条件的紧致梯度近Ricci孤立子等距于标准球面
$\mathscr{J}$ n. 文献[4]证明了具有常数量曲率的h-近Ricci孤立子等距于标准球面$\mathscr{J}$ n. 文献[7]证明了具有非平凡共形向量场的紧致h-近Ricci孤立子等距于欧氏球面$\mathscr{J}$ n. 文献[8]证明了紧致扩张(稳定)的Ricci孤立子为平凡的. 文献[9]证明了具有消失共形Weyl曲率张量的紧致Ricci孤立子为Einstein流形. 文献[10]通过推广文献[6]中推论2的Ricci孤立子的结构方程，得出有关近Ricci孤立子的结构方程，并由此结构方程得出满足适当积分条件的紧致近Ricci孤立子为平凡的. 文献[11]证明了Para-Sasakian流形上具有非零孤子场的梯度h-近Ricci孤立子为Einstein流形.
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本文采用文献[10]中关于紧致近Ricci孤立子的平凡性结果的研究思路，在适当的积分条件下，证明了紧致h-近Ricci孤立子的平凡性结果，得到了如下主要结果：
定理1 设(Mn，g，X，h，λ)为紧致的h-近Ricci孤立子(n≥3)，且光滑函数h定号(即在M上，或者h>0，或者h < 0，下同). 若
则孤立子场X为Killing向量场，进而Mn为平凡孤立子，即为Einstein流形.
定理2 设(Mn，g，▽f，h，λ)为紧致梯度h-近Ricci孤立子(n≥3)，且光滑函数h定号. 若
则Mn为平凡孤立子，即为Einstein流形.
注1 当h=1时，定理1的积分条件退化为∫M[Ric(X，X)+(n-2)〈X，▽λ〉]dM≤0，即定理1包含文献[10]的定理3作为其特殊情形.
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设Mn为一个紧致定向带边的黎曼流形，∂M为Mn的边界，v为∂M上指向Mn内部的单位法向量. 则对于Mn上的任意光滑向量场X，下述积分公式成立：
其中divX为X的散度，∂M具有从Mn诱导的定向.
对于Mn上的任意光滑函数f，其梯度向量场的散度即为Δf. 因此据散度定理可知，对紧致无边的定向黎曼流形，有积分公式∫MΔfdM=0成立.
引理1[6] 对黎曼流形(Mn，g)上的任意光滑切向量场X，有
当X是梯度场时，不妨设X=▽f，f∈C∞(M). Z为任意光滑向量场时，有
引理2 梯度h-近Ricci孤立子(Mn，g，▽f，h，λ)满足
其中R是Mn的数量曲率.
证 首先对(2)式求迹，可得
对(3)式求协变微分，有
另外，对(2)式求散度，得到
另有缩并的第二Bianchi恒等式▽R=2div Ric，于是结合(5)式可得
再代入Bochner公式div(▽▽f)=Ric(▽f，·)+▽Δf，便有
代入(4)式，得到
即
引理2得证.
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定理1的证明 为证紧致h-近Ricci孤立子为平凡的，只需证对Mn上的任意光滑向量场X，有
$\mathscr{L}$ Xg=0，即证对Mn上的任意光滑切向量场Y，Z，有由于
则只需证得▽X=0即可.
首先，对(1)式求迹，有
对(6)式沿X的方向求协变微分，可得
又由引理1知
于是将(7)式代入(8)式中，可得
对(1)式求散度，有
从而将(10)式代入(9)式，可得
结合缩并的第二Bianchi恒等式▽R=2div Ric及(11)式，即可得到
又由(1)式知
将(13)式代入(12)式，可得
由于Mn紧致，因此对上式两端在Mn上积分并应用散度定理，得
结合定理1的积分条件，得到
即▽X=0. 进而，对Mn上的任意光滑切向量场Y，Z，有
即孤立子场X为Killing场. 因此，孤立子方程(1)即为
其中λ为Mn上的光滑函数，由Schur引理知λ为常数，从而Mn为Einstein流形. 定理1得证.
定理2的证明 不妨设孤立子场X=▽f，其中f∈C∞(M). 于是，对Mn上的任意光滑切向量场Y，Z，有
由此，为证紧致梯度h-近Ricci孤立子为平凡的，只需证对Mn上的任意光滑切向量场Y，Z，有▽2f(Y，Z)=0即可.
事实上，由(12)式可得
结合引理2式及(14)式，有
由于Mn紧致，因此对上式两端在Mn上积分，并应用散度定理，得到
结合定理2的积分条件，得到
即▽2f=0，从而对Mn上的任意光滑切向量场Y，Z，有
于是，梯度h-近Ricci孤立子方程即为
其中λ为Mn上的光滑函数，由Schur引理知λ为常数，从而Mn为Einstein流形. 定理2得证.
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