设G是有限群，π_e(G)表示群G中元素阶的集合，π(G)表示|G|的相异素因子的集合，设p是素数，n为正整数，则p^k‖n表示p^k|n但p^k+1n. φ(x)表示x的欧拉函数. 文中其他符号和术语都是标准的(见文献[1-5]).

群的数量刻画一直是有限群论研究的热点，如何用最少的数量条件去刻画群的结构是群的数量刻画中非常有趣而又困难的问题. 施武杰教授提出用群的阶和群中元素的阶刻画有限非交换单群^[2]，即：

猜想  设G是有限群，M是有限非交换单群，则G≌M当且仅当|G|=|M|且π_e(G)=π_e(M).

该猜想被文献[3]完全证明. 此后，许多群论工作者尝试弱化猜想条件来继续刻画群的结构. 文献[5]首先提出了第一ONC-度量问题，研究发现，许多群的第一ONC-度量只有3个数，且中心化子的阶决定了有限群的素图，并成功地证明了第一ONC-度量能刻画K-3单群、李型群L₂(q)(q∈{8，11，13，17，19，23，29})、Mathieu群、Janko单群及部分交错群A_n(5≤n≤15)(见文献[5-8]). 此外，研究发现，对称群的ONC-度量也只包含3个数. 文献[9]证明了：在π(G)和π(S_n)中的最大素数相等的情况下，对称群S_n(4≤n≤13)能被第一ONC-度量刻画. 本文继续了这一研究，并证明了对称群S_n(n=12，13，14)能用第一ONC-度量刻画，即如下定理：

定理   设G为有限群且G的素图不连通，则G≌S_n(n≤14) 当且仅当ONC₁(G)=ONC₁(S_n).

证   当n≤11时显然成立，只需证明当12≤n≤14的情况. 必要性显然，下面只证充分性.

情形1   当n=12时，由文献[1]有

设g是G中的60阶元，则|C_G(〈g〉)|=|g|=60. 因此g所在共轭类的长度为|Cl(g)|=|G∶C_G(〈g〉)|=$\frac{{\left| G \right|}}{{60}} $. 设G的60阶元一共分为t个共轭类，则

从而得到|G||2¹⁰·3⁵·5²·7·11，且|G|>2⁸·3⁴·5·7·11. 设a为G的一个60阶元，则φ(60)=16，循环群〈a〉中60阶元有16个，由60阶元生成的循环群〈a〉中，除16阶元外，还有43个其他阶的元素，故

则o₁(G)=60，故{2，3，5}⊆π(G). 若7∉π(G)，11∉π(G)，则|G|_max=2¹⁰·3⁵·5² < 2⁴·3⁴·5·7·11·59，矛盾. 因此π(G)有3种可能的情形：π(G)={2，3，5，7，11}；π(G)={2，3，5，7}；π(G)={2，3，5，11}. 下面只讨论π(G)={2，3，5，7，11}的情形，其它2种情形可类似地证明.

由文献[8]，断言：G有一正规列G≥K>H≥1，使得K/H为非交换单群，且{7，11}⊆π(K/H). 事实上，令1=G_k$ \unlhd $G_k-1$ \unlhd $…$ \unlhd $G₁$ \unlhd $G₀=G为G的主群列，则存在整数i使得{7，11}∩π(G_i)≠Ø，而{7，11}∩π(G_i+1)=Ø. 取K=G_i，H=G_i+1，于是1$ \unlhd $H$ \unlhd $K$ \unlhd $G为G的正规列，K/H为G/H的极小正规子群，则K/H为同构单群的直积. 断言：{7，11}⊆π(K/H)，否则，若11∈π(K/H)，7∉π(K/H)，则7∈π(G/K). 由Frattini论断有G=N_G(P₁₁)K，其中P₁₁为K的Sylow-11子群，于是7∈π(N_G(P₁₁))，故77∈π_e(G)，矛盾. 因此7∈π(K/H). 同理，当7∈π(K/H)时，有11∈π(K/H)，由此得到{7，11}⊆π(K/H)，故K/H为非交换单群的直积.

由文献[1]可得K/H≌M₂₂，A₁₁，A₁₂.

若K/H≌M₂₂，则存在G的正规子群C₁，使得M₂₂$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C₁$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(M₂₂). 当5²||G|时，有5||C₁|，o₁(M₂₂)=11. 则G中有11阶元. 设P₅为C₁的Sylow-5子群，由文献[10]，G中11阶元作用在P₅上，知11(5-1)，11Aut(P₅)，故55∈π_e(G). 再取G的7阶元作用在P₅上，有5×7=35∈π_e(G)，矛盾.

若K/H≌A₁₁，由文献[9]知，存在G的正规子群C₂，使得A₁₁$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C₂$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $S₁₁. 从而H为{2，3}-群. 设g∈G，且|g|=60. 由于G/C_G(K/H)≤Aut(K/H)，且Aut(K/H)中没有60阶元，故存在gH∈C_G(K/H). 由于gH的阶至少是5，故55∈π_e(G). 而A₁₁有21阶元，故G中有21阶元，矛盾.

若K/H≌A₁₂，由文献[9]知，存在G的正规子群C₃，使得A₁₂$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C₃$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $S₁₂. 故|C₃|=1，2. 若|C₃|=2，则|G|=2¹⁰·3⁵·5²·7·11=|S₁₂|，o₁(A₁₂)=35，故G有35阶元，取G的7阶元作用在子群C₃上得14∈π_e(G)，矛盾. 故|C₃|=1. 则A₁₂$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $S₁₂，从而G≌S₁₂.

情形2当n=13时，由文献[1]有

同理得|G||2¹⁰·3⁵·5²·7·11·13，且|G|>2⁴·3⁴·5·7·11·13·59. 由于o₁(G)=60，故{2，3，5}⊆π(G).

若13∉π(G)，则|G|=2¹⁰·3⁵·5²·7·11. 此时，G有一正规列G≥K>H≥1使得K/H为非交换单群且{7，11}⊆π(K/H). 由文献[1]，K/H≌A₁₁，A₁₂. 故存在G的正规子群C，使得

若A₁₁ $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(A₁₁)=S₁₁，则比较阶得，C为{2，3}-群. 设C的Sylow-3子群为P₃，则有|P₃|=3. 取G的11阶元作用在P₃上，得33∈π_e(G). 再取G的7阶元作用在P₃上，可得21∈π_e(G). 从而素图连通，矛盾.

若A₁₂ $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(A₁₂)=S₁₂，此时|G|=|S₁₂|，但o₁(S₁₂)≠o₁(S₁₃)，矛盾. 故13 ∈π(G). 若11∉π(G)，则|G|=2¹⁰·3⁵·5²·7·13，矛盾. 从而π(G) ={2，3，5，7，11，13}.

此时，G有一正规列G≥K>H≥1，K/H为非交换单群，且{11，13}⊆π{K/H}. 由文献[1]有K/H≌A₁₃，故有A₁₃$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $S₁₃. 比较阶知|C|=1，2. 若|C|=1，o₁(A₁₃)≠60，故G≌S₁₃. 当|C|=2时，|G|=|S₁₃|，由文献[11]得G≌S₁₃.

情形3   当n=14时，由文献[1]有

从而|G||2¹¹·3⁵·5²·7²·11·13，且|G|>2⁶·3³·5²·7²·11·13·83. 若5∉π(G)，则|G|=2¹¹·3⁵·7²·11·13 < 2⁶·3³·5²·7²·11·13·83，矛盾. 故5 ∈π(G).

若11∉π(G)，G有一正规列G≥K>H≥1，使得K/H为非交换单群且{7，13}⊆π(K/H)，由文献[1]知K/H≌L₂(13)，L₂(27)，S₂(8)，L₂(64). 故存在G的正规子群C，使得K/H $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(K/H). 比较阶有7||C|，取G的13阶元共轭作用在C上得91∈π_e(G)，矛盾. 故11∈π(G).

若13∉π(G)，则|G|=2¹¹·3⁵·5²·7²·11. 此时，G有一正规列G≥K>H≥1使得K/H为非交换单群，且{7，11}⊆π(K/H)，由文献[1]知K/H≌M₂₂，A₁₁，A₁₂. 故存在G的正规子群C，使得K/H $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(K/H).

若M₂₂$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(M₂₂)，则通过比较阶知5||C|. 考虑用G的7阶元、11阶元分别共轭作用在子群C上，则35∈π_e(G)且55∈π_e(G)，矛盾. 故π(G)={2，3，5，7，11，13}.

若A₁₁$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(A₁₁)或A₁₂$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(A₁₂)，比较阶知C为{2，3}-群或2-群. 设g∈G且|g|=84，则gH至少为7阶元，取G的11阶元作用在gH上，有77∈π_e(G). 因为A₁₁，S₁₁，A₁₂，S₁₂中有5阶元，但C中无5阶元，从而G中有5阶元. 取G的5阶元共轭作用在gH上，则35∈π_e(G)，矛盾.

若13 ∈π(G)，则π(G)={2，3，5，7，11，13}，此时，G有一正规列G≥K>H≥1，K/H为非交换单群，且{11，13}⊆(K/H)，由文献[1]有K/H≌A₁₃，A₁₄.

如果K/H≌A₁₃，则存在G的正规子群C₁满足A₁₃ $ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C₁$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(A₁₃)=S₁₃. 若7²||G|，则7||C₁|. 取G的13阶元共轭作用在C₁的Sylow-7子群上，得91∈π_e(G)，矛盾于o₁(G)=84. 故7‖|G|. 从而H为2-群. 由G/C_G(K/H)≤Aut(K/H)，设g∈G且|g|=84，而Aut(K/H)中没有84阶元，则存在gH∈C_G(K/H). 由于gH的阶至少是21，从而21×13∈π_e(G)，矛盾.

如果K/H≌A₁₄，则同理有C₂满足A₁₄$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G/C₂$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $Aut(A₁₄)=S₁₄. 比较阶得|C₂|=2，1. 若|C₂|=2，则A₁₄中有45阶元，故G中也有45阶元. 取G中的45阶元共轭作用在C上，则有90∈π_e(G)，矛盾. 故|C₂|=1，即A₁₄$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $G$ \mathbin{\lower.3ex\hbox{$\buildrel<\over {\smash{\scriptstyle\sim}\vphantom{_x}}$}} $S₁₄. 由o₁(A₁₄)=45，而o₁(G)=84，故只能G≌S₁₄.