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给定欧氏空间
$ {{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的一凸体K，若K沿着外法向的演化速度是单位的，那么就得到了单位速度外法向流，它在许多实际问题中都有应用[1]. 在单位速度外法向流下，凸体K在t≥0时的像为K+tBn，其中Bn为欧氏空间$ {{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的单位球. 特别地，对于平面中面积为A，周长为L的凸体K，像K+tB2的面积At是关于时间t的一个多项式：At=A+Lt+πt2，该式被称为K的Steiner多项式. 该式在建立Bonnesen-型等周不等式方面有重要的应用(参见文献[2-4]).单位速度外法向流下的几何不变量是数学中的重要研究对象，例如：著名的等周亏格Δ=L2-4πA是单位速度外法向流下的一不变量(参见文献[1]).
文献[5]得到了以下著名的不等式，现被称为Ros不等式：
Ros不等式：设Σ为嵌入在
$ {{\mathbb{R}}^{3}}$ 中的紧致闭C2曲面，其包含的体积为V. 若Σ的平均曲率H>0，则其中A为Σ的面积，等号成立当且仅当Σ为球面.
不等式(1)由文献[6]推广到了n≥3维空间中. 对于平面上的卵形域K，文献[7]得到了以下结果：设K为欧氏平面
$ {{\mathbb{R}}^{2}}$ 上的卵形域，其周长与面积分别为L与A，则其中s为弧长参数，κ为边界
$\partial K $ 的曲率，等号成立当且仅当K为圆盘. 文献[6]加强了不等式(2)，得到以下结果：等号成立当且仅当K为圆盘. 由平面上的等周不等式知(3) 式强于(2)式. (2)式被称为是平面上的Ros不等式，同时，几何量
被称为平面上的Ros亏格.
关于单位速度外法向流下的几何不变量的其他相关研究可参见文献[8-12]. 本文将说明(3)式中的几何量
$\int_{\partial K} \frac{1}{\kappa} \mathrm{d} s-\frac{L^{2}}{2 \pi} $ 及平面上的Ros亏格是单位速度外法向流下的几何不变量. 更进一步，我们将推广平面上的结果到3维欧氏空间$ {{\mathbb{R}}^{3}}$ 中，给出3维欧氏空间中单位速度外法向流下新的几何不变量，并且这些新的几何不变量将包含平面中的结果.
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设K为欧氏空间中的点集，若对于任意两点x，y∈K，有
$\lambda x+(1-\lambda) y \in K, 0 <\lambda <1 $ ，则称K为凸集.$ {{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的非空紧凸集K称为凸体. 凸体的边界$\partial K $ 称为凸超曲面. 若$\partial K $ 是C2光滑的，则称K为卵形域. 凸体K的支撑函数定义为$ p_{K}(u)=\max \{u \cdot x: x \in K\}, u \in S^{n-1}$ ，其中Sn-1表示${{\mathbb{R}}^{n}} $ 中的单位球面.对于平面的卵形域，我们有以下结论：
命题1 设K为平面上的卵形域，其周长和面积分别为L和A，κ和ds分别是边界
$\partial K $ 的曲率和弧长微元，则：(ⅰ)
$ \mathrm{d} s=\left(p+p^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} \theta $ ；(ⅱ)
$ \kappa=\frac{1}{p+p^{\prime \prime}} $ ；(ⅲ)
$ A=\frac{1}{2} \int_{s^{1}} p\left(p+p^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} \theta $ ；(ⅳ)
$ L=\int_{S^{1}}\left(p+p^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} \theta=\int_{S^{1}} p \mathrm{~d} \theta$ .设κ1，…，κn-1为超曲面
$\partial K $ 上x处的主曲率，则$\partial K $ 的第k阶平均曲率Hk分别为其中H0=1；当k=1时，H1为超曲面
$\partial K $ 的平均曲率；当k=n-1时，Hn-1为超曲面$\partial K $ 的Gauss曲率. Gauss曲率与曲面的面积元有如下关系：其中u∈Sn-1为边界
$\partial K $ 上x处的单位外法向量，du表示Sn-1上的面积元.凸体K的k-阶均质积分Wk(k=0，1，…，n-1)定义为
且Wn(K)=ωn，其中ωn为
$ {{\mathbb{R}}^{n}}$ 中单位球的体积. 由定义可知对于均质积分W0(K)，…，Wn(K)，成立以下Alexandrov-Fenchel不等式：
等号成立当且仅当K为球.
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定理1 设K为欧氏平面
$ {{\mathbb{R}}^{2}}$ 中的周长为L的卵形域，κ为边界$\partial K $ 的曲率，则几何量是单位速度外法向流下的几何不变量.
证 在时刻t≥0时，K在单位速度外法向流下的像为K+tB2，其支撑函数为pt=p+t.设κt和dst分别是边界
$ \partial\left(K+t B^{2}\right)$ 的曲率和弧长微元，由命题1中的(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅳ)知设Lt是边界
$ \partial\left(K+t B^{2}\right)$ 的周长，则从而
因此
$\int_{\partial K} \frac{1}{\kappa} \mathrm{d} s-\frac{L^{2}}{2 \pi} $ 是单位速度外法向流下的几何不变量.由定理1，我们可以得到平面上的Ros亏格也是单位速度外法向流下的几何不变量.
定理2 设K为
$ {{\mathbb{R}}^{2}}$ 中的卵形域，κ为边界$\partial K $ 的曲率. 则Ros亏格是单位速度外法向流下的几何不变量.
证 Ros亏格可改写为
由于等周亏格与几何量
$\int_{\partial K} \frac{1}{\kappa} \mathrm{d} s-\frac{L^{2}}{2 \pi} $ 均是单位速度外法向流下的几何不变量，因此Ros亏格也是该流下的不变量.
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在本节中，我们将给出
$ {{\mathbb{R}}^{3}}$ 中单位速度外法向流下新的几何不变量，这些不变量将包含平面的情形.定理3 设K为
$ {{\mathbb{R}}^{3}}$ 中的卵形域，H，G分别为边界$\partial K $ 的平均曲率与Gauss曲率，Wi(K)(i=0，1，2，3) 为K的第i阶均质积分. 则几何量与
是单位速度外法向流下的几何不变量.
证 在时刻t≥0时，K在单位速度外法向流下的像为K+tB3，设Gt和Ht分别表示边界
$\partial\left(K+t B^{3}\right) $ 的Gauss曲率和平均曲率. 由Gauss曲率和平均曲率的定义可知再由(4)式可知，像K+tB3的面积At为
且
设dS和dSt分别表示
$\partial K $ 和$\partial\left(K+t B^{3}\right) $ 的面积元，由(12)式和(13)式，我们有以及
因此，几何量
$ W_{2}(K)^{2}-W_{1}(K) W_{3}(K) $ 和$\int_{S^{2}}\left(\frac{H}{G}\right)^{2} \mathrm{~d} u-\frac{9}{4 \pi} W_{2}(K)^{2} $ 均是单位速度外法向流下的几何不变量.注1 (10)式与(11)式中的几何量分别是平面上的等周亏格和(7)式中几何量的3维推广情形，且(10)式和(11)式中的几何量均是非负的. 事实上，在3维欧氏空间中，(6)式中的指数分别取j=2，k=3，i=1，可得(10)式中的几何量是非负的. 由Cauchy-Schwartz不等式，有
因此，(11)式中的几何量仍是非负的.
类似地，我们还可得到以下几何不变量.
定理4 设K为
${{\mathbb{R}}^{3}} $ 中的卵形域，H，G分别为边界$\partial K $ 的平均曲率与Gauss曲率，Wi(K)(i=0，1，2，3)为K的第i阶均质积分. 则几何量是单位速度外法向流下的非负几何不变量.
证 由于
$W_{3}(K)=\frac{4 \pi}{3} $ ，我们可将(15)式改写为再由定理3和注1直接可得(15)式中的几何量是单位速度外法向流下的非负不变量.
对于平面上的卵形域，(15)式中的几何量即是Ros亏格.
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