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有限群的σ半次正规子群

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郑毅, 吴珍凤, 殷霞, 等. 有限群的σ半次正规子群[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2022, 47(7): 14-20. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.07.003
引用本文: 郑毅, 吴珍凤, 殷霞, 等. 有限群的σ半次正规子群[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2022, 47(7): 14-20. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.07.003
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ZHENG Yi, WU Zhenfeng, YIN Xia, et al. On σ-Semisubnormal Subgroups of Finite Groups[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2022, 47(7): 14-20. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.07.003
Citation: ZHENG Yi, WU Zhenfeng, YIN Xia, et al. On σ-Semisubnormal Subgroups of Finite Groups[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2022, 47(7): 14-20. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.07.003
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有限群的σ半次正规子群

  • 江南大学 理学院，江苏 无锡 214122

  • 基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金项目(JUSRP121048)
详细信息
    作者简介:

    郑毅，硕士研究生，主要从事群论的研究 .

    通讯作者: 杨南迎，副教授

  • 中图分类号: O152.1

On σ-Semisubnormal Subgroups of Finite Groups

  • School of Science, Jiangnan University, Wuxi Jiangsu 214122, China

  • 摘要: 令G是一个有限群. 如果G中存在子群K，满足G=HK，且对任一K1 < K有HK1 < G，则称H在G中是半正规的. 本文结合子群的σ-次正规性和半正规性引入了新的子群概念. 如果群G的子群H在G中是σ-次正规的或者半正规的，则称H在G中是σ-半次正规的. 通过研究群G的完全Hall σ-集中的子群及其极大子群的σ-半次正规性，给出了G是σ-可解群和超可解群的若干新的判别准则.
    Abstract: G is a finite Group. A subgroup H of G is said to be seminormal in G if there is a subgroup K in G such that G=HK and the product HK1 is a proper subgroup of G for any subgroup K1 in K which differs from K. In this paper, a new concept of subgroups is introduced by combining the σ-subnormality and seminormality of subgroups. A subgroup H of G is called σ-semisubnormal in G, if H is σ-subnormal in G or seminormal in G. By studying the σ-seminormality of subgroups and their maximal subgroups in the complete Hall set of type σ of G, some new criteria for G to be solvable group and supersolvable group are given.
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出版历程
  • 收稿日期:  2021-07-26
  • 刊出日期:  2022-07-20

有限群的σ半次正规子群

    通讯作者: 杨南迎，副教授
    作者简介: 郑毅，硕士研究生，主要从事群论的研究
  • 江南大学 理学院，江苏 无锡 214122
  • 收稿日期:  2021-07-26
基金项目:  中央高校基本科研业务费专项资金项目(JUSRP121048)

摘要: 令G是一个有限群. 如果G中存在子群K，满足G=HK，且对任一K1 < K有HK1 < G，则称H在G中是半正规的. 本文结合子群的σ-次正规性和半正规性引入了新的子群概念. 如果群G的子群H在G中是σ-次正规的或者半正规的，则称H在G中是σ-半次正规的. 通过研究群G的完全Hall σ-集中的子群及其极大子群的σ-半次正规性，给出了G是σ-可解群和超可解群的若干新的判别准则.

English Abstract

    全文HTML

  • 文中所涉及的群均为有限群. G总表示一个有限群，|G|表示G的阶，π(n)表示所有整除n的素因子的集合，且π(G)=π(|G|). |G|π表示能整除|G|且素因子均在π中的最大整数.

    文献[1]首次引入了半正规的概念：假定H≤G，如果G中存在子群K，满足G=HK，且对任一K1 < K有HK1 < G，则称H在G中是半正规的，并称K是H在G中的S-补.

    文献[2]利用子群的半正规性，推广了Ito定理.

    文献[3]结合次正规和半正规的概念引入了半次正规的概念：假定A≤G，如果A在G中次正规或者半正规，则称A在G中是半次正规的，并得到了有限群超可解的若干判别准则.

    文献[4-7]引进了有限群的σ-理论：令σ={σi|i∈I}是所有素数集合P的一个划分，即$ P=\bigcup\limits_{i \in I} \sigma_{i} $且σi∩σj=$\varnothing$(i≠j)，如果n是一个正整数，则记σ(n)={σi|σi∩π(n)≠$\varnothing$}且σ(G)=σ(|G|)；如果群G是一个σi-群，则称G为σ-准素的；如果群G的每个G-主因子都是σ-准素的，则称G为σ-可解的，并称G的所有正规的σ-可解子群的积为G的σ-根，记作Rσ(G). 假定H≤G，如果存在一个子群链H=H0≤H1≤…≤Ht=G，使得对所有的i=1，…，t，要么Hi－1正规于Hi，要么Hi/(Hi－1)Hi是σ-准素的，则称H在G中是σ-次正规的.

    近些年，学者们通过利用有限群的σ-理论和半正规子群的性质来研究有限群，得到了有限群结构的许多重要的结果(参见文献[3-12]). 通过分析这些已有的结果与方法，本文结合σ-次正规性和半正规性引入了如下概念：

    定义1  假定A≤G，如果A在G中σ-次正规或者半正规，则称A在G中是σ-半次正规的.

    由定义，半次正规子群显然也是σ-半次正规子群，但下面的例子表明反之不成立：

    例1  设G=PSL2(7)，则|G|=23·3·7，且G中含有一个阶为3·7的极大子群，记为M. 令σ={σ1，σ2}，其中σ1={2，3，7}，σ2={2，3，7}′. 则G是σ-幂零的，从而由文献[3]的命题2.3知M在G中是σ-次正规的，则M是σ-半次正规的. 若M在G中是半次正规的，那么由于G是单群，故M在G中是半正规的，从而存在B≤G使得G=MB，且对任意B1 < B有MB1 < G. 显然，23 | |B|. 令P∈Syl2(B)，则P∈Syl2(G). 设B1是P中的2阶子群，那么M≤MB1 < G. 因为M是G的极大子群，所以M=MB1，即B1≤M，与2|M|矛盾. 故M在G中不是半次正规的.

    通过研究σ-半次正规子群，我们给出有限群的σ-可解性和超可解性的一些新的充分条件. 未交代的符号和概念参见文献[13-19].

1.   预备知识

  • 令Π是σ的一个子集. 假定n是整数，如果$\pi(n) \equiv \bigcup\limits_{\sigma_{i} \in \varPi} \sigma_{i}$，则称n为Π-数. 假定H≤G，如果|H|是Π-数，则称H为G的Π-子群；如果|H|是Π-数且|G∶H|是一个Π′-数，则称H为G的HallΠ-子群. 特别地，如果存在σ的子集Π，使得H是群G的Hall Π-子群，则称H为G的σ-Hall子群. 假定H是群G的子群集，如果对于某个σi∈σ，H中的任一非单位元都是G的Hall σi-子群，且对每个σi∈σ(G)，H中有且仅有一个元素是G的Hall σi-子群，则称H为G的完全Hall σ-集. 如果群G有一个完全Hall σ-集，则称G为σ-完全的. 如果对所有的σi∈σ(G)，群G的每个子群都是Dσi-群，则称G为具有Sylow型的σ-完全群.

    引理1[4, 6]  设A，K和N是群G的子群. 假设A在G中是σ-次正规的，并且N正规于G，则：

    (ⅰ) A∩K在K中是σ-次正规的；

    (ⅱ) AN/N在G/N中是σ-次正规的；

    (ⅲ) 若A是G的σ-Hall子群，则A正规于G；

    (ⅳ) 若H≠1是G的Hall Π-子群，且A不是Π′-群，则A∩H≠1且是A的Hall Π-子群；

    (ⅴ) 若G是Π-完全群，且A是Π-群，则A≤OΠ(G).

    引理2[15]  设G是群，H≤X≤G且N正规于G，则下列结论成立：

    (ⅰ) 如果H在G中半正规，则H在X中半正规；

    (ⅱ) 如果H在G中半正规，则HN/N在G/N中半正规；

    (ⅲ) 如果H在G中半正规，且K是H在G中的S-补，则对∀g∈G和L≤K，H与Lg置换，特别地，对任意g∈G，Kg是H在G中的S-补.

    引理3  设G是群，H≤X≤G，如果H在G中σ-半次正规，则下列结论成立：

    (ⅰ) H在X中σ-半次正规；

    (ⅱ) 若N正规于G，则HN/N在G/N中σ-半次正规.

    证  如果H在G中σ-次正规，则由引理1得(ⅰ)-(ⅱ)成立；如果H在G中半正规，则由引理2得(ⅰ)-(ⅱ)成立. 因此(ⅰ)-(ⅱ)成立.

    引理4[4]   σ-可解群在子群、同态像和直积下是封闭的. 并且任意两个σ-可解群的扩张还是σ-可解群.

    引理5[5]  令H是群G的次正规且σ-可解子群，那么H≤Rσ(G).

    引理6[15]  令H是群G的半正规Hall π-子群，那么H在G中的任一S-补都是G的Hall π′-子群.

    引理7[15]  令H是群G的半正规子群，且K是H在G中的S-补，那么对K的任一子群L，HL∩LH在G中次正规.

    引理8[16]  若X是群G的次正规且π-可解子群，则XG是π-可解群.

    引理9[17]  设G是群，P∈Sylp(G)且P循环. 若p是整除|G|的最小素因子，则G有正规p-补，即G为p-幂零群.

    引理10[18]  有限群G是超可解群当且仅当G的所有极大子群的指数是素数.

2.   主要结果

  • 定理1  设群G是具有Sylow型的σ-完全群，且有完全Hall σ-集H={H1，…，Ht}. 令p是整除|G|的最小素因子，假设对任意的i=1，…，t，Hi是p-幂零群. 如果对所有的非循环子群Hi，Hi在G中都是σ-半次正规的，那么G是σ-可解群.

    证  假设结论不成立，并设群G是一极小阶反例，我们分以下步骤来证明：

    步骤1  如果R是群G的一个极小正规子群，那么G/R满足定理1的假设，从而G/R是σ-可解的.

    显然，H ={H1R/R，…，HtR/R}是G/R的一个完全Hall σ-集. 对任意的非循环子群HiR/R，Hi是非循环的，从而由引理3(ⅱ)知，HiR/R在G/R中是σ-半次正规的，且HiR/R$ \cong $Hi/(Hi∩R)是p-幂零群. 以上表明G/R满足定理1的条件，故由G的选取可知，G/R是σ-可解的.

    步骤2  Rσ(G)=1.

    假设Rσ(G)≠1，则G存在非平凡的σ-可解正规子群N. 那么由步骤1知，G/N是σ-可解的，从而由引理4知G是σ-可解的，矛盾. 因此Rσ(G)=1.

    步骤3  对任意非循环的子群Hi，都有Hi半正规于G.

    由假设，对任意非循环的子群Hi，都有Hi在G中σ-次正规或半正规. 如果Hi在G中σ-次正规，则由引理1(ⅲ)可知Hi正规于G，与步骤2矛盾. 这表明对任意非循环的子群Hi，都有Hi半正规于G.

    步骤4  令p∈σ1. 则H1是非循环的且在G中半正规.

    若H1是循环的，则G的Sylow p-子群也是循环的，从而由引理9知G是p-幂零的. 又因为p是整除|G|的最小素因子，所以G是可解的，矛盾，故H1是非循环的. 因此由步骤3知，H1在G中是半正规的.

    步骤5  |σ(G)|=2且G=H1H2.

    由步骤4知H1半正规于G. 根据引理6得，G存在Hall σ′1-子群K，使得K是H1在G中的S-补. 令L是K的任一Hall σi-子群(i≠1)，则L也是G的Hall σi-子群. 又因G是具有Sylow型的σ-完全群，从而存在x∈G使得Lx=Hi. 于是由引理2(ⅲ)可得H1Hi≤G，并且Kx也同样是H1在G中的S-补. 因此由引理3(ⅰ)得H1Hi满足定理假设. 如果|σ(G)|>2，那么H1Hi < G，从而由G的选取知H1Hi是σ-可解的.

    令D=H1Hi∩HiH1. 由引理7知D次正规于G. 考虑

    我们得到D是σ-可解的. 再根据引理5，我们有D≤Rσ(G). 故由步骤2，得到D=1，从而

    因此Hi≤CG(H1). 由Hi选取的任意性知H1$ \triangleleft $G，但这与步骤2矛盾. 因此|σ(G)|=2，即G=H1H2.

    步骤6  最后矛盾.

    下面分两种情况讨论：

    情况1  H2非循环. 由步骤3知H1，H2在G中半正规，再由引理6和引理2(ⅲ)可得，H1是H2在G中的S-补，同时H2也是H1在G中的S-补. 现设L1，L2是H1的两个不同的极大子群，且Ai=H2Li，i=1，2，则

    我们断言A1，A2均是σ-可解的. 显然{Li，H2}是Ai的完全Hall σ-集，Li=H1∩Ai是Ai的Hall σ1-子群. 因为H2是H1在G中的S-补，所以对任意B < H2，有H1B < G，从而

    是Ai的真子群，故Li半正规于Ai. 又由引理3知H2在Ai中亦半正规，故Ai满足定理假设，从而由G的选取知Ai是σ-可解群. 令Di=H2Li∩LiH2，则由引理7知，Di次正规于G，再由引理5得到Di≤Rσ(G)=1. 因此

    所以Li≤CG(H2). 又因为H1=〈L1，L2〉，从而H1≤CG(H2)，故H2$ \triangleleft $G，矛盾.

    情况2  H2循环. 由步骤4知H1在G中半正规，从而由引理6知H2是H1在G中的S-补. 我们断言|H2|=q. 设Q是H2的一个极大子群，则H1Q是G的真子群. 因{H1，Q}是H1Q的完全Hall σ-集，且由引理3得H1Q满足定理假设，所以由G的选取知H1Q是σ-可解的. 于是同情况1同样的讨论可得到H1≤CG(Q)，故Q$ \triangleleft $G. 由步骤2，Q=1，从而|H2|=q，故G是可解群，矛盾.

    综上所述，定理1得证.

    推论1[15]  如果群G的所有非循环Sylow子群在G中半正规，那么G是可解群.

    定理2  设群G有完全Hall σ-集H={H1，…，Ht}，使得Hi均为超可解子群，对于所有i=1，…，t，如果G的任意极大子群在G中都是σ-半次正规的，那么G是超可解群.

    证  假设定理2不成立，并设群G是一极小阶反例，我们分以下步骤来证明：

    步骤1  若R是群G的一个非平凡的极小正规子群，则G/R是超可解群.

    显然，H={H1R/R，…，HtR/R}是G/R的一个完全Hall σ-集，且HiR/R$ \cong $Hi/Hi∩R是超可解的. 令M/R是G/R的任一极大子群，则M也是G的极大子群. 于是由引理3知，M/R在G/R中σ-半次正规，故G/R满足定理假设. 因此由G的选取，G/R是超可解群.

    步骤2  G有唯一极小正规子群，记作R.

    设R1和R2是G的两个不同极小正规子群，则由步骤1知，G/R1和G/R2均为超可解的，故G是超可解群，矛盾.

    步骤3  最后矛盾.

    设M是G的任一极大子群. 如果R≤M，那么M/R是G/R的极大子群，于是由步骤1知，G/R是超可解群. 所以根据引理10，我们有|G∶M|=|G/R∶M/R|为素数. 如果R$ \nleqslant $ M，那么G=RM，且由假设，M在G中σ-半次正规. 若M在G中σ-次正规，则M$ \triangleleft $G或者G/MG为σ-准素的.

    若M$ \triangleleft $G，则由R的唯一性知M=1，从而G是素数阶循环群，矛盾.

    若G/MG为σ-准素的，则对某个Hi∈H，G/MG=HiMG/MG，因Hi是超可解的，从而G/MG为超可解群，故MG≠1. 又由步骤2知，R≤MG≤M，矛盾. 该矛盾表明M在G中半正规.

    现设K是M在G中的S-补，则G=MK，且对任意H < K有MH < G. 我们断言M∩K≤Φ(K). 事实上，若M∩K$ \nleqslant $ Φ(K)，则存在K的极大子群K1使得M∩K$ \nleqslant $ K1. 因为MK1=K1M，所以进一步我们有

    从而可得

    矛盾，故M∩K≤Φ(K). 设L是K的任一极大子群，则ML是G的真子群. 又因M是G的极大子群，于是ML=M，则L≤M∩K≤K，因此L=M∩K. 从而

    于是L=M∩K=Φ(K)是K的极大子群，这表明K的极大子群唯一，从而K为素数幂阶循环群，故|G∶M|=|K∶M∩K|为素数. 因此，对G的任一极大子群M，都有|G∶M|为素数. 由引理10可知，G是超可解群，矛盾. 定理2得证.

    推论2[3]  如果群G的所有极大子群在G中半正规，那么G是超可解群.

    定理3  设群G是具有Sylow型的σ-完全群，且有完全Hall σ-集H={H1，…，Ht}. 令p是整除|G|的最小素因子，且当p∈σi时，Hi是超可解群. 如果Hi的所有极大子群都在G中σ-半次正规，那么G是σ-可解群.

    证  假设定理3不成立，并设G是一极小阶反例，则由Feit-Thompson定理可知p=2. 不失一般性，可假设p∈σ1.

    步骤1  如果R是G的非平凡正规子群，那么G/R是σ-可解群.

    若2 |H1R/R|，则G/R为2′-群，从而G/R是可解群.

    若2||H1R/R|，则H={H1R/R，…，HtR/R}是G/R的完全Hall σ-集. 对H1R/R的任意极大子群M/R，我们有

    因为H1是超可解群，所以由引理10知|H1R/R∶M/R|=|H1R∶M|=|H1∶M∩H1|是素数，从而M∩H1是H1的极大子群. 则由引理3知(M∩H1)R/R=M/R在G/R中σ-半次正规，故G/R满足定理假设. 因此由G的选取可知，G/R是σ-可解群.

    步骤2  Oσ1(G)=Oσ′1(G)=1.

    若Oσ1(G)≠1，则由步骤1知G/Oσ1(G)为σ-可解群. 又因Oσ1(G)是σ-可解的，从而根据引理4得到G是σ-可解的，矛盾，故Oσ1(G)=1. 若Oσ′1(G)≠1，则由步骤1知G/Oσ′1(G)为σ-可解群. 又因Oσ′1(G)为奇数阶的，故是可解群，从而根据引理4得到G是σ-可解的，矛盾，因此Oσ′1(G)=1.

    步骤3  最后矛盾.

    设M是H1的极大子群，且|H1∶M|=2，于是M$ \triangleleft $H1. 由假设，M在G中σ-半次正规. 假设M在G中σ-次正规. 则对任意x∈G，由引理1(ⅳ)知M∩H1x为M的Hall σ1-子群. 于是M∩H1x=M，即M≤H1x，故

    因此|H1|=2，从而由引理9知G是可解群，矛盾. 因此M在G中半正规.

    设K是M在G中的S-补，则G=MK. 于是对任意q∈σi∩π(G)(i=2，…，t)，有q||K|. 设Q∈Sylq(K)，令D=MQ∩QM，则由引理7知D次正规于G. 如果D=1，那么

    从而Q≤CG(M). 则由q的任意性知|G∶NG(M)|是σ1-数，又由M$ \triangleleft $H1可得M$ \triangleleft $G，与步骤2矛盾. 因此存在Q∈Sylq(K)，使得D=MQ∩QM≠1. 显然D≤MQ，于是由引理3知M在MQ中半正规. 又因为M≤H1是超可解的，则M为2-幂零的，从而由文献[15]的定理1知MQ为π(M)-可解的，进而由引理8知DG为π(M)-可解的. 令R是G的极小正规子群，且R≤DG，则R亦是π(M)-可解的. 再因|H1∶M|=2，那么π(H1)=π(M)或者π(H1)=π(M)∪{2}.

    如果π(H1)=π(M)，则R为π(H1)-可解的，从而R是π′(H1)-群或初等交换t-群，其中t∈σ1. 若R为π′(H1)-群，则R≤Oσ′1(G)=1，矛盾. 若R是初等交换群，则R≤Oσ1(G)=1，矛盾.

    如果π(H1)=π(M)∪{2}，那么|H1|2=2，从而由引理9知G是可解群.

    综上所述，定理3得证.

    定理4  设群G是具有Sylow型的σ-完全群，且H={H1，…，Ht}是G的一个完全Hall σ-集，使得对所有的i=1，…，t，Hi是超可解群. 令A和B是G的子群，且G=AB. 如果A，B的所有Hall σi-子群在G中都是σ-半次正规的，那么G是超可解群.

    证  不失一般性，可设Hi是G的Hall σi-子群(i=1，…，t). 假设定理4不成立，并设群G是一极小阶反例，我们分以下步骤来证明：

    步骤1  对G的任一非平凡的正规子群R，G/R是超可解群.

    令R是G的任一非平凡的正规子群，则

    因为HiR/R是G/R的一个Hall σi-子群，且HiR/R$ \cong $Hi/Hi∩R是超可解的，所以H={H1R/R，…，HtR/R}是G/R的一个完全Hall σ-集，且HiR/R是超可解的(i=1，…，t). 令H/R是AR/R的任一Hall σi-子群，则

    且

    是σ′i-数. 再令S是H∩A的任一Hall σi-子群，则|A∶S|=|A∶H∩A||H∩A∶S|是σ′i-数. 从而S是A的一个Hall σi-子群，则由假设知S在G中是σ-半次正规的. 又因为

    且

    是σ′i-数，所以SR/R是AR/R的一个Hall σi-子群，故SR/R=H/R. 由引理3(ⅱ)知，H/R=SR/R在G/R中是σ-半次正规的. 类似地，我们可以证明BR/R中的任一Hall σi-子群K/R在G/R中是σ-半次正规的. 因此G/R满足定理假设条件，故由G的选取可知，G/R是超可解群.

    步骤2  G是可解群.

    事实上，我们只需证明G是σ-可解群. 因为若G是σ-可解的，则对G的任一主因子H/K，都有H/K是σ-准素的，所以存在G/K的某一Hall σi-子群HiK/K，使得H/K≤HiK/K. 又因HiK/K$ \cong $Hi/Hi∩K是超可解的，故H/K是初等交换的q-群，对于某个素数q，G是可解群.

    下面我们证明G是σ-可解群. 令p是整除|G|的最小素因子，且不妨假设p∈σ1. 因为G=AB，所以若A，B都是σ1-子群，则G是σ1-群，从而G是σ-可解群，得证.

    下面我们可以假设A，B不全是σ1-子群，不妨设A不是σ1-子群，则A中存在Hall σi-子群Ai，使得Ai≠1且i≠1. 由定理假设，Ai在G中是σ-半次正规的.

    若Ai在G中是σ-次正规的，则由引理1(v)知A≤Oσi(G). 从而由步骤1知G/Oσi(G)是超可解的，进而G是σ-可解的.

    若Ai在G中是半正规的，则由文献[19]的引理11知AiG是p′-群. 因为p是整除|G|的最小素因子，所以AiG是可解的. 又由步骤1知G/AiG是超可解的，从而G是可解的.

    因此，在任一种情况下，我们都能得到G是σ-可解的. 从而步骤2成立.

    步骤3  G中含有唯一的极小正规子群，记为N. 且N=Oq(G)=CG(N)，对于某个素数q，q∈σi.

    由步骤1和步骤2可以直接得到.

    步骤4  最后矛盾.

    设L是A的Hall σi-子群. 由步骤2知存在x∈G，使得L≤Hix. 因为Hi是超可解的且N≤Hix，所以存在N的极大子群N1，使得N1$ \triangleleft $Hix. 对A的任意Hall σj-子群T(j≠i)，由定理假设知T在G中是σ-半次正规的.

    如果T在G中是σ-次正规的，则

    矛盾. 从而T在G中是半正规的. 故存在G的子群U，使得G=TU，且对任意U1≤U有TU1≤G. 显然N≤U，从而TN1=N1T. 由TN1∩N=N1知T≤NG(N1)，故

    即|A∶NA(N1)|是σ′j-数. 由j的任意性知|A∶NA(N1)|是σi-数.

    与上面的证明类似，可得|B∶NB(N1)|也是σi-数.

    因为N1$ \triangleleft $Hix且L≤Hix，所以有L≤NA(N1)，但L是A的Hall σi-子群，所以|A∶NA(N1)|是σ′i-数，从而A=NA(N1). 由G=AB知NG(N1)=ANB(N1)，故|G∶NG(N1)|=|B∶NB(N1)|/|A∩B∶A∩NB(N1)|是σi-数. 又因为Hix是G的Hall σi-子群，且N1$ \triangleleft $Hix，所以Hix≤NG(N1)，即|G∶NG(N1)|是σ′i-数，从而G=NG(N1)，即N1$ \triangleleft $G. 又因N是G的极小正规子群，所以N1=1. 故|N|=q，再由G/N是超可解群可得G是超可解群，矛盾.

    综上所述，定理4得证.

    推论3[3]  令A和B是G的子群，且G=AB. 如果A，B的所有Sylow子群在G中都是半次正规的，那么G是超可解群.

参考文献 (19)

目录

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