在群论中，常常借助群的阶以及元素的阶去研究群的结构和性质，如著名的Sylow定理、拉格朗日定理、柯西定理等等.过去的30年中，与群的阶和元的阶有关的著名问题就是施武杰猜想，即用群的阶以及元素的阶来刻画有限单群.当这一猜想在2009年得到证明以后，一些学者开始关注减少一些条件是否仍然能刻画有限单群，如只用群的阶以及最高阶元的阶来刻画有限单群.这方面的研究可见文献[1-5].在类似的弱化条件的研究中始终把群的阶作为已知条件.那么如果不对群的阶加以限制，有什么条件可以替代?文献[6-7]把2-Sylow子群的阶作为已知条件，但遗憾的是，仅用2-Sylow子群的阶和最高阶元以及次高阶元并不能刻画单群，不过可以得到这样的群的比较具体的性质.本文继续该研究，讨论2-Sylow子群的阶以及元素的最高阶与次高阶和A₉相同的有限群.

本文中π_e(G)表示群G中元的阶之集；K₁(G)=Max{π_e(G)}；K₂(G)表示群G的次高阶元素的阶，n_p表示整数n的素因子p的最高方幂因子.有关2-Frobenius、素图、以及阶分量的概念，请参阅文献[8-10].

引理1^[11]  Frobenius群的核幂零，其补的Sylow子群循环或为广义四元数群.

引理2^[8]  设有限群G的素图不连通，则G为Frobenius群，或2-Frobenius群，或G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π₁-群，K/H为非交换单群，其中2∈π₁，H为幂零群，且|G/K|||Out(K/H)|.

引理3^[10]  设G是偶阶Frobenius群，K是Frobenius核，H是Frobenius补，则t(G)=2，Γ(G)={π(H)，π(K)}，且当2∈π(H)，H不可解时，存在H₀≤H使得|H:H₀|≤2，H₀≅Z×SL(2，5)，(|Z|，30)=1，Z的Sylow子群循环.

引理4^[10]  设G是偶阶2-Frobenius群，则t(G)=2，且G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得π(K/H)=π₂，π(H)∪π(G/K)=π₁，且G/K和K/H均为循环群，满足|G/K|||Out(K/H)|.

引理5^[10]  设G是偶阶2-Frobenius群，即G=ABC，其中A⊴G，AB⊴G，AB是以A为核B为补的Frobenius群，BC是以B为核C为补的Frobenius群，则t(G)=2，π(A)∪π(C)=π₁，π(B)=π₂，且G是可解的，B，C为循环群.

引理6^[12]  设G是2^a·11^b·p^c·q^d阶单群，p，q为异于2和11的相异素数，abcd≠0，则G同构于下列单群之一：M₁₁，M₁₂，L₂(q)(q=11，23，32，243)，U₅(2).

由于A₉的2-Sylow子群的阶为2⁶，最高阶元的阶为15，次高阶元的阶为12，因此有如下定理：

定理1  设G是2-Sylow子群的阶为2⁶，最高阶元的阶为15，次高阶元的阶为12的有限群，则G为可解群或{2，3，5}-群，或下列结论之一成立：

1) G/H≅L₂(7)，H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群；

2) G/H≅L₂(8)，H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群；

3) G/H≅L₂(8)·3，H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群；

4) G/H≅U₃(3)·2，H是方指数为5的5^β阶幂零群或方指数整除15的3^α-3·5^β阶幂零群；

5) G/H≅A₇，H为方指数整除8的2³阶幂零群或方指数整除12的2³·3^α-2阶幂零群或方指数整除10的2³·5^β-1阶幂零群；

6) G/H≅A₈，H为方指数整除9的3^α-2阶幂零群或方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除15的3^α-2·5^β-1阶幂零群；

7) G/H≅L₃(4)，H为方指数整除9的3^α-2阶幂零群或方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除15的3^α-2·5^β-1阶幂零群；

8) G/H≅A₉，H为方指数整除9的3^α-4阶幂零群或方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除15的3^α-4·5^β-1阶幂零群；

9) G/H≅M₁₂，H为方指数整除9的3^α-3阶幂零群或方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除15的3^α-3·5^β-1阶幂零群.

证  因2-Sylow子群的阶为2⁶，K₁(G)=15，K₂(G)=12，可设|G|=2⁶·3^α·5^β·7^γ·11^τ(α，β≥1；γ，τ≥0).下面分3种情形讨论：

情形1  设γ，τ>0，则|G|=2⁶·3^α·5^β·7^γ·11^τ(α，β，γ，τ≥1).由K₁(G)=15，K₂(G)=12可得7和11是Γ(G)的孤立点，因此t(G)=3，由引理3、引理4可知G不是Frobenius群和2-Frobenius群.由引理2，G有正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π₁-群，K/H为非交换单群，其中2∈π₁，H为幂零群，|G/K|||Out(K/H)|，{π₂(K/H)，π₃(K/H)}={7，11}.由文献[9]的表 3知，如果K/H是散在单群且阶分量出现7和11，则其2-Sylow子群的阶大于2⁶.因此K/H不是散在单群.设K/H是文献[9]表 2中的群.

情形1.1当t(K/H)=3时，π₁={2，3，5}，π₂={7}，{11}，π₃={11}，{7}且|G|₂=2⁶.从文献[9]的表 2中可直接看出K/H只可能是A_p，A₁(q)，G₂(q)，²G₂(q)，²D_p(3)，²D_p+1(2)，F₄(q)，²F₄(q).

① 证K/H≅A_p.若K/H≅A_p，由p，p-2是素数可知p-2=7，p=11，矛盾.

② 证K/H≅A₁(q).若K/H≅A₁(q)，当2|q时，则K/H有3个阶分量：q，q+1，q-1.此时q+1=7^γ，11^τ，进而q=7^γ-1，11^τ-1.但3|(7^γ-1)，5|(11^τ-1)，与q是2的方幂矛盾.当4|(q+1)时，则K/H有3个阶分量：q+1，q，(q-1)/2，此时q=7^γ，11^τ，由于G的奇阶分量只有7^γ或11^τ，因此(q-1)/2=11^τ，7^γ.当q=7^γ时，有11^τ=(q-1)/2=(7^γ-1)/2，但3|(7^γ-1)/2，矛盾.当q=11^τ时，有7^γ=(q-1)/2=(11^τ-1)/2，但5|(11^τ-1)/2，矛盾.当4|(q-1)时，则K/H有3个阶分量：q-1，q，(q+1)/2.于是q=7^γ，11^τ，(q+1)/2=11^τ，7^γ.当q=7^γ时，有11^τ=(q+1)/2=(7^γ+1)/2.如果2∤γ，则7^γ+1=(7+1)((-1)^γ-17^γ-1+…+7²-7+1)，故4|(q+1)/2，矛盾，因此2|γ.令γ=2k，此时q-1=7^2k-1=(7^k+1)(7^k-1).如果2∤k，则由q+1=7^γ+1=7^2k+1知(7²+1)/2|(7^2k+1)/2=(q+1)/2=11^τ，矛盾，故2|k.令k=2t，有γ=4t，q-1=7^γ-1=7^4t-1=(7^2t+1)(7^t+1)(7^t-1).若2∤t，则(7⁴+1)|(7^4t+1)=7^γ+1=q+1.但7⁴+1=1 201×2，且1 201为素数，矛盾于(q+1)/2=11^τ，所以2|t.令t=2s，则q-1=7^γ-1=(7^4s+1)(7^2s+1)(7^s+1)(7^s-1).由于7^4s+1，7^2s+1，7^s+1，7^s-1中任何两个的最大公因数都是2，且每个数都大于2，因此，这4个表达式必产生4个不同的素因子，这与π₁(G)={2，3，5}矛盾.当q=11^τ时，有7^γ=(q+1)/2=(11^τ+1)/2.如果2∤τ，则(11+1)|(11^τ+1)，即3|(11^τ+1)/2，矛盾，故2|τ.令τ=2k，此时q-1=11^2k-1=(11^k+1)·(11^k-1).若2∤k，则(11²+1)|(11^2k+1)=11^τ+1，61|(11^τ+1)/2，这与7^γ= (q+1)/2=(11^τ+1)/2矛盾，故2|k.令k=2t，则τ=4t，q-1=11^τ-1=11^4t-1=(11^2t+1)(11^t+1)(11^t-1).若2∤t，则(11⁴+1)|(11^4t+1)=11^τ+1=q+1，即7 321|(q+1)/2，但7∤7 321，矛盾于(q+1)/2=7^γ，故2|t.令t=2s，则q-1=11^τ-1=(11^4s+1)(11^2s+1)(11^s+1)(11^s-1).由于11^4s+1，11^2s+1，11^s+1，11^s-1中任何两个的最大公因数都是2，且每个数都大于2，因此，这4个表达式必产生4个不同的素因子，这与π₁(G)={2，3，5}矛盾.

③ 证K/H≇G₂(q)，²G₂(q).若K/H≅G₂(q)，3|q，令q=3^t，t为正整数，则第一个阶分量q⁶(q²-1)²=q⁶(q+1)²(q-1)²=3^6t(3^t+1)²(3^t-1)².当t=1，2，3时，第二个阶分量q²+q+1=13，91，757，矛盾于π₂={7}，{11}；当t是大于3的偶数时，令t=2k(k≥2)，此时3^6t(3^t+1)²(3^t-1)²=3^12k(3^2k+1)²(3^k+1)²(3^k-1)².因为3^2k+1，3^k+1，3^k-1中任何两个的最大公因数均为2，所以k≥2时，q⁶(q²-1)²最少有4个不同素因子，矛盾于π₁={2，3，5}；当t是大于3的奇数时，令t=2k+1(k≥2)，阶分量q⁶(q²-1)²=3^6t(3^t+1)²(3^t-1)²=3^6(2k+1)(3^2k+1+1)²(3^2k+1-1)²，这时3^2k+1+1=(3+1)·(3^2k-3^2k-1+…-3+1)，3^2k+1-1=(3-1)(3^2k+3^2k-1+…+3+1)，且3^2k-3^2k-1+…-3+1与3^2k+3^2k-1+…+3+1互素，故q⁶(q²-1)²也最少有4个素因子，矛盾于π₁={2，3，5}，所以K/H≇G₂(q).同理可证K/H≇²G₂(q).

④ 证K/H≇²D_p(3).否则，由p=2ⁿ+1，n≥2，得p-1=2ⁿ≥4，则第一个阶分量中有因子(3²-1)(3⁴-1)(3⁶-1)(3⁸-1)，但13|(3⁶ -1)，与Max(π(K/H))=11矛盾.

⑤ 证K/H≇²D_p+1(2)，F₄(q)，²F₄(q).设K/H≅²D_p+1(2).因为p=2ⁿ-1(n≥2)，所以p>2，故第一个阶分量中2^p(p+1)>2⁶，矛盾于|G|₂=2⁶.同理K/H≇F₄(q)，²F₄(q).

情形1.2  当t(K/H)>3时，由Max(π(K/H))=11知K/H≇A₂(4)，²E₆(2).若K/H≅²B₂(q)，由q=2^2k+1知q=2³，2⁵.当q=2³时，第三个阶分量$q + \sqrt {2q} + 1 = 13$，与Max(π(K/H))=11矛盾；当q=2⁵时，第四个阶分量q-1=31，与Max(π(K/H))=11矛盾.

情形2设γ>0，τ=0，则{1，2，3，5，7，12，15}⊆π_e(G).由K₁(G)=15，K₂(G)=12，故7是Γ(G)的孤立点，因此G的素图一定不连通.

① 证G不是Frobenius群.否则，由引理3知G=HK，π(K)={2，3，5}，{7}. π(K)={2，3，5}导致K有30阶元，矛盾.若π(K)={7}，则H为{2，3，5}-Hall子群，由引理1，H的Sylow子群为循环群或广义四元数群，而|G|₂=2⁶，于是G的2-Sylow子群一定包含2⁵阶元，矛盾于K₁(G)=15.

② 证G不是2-Frobenius群.否则由引理5可知G=ABC，π(A)∪π(C)=π₁={2，3，5}，π(B)=π₂={7}.由K₁(G)=15得|B|=7.另外|C||(|B|-1)=6，A的2-Sylow子群A₂满足|A₂|=2⁵，2⁶.若|A₂|=2⁵，用7阶元无不动点地作用于A₂上，导致7|(|A₂|-1)=31，矛盾，故|A₂|=2⁶.考虑子群Ω₁(Z(A₂))⊴G，同样用G的7阶元无不动点地作用于Ω₁(Z(A₂))上，可得|Ω₁(Z(A₂))|=1+7t，而|Ω₁(Z(A₂))|为2的方幂，比较阶得|Ω₁(Z(A₂))|=8，64.当|Ω₁(Z(A₂))|=64时，A₂=Ω₁(Z(A₂))为初等Abel 2-群，这矛盾于G有4阶元.当|Ω₁(Z(A₂))|=8时，由Ω₁(Z(A₂))⊴G，考虑G的3阶元a作用其上知，存在1≠b∈Ω₁(Z(A₂))，使得[a，b]=1.注意G的5-Sylow子群完全含于A中，A为幂零群，从而G的任何5阶元都与任何2阶元可换.因此，对于G的15阶元x，x⁵为3阶元，某b∈Ω₁(Z(A₂))，b≠1，[b，x⁵]=1.又已证x³作为5阶元也与b可换，从而x⁵，x³均与b可换，进而x与b可换，但|xb|=30，矛盾于G没有30阶元.

③ 设G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，其中H，K，G满足引理2.比较阶可知K/H同构于下列单群之一：L₂(7)(2³·3·7)，L₂(8)(2³·3²·7)，U₃(3)(2⁵·3³·7)，A₇(2³·3²·5·7)，A₈(2⁶·3²·5·7)，L₃(4)(2⁶·3²·5·7)，L₂(49)(2⁴·3·5²·7²)，U₃(5)(2⁴·3²·5³·7)，A₉(2⁶·3⁴·5·7).又因L₂(49)中有25阶元，矛盾，故K/H⊫L₂(49).

1) 设K/H≅L₂(7)，则G/H≅L₂(7)，H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群.

若K/H≅L₂(7)，则|Out(K/H)|=2，由引理2有|G/K||2.当|G/K|=2时，|G/H|=2·|K/H|=2·|L₂(7)|=2⁴·3·7，此时|H|=2²·3^α-1·5^β·7^γ-1.由引理2可知H是π₁-群且7是孤立点，即7∉π₁，因此|H|=2²·3^α-1·5^β，H的2-Sylow子群H₂的阶为2²，可得|Aut(H₂)||(2²-2)·(2²-1)，故G中7阶元平凡作用在H₂上，这说明G中有14阶元，与K₁(G)=15，K₂(G)=12矛盾.从而|G/K|=1，此时G/H≅L₂(7)，|H|=2³·3^α-1·5^β(α，β≥1).当α>1时，由引理2知H是幂零群，此时H中有30阶元，矛盾于K₁(G)=15，所以α=1，即H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群.

2)，3)设K/H≅L₂(8)，则G/H≅L₂(8)，L₂(8)·3，H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群.

若K/H≅L₂(8)，则|Out(K/H)|=3，由引理2有|G/K||3.当|G/K|=3时，|G/H|=3·|K/H|=3·|L₂(8)|=2³·3³·7，G/H≅K/H×C₃或G/H≅K/H·C₃，即G/H≅L₂(8)×C₃或G/H≅L₂(8)· C₃.若前者成立，则L₂(8)中的7阶元与C₃中3阶元可换，得G/H中有21阶元，矛盾.下设G/H≅L₂(8)·3，同理1)可知|H|=2³·3^α-3·5^β(α≥3，β≥1)，又由H的幂零性和K₁(G)=15可得α=3，所以H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群.当|G/K|=1时，G/H≅L₂(8)，|H|=2³·3^α-2·5^β(α≥2，β≥1).当α>2时，由H的幂零性可得H中有30阶元，矛盾于K₁(G)=15，所以α=2，即H为方指数整除10的2³·5^β阶幂零群.

4) 设K/H≅U₃(3)，则G/H≅U₃(3)·2，H是方指数为5的5^β阶幂零群或方指数整除15的3^α-3·5^β阶幂零群.

若K/H≅U₃(3)，则|Out(K/H)|=2，由引理2有|G/K||2.当|G/K|=1时，|G/H|=|K/H|=|U₃(3)|=2⁵·3³·7，此时|H|=2·3^α-3·5^β，H的2-Sylow子群H₂的阶为2，故G中7阶元平凡作用在H₂上，这说明G中有14阶元，与K₁(G)=15，K₂(G)=12矛盾.当|G/K|=2时，G/H≅K/H×C₂或G/H≅K/H·C₂，即G/H≅U₃(3)×C₂或G/H≅U₃(3)·C₂.若前者成立，则U₃(3)中的7阶元与C₂中2阶元可换，则G/H中有14阶元，矛盾.可得G/H≅U₃(3)·2，|H|=3^α-3·5^β(α≥3，β≥1).当α=3时，H是方指数为5的5^β阶幂零群；当α>3时，H是方指数整除15的3^α-3·5^β阶幂零群.

5) 设K/H≅A₇，则G/H≅A₇，H为方指数整除8的2³阶幂零群或方指数整除12的2³·3^α-2阶幂零群或方指数整除10的2³·5^β-1阶幂零群.

若K/H≅A₇，则|Out(K/H)|=2，同理|G/K||2.当|G/K|=2时，|G/H|=2·|K/H|=2·|A₇|=2⁴·3²·5·7，此时|H|=2²·3^α-2·5^β-1，H的2-Sylow子群H₂的阶为2²，可得|Aut(H₂)||(2²-2)(2²-1)，故G中7阶元平凡作用在H₂上，这说明G中有14阶元，与K₁(G)=15，K₂(G)=12矛盾，从而|G/K|=1，此时G/H≅A₇，|H|=2³·3^α-2·5^β-1.同理可知当α=2，β=1时，H为方指数整除8的2³阶幂零群；当α>2，β=1时，H为方指数整除12的2³·3^α-2阶幂零群；当α=2，β>1时，H为方指数整除10的2³·5^β-1阶幂零群.

6) 设K/H≅A₈，则G/H≅A₈，H为方指数整除9的3^α-2阶幂零群或方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除15的3^α-2·5^β-1阶幂零群.

若K/H≅A₈，则|Out(K/H)|=2，由引理2有|G/K||2.当|G/K|=2时，|G/H|=2·|K/H|=2·|A₈|=2⁷·3²·5·7，与|G|=2⁶·3^α·5^β·7^γ矛盾.因此|G/K|=1，可设|G|=2⁶·3^α·5^β·7^γ(α，β，γ≥1)，|G/H|=2⁶·3²·5·7，因此|H|=3^α-2·5^β-1(α≥2，β≥1)，G/H≅A₈.当α>2，β=1时，H为方指数整除9的3^α-2阶幂零群；当α=2，β>1时，H是方指数为5的5^β-1阶幂零群；当α>2，β>1时，H为方指数整除15的3^α-2·5^β-1阶幂零群.

7) 设K/H≅L₃(4)，则G/H≅L₃(4)，H为方指数整除9的3^α-2阶幂零群或方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除15的3^α-2·5^β-1阶幂零群.

因为|Out(L₃(4))|=12，所以|G/K||12.又因为|K/H|=|L₃(4)|=2⁶·3²·5·7，且G的2-Sylow子群的阶为2⁶，所以|G/K||3.同理2)，因为L₃(4)中有7阶元，所以G/H≇L₃(4)×C₃；因为L₃(4)· C₃中有21阶元，所以G/H≇L₃(4)·C₃.因此|G/K|=1，此时|G/H|=|K/H|=|L₃(4)|=2⁶·3²·5·7，|H|=3^α-2·5^β-1(α≥2，β≥1)，G/H≅L₃(4).当α>2，β=1时，H为方指数整除9的3^α-2阶幂零群；当α=2，β>1时，H是方指数为5的5^β-1阶幂零群；当α>2，β>1时，H为方指数整除15的3^α-2·5^β-1阶幂零群.

8) 设K/H≅A₉，则G/H≅A₉，H为方指数整除9的3^α-4阶幂零群或方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除15的3^α-4·5^β-1阶幂零群.

若K/H≅A₉，则|Out(K/H)|=2，由引理2有|G/K||2.当|G/K|=2时，|G/H|=2·|K/H|=2·|A₉|=2⁷·3⁴·5·7，与|G|=2⁶·3^α·5^β·7^γ矛盾.故|G/K|=1，此时G/H≅A₉，可设|G|=2⁶·3^α·5^β·7^γ(α，β，γ≥1)，|G/H|=2⁶·3⁴·5·7，|H|=3^α-4·5^β-1(α≥4，β≥1)，G/H≅A₉.当α>4，β=1时，H为方指数整除9的3^α-4阶幂零群；当α=4，β>1时，H为方指数为5的5^β-1阶幂零群；当α>4，β>1时，H为方指数整除15的3^α-4·5^β-1阶幂零群.

证K/H≇U₃(5).若K/H≅U₃(5)，因为|Out(U₃(5))|=6，所以|G/K||6.又因为|K/H|=|U₃(5)|=2⁴·3²·5³·7，所以2||H|，且H的2-Sylow子群H₂的阶为2或4，同5)，考虑G中7阶元在H₂上的作用知G中有14阶元，矛盾.因此K/H≇U₃(5).

情形3设γ=0，τ>0.则|G|=2⁶·3^α·5^β·11^τ(α，β，τ≥1).由K₁(G)=15，K₂(G)=12可知11是Γ(G)的孤立点，因此G的素图一定不连通.由引理2知G是Frobenius群或者2-Frobenius群，或者G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π₁-群，K/H为非交换单群，其中2∈π₁，H为幂零群，|G/K|||Out(K/H)|.

① 证G不是Frobenius群.否则由引理3知G=HK，π(K)={2，3，5}，{11}.前者导致K有30阶元，矛盾.后者导致H为{2，3，5}-Hall子群，由引理1可知H的Sylow子群为循环群或广义四元数群，故G的2-Sylow子群一定包含2⁵阶元，矛盾于K₁(G)=15.

② 证G不是2-Frobenius群.否则由引理5可知G=ABC，π(A)∪π(C)=π₁，π(B)=π₂，B，C为循环群，B是G的11-Sylow子群，|B|=11^τ.若2||A|，则A的2-Sylow子群A₂的阶不大于2⁶，考虑B在A₂上的作用，因为|Aut(A₂)||(2⁶-2⁵)(2⁶-2⁴)(2⁶-2³)(2⁶-2²)(2⁶-2)(2⁶-1)，即11|Aut(A₂)|，所以B在A₂上的作用是平凡的，即B中的元与A₂中2阶元可换，从而得到22阶元，矛盾，则2|A|，2⁶||C|.由C是循环群得C中有64阶元，矛盾.

③ 设G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，其中H，K，G满足引理2.因为11∈π(K/H)，所以K/H不是K₃-单群，只能是K₄-单群，则比较阶，由引理6知K/H同构于L₂(11)(2²·3·5·11)，M₁₁(2⁴·3²·5·11)，M₁₂(2⁶·3³·5·11)之一.

证K/H≇L₂(11).否则|Out(K/H)|=2，即|G/K||2.当|G/K|=2时，|G/H|=2·|K/H|=2·|L₂(11)|=2³·3·5·11，此时|H|=2³·3^α-1·5^β-1，H的2-Sylow子群H₂的阶为2³，可得|Aut(H₂)||(2³-2²)(2³-2)(2³-1)，故G中11阶元平凡作用在H₂上，这说明G中有22阶元，矛盾，从而|G/K|=1，此时G/H≅L₂(11)，|H|=2⁴·3^α-1·5^β-1，H的2-Sylow子群H₂的阶为2⁴.可得|Aut(H₂)||(2⁴-2³)(2⁴-2²)(2⁴-2)(2⁴-1)，即11|Aut(H₂)|，故G中11阶元平凡作用在H₂上，也即G中有22阶元，矛盾.

证K/H≇M₁₁.否则|Out(K/H)|=1，即|G/K|=1.此时G/H≅M₁₁，|H|=2²·3^α-2·5^β-1，H的2-Sylow子群H₂的阶为2²，可得|Aut(H₂)||(2²-2)(2²-1)，即11|Aut(H₂)|，故G中11阶元平凡作用在H₂上，也即G中有22阶元，矛盾.

9) 设K/H≅M₁₂，则G/H≅M₁₂，H是方指数为5的5^β-1阶幂零群或方指数整除9的3^α-3阶幂零群或方指数整除15的3^α-3·5^β-1阶幂零群.

若K/H≅M₁₂，则|Out(K/H)|=2，即|G/K||2.当|G/K|=2时，|G/H|=2·|K/H|=2·|M₁₂|=2⁷·3³·5·11，与|G|=2⁶·3^α·5^β·11^τ矛盾.故|G/K|=1，此时G/H≅M₁₂，|H|=3^α-3·5^β-1(α≥3，β≥1).当α>3，β=1时，H为方指数整除9的3^α-3阶幂零群；当α=3，β>1时，H是方指数为5的5^β-1阶幂零群；当α>3，β>1时，H为方指数整除15的3^α-3·5^β-1阶幂零群.证毕.