本节主要目的是证明方程(1)正解的存在性.首先，设p>1，定义$W_0^{1 \cdot p}(\mathit{\Omega } )$和${\mathit{L}^\mathit{p}}(\mathit{\Omega })$中的范数分别为$||u|| = {\left( {\int_\mathit{\Omega } | \nabla u{|^\rho }{\rm{d}}x} \right)^{\frac{1}{\rho }}}, |u{|_p} = {\left( {\int_\mathit{\Omega } | u{|^\rho }{\rm{d}}x} \right)^{\frac{1}{\rho }}}$.讨论方程(1)的出发点是下述Hardy不等式^[11]：

当$0 \le \mu < \bar \mu $时，在H₀¹(Ω)中可定义范数

由此可知，‖u‖_μ与通常的范数‖u‖等价.定义嵌入W₀^1，2(Ω)↺ L^2*(Ω)的最佳临界常数为

由文献[12]可知，S_μ与Ω无关.当Ω≠$\mathbb{R}$^N时，S_μ不可达到.

定义方程(1)所对应的能量泛函为I_λ：H₀¹(Ω)→$\mathbb{R}$为

注意到，方程(1)中的奇异项f(x)u^－γ会导致泛函I_λ在H₀¹(Ω)上不可微，即I_λ∉C¹(H₀¹(Ω)，$\mathbb{R}$).通常，对∀v∈H₀¹(Ω)，方程(1)的弱解u∈H₀¹(Ω)满足

由(6)式，定义集合

考虑

从而可得

可将Λ拆分成3部分，分别为Λ的局部极小值点、拐点和局部极大值点的集合：

在全文中，若无特别说明，C，C₀，C₁，C₂，…均表示正常数，“→”和“$\rightharpoonup$”分别表示相应空间中的强收敛和弱收敛，B_r(x)表示以x为球心，r为半径的开球.为证明方程(1)正解的存在性，给出下述引理：

引理1  泛函I_Λ在H₀¹(Ω)中有局部极小值m，且m < 0.

证由(5)式和Hölder不等式可得

则

由1－γ < 2及(9)式可得，存在λ₁>0，对∀λ∈(0，λ₁)，存在ρ，R>0，使得I_λ在S_R={u∈H₀¹(Ω)：‖u‖_μ=R}上I_λ(u)≥ρ，并且I_λ在B_R={u∈H₀¹(Ω)：‖u‖_μ≤R}上下方有界.从而对固定的λ∈(0，λ₁)，可以定义$m = \mathop {\inf }\limits_{u \in {B_R}} {I_\lambda }(u)$.由于0 < 1－γ < 1，从而由(9)式可知，对∀ω≠0及充分小的t>0，有${I_\lambda }(t\omega ) < 0$.从而可得m < 0.

引理2  存在u¹∈B_R，使得I_λ(u¹)=m.

证  由引理1，对∀λ∈(0，λ₁)，有

由m的定义可知，存在极小化序列{u_k}⊂B_R，使得I_λ(u_k)→m < 0(k→∞).显然I_λ(u_k)=I_λ(|u_k|)，从而可设u_k≥0.又因为‖u‖_μ≤R，由有界集的弱紧性，存在子序列(仍记为{u_k})，当k→∞时满足u_k$\rightharpoonup$u¹(x∈H₀¹(Ω))，u_k$\rightharpoonup$u¹(x∈L^s(Ω)(1≤s < 6))，u_k(x)→u¹(x)(a.e. x∈Ω).由(7)式知，u_k在L^2*(Ω)中有界.又因H₀¹(Ω)是自反空间，且B_R是闭凸的，所以u¹∈B_R.再由Vitali定理可得

令Ω_=k=u_k－u¹，则由Brézis-Lieb引理，有

注意到$\left\|u^{1}\right\|_{\mu}^{2}=\left\|u^{1}\right\|^{2}-\mu\left|\frac{u^{1}}{x}\right|_{2}^{2}$，故

若u¹=0，则ω_=k=u_=k，那么ω_=k∈B_R；若u¹≠0，由(12)式知，当k充分大时有ω_=k∈B_R.因此，由(10)式得

从而由(11)-(16)式可得

令k→∞，可知m≥I_λ(u¹).再由m的定义，可得m≤I_λ(u¹).故I_λ(u¹)=m < 0，且u¹不恒等于0，故u¹是I_λ的局部极小解.

定理1正解存在性的证明  显然，对∀λ∈(0，λ₁)，引理1和引理2都成立.现只需证明u¹是方程(1)的正弱解.由引理2可知

因此

其中∀φ∈H₀¹(Ω).由此可知u¹是方程(1)的弱解.对∀φ∈H₀¹(Ω)，u¹≥0，φ≥0，t>0，可得0≤I_λ(u¹+tφ)－I_λ(u¹).易知

将(17)式两边同时除以t(t>0)，再令t→0，可得u¹∈H₀¹(Ω)，且

由强极大值原理知u¹>0(x∈Ω).

本节主要证明方程(1)正解的多重性，主要在Λ^－上讨论方程(1)的正解，并由Lions集中紧性原理、Vitali定理和Ekeland变分原理等方法证明得到.

引理3   I_Λ在Λ上强制.

证  对∀u∈Λ，有

从而可得

由于0 < 1－γ < 2，则$\mathop {\lim }\limits_{u{_\mu } \to \infty } {I_\lambda }(u) = + \infty $，即I_λ在Λ上强制，且下方有界.

引理4  存在Θ>0，λ₂>0，使得当λ∈(0，λ₂)，0 < |f|₂≤Θ时，有Λ^－≠∅，Λ⁰={0}，且Λ^－在H₀¹(Ω)中是闭集.

证  设$\varphi (t) = {t^{1 + \gamma }}u_\mu ^2 + b{t^{3 + \gamma }}{\left\| u \right\|^4} - \lambda {t^{{2^*} - 1 + \gamma }}|u|_{{2^*}}^{{2^*}}$.令t_ε满足φ^′(t_ε)=0，则有

注意到：对∀0 < t < t_ε，有φ^′(t)>0；对∀t>t_ε，有φ′(t) < 0.那么φ在0 < t < t_ε上递增，在t>t_ε上递减.于是φ(t)可在t_ε点处取得最大值.因此，取λ充分小，推断可得

再由(7)式和(8)式有

那么对∀0 < |f|₂≤Θ，有(18)式成立，其中

因此，存在唯一的正数$t^{-}=t^{-}(u)>t_{\varepsilon}$，使得$\varphi \left( {{t^ - }} \right) = \int_\mathit{\Omega } f (x)|u{|^{1 - \gamma }}{\rm{d}}x, {\varphi ^\prime }\left( {{t^ - }} \right) < 0$，这就意味着t^-u∈Λ^-，即对∀0 < |f|₂≤Θ，有Λ^－≠∅.

用反证法证明Λ⁰={0}.假设u∈Λ⁰\{0}，则

因此

由(7)，(19)式及Young不等式可得

即

由(8)，(20)式及Young不等式可得

由于0 < 1－γ < 1，则

当

时，(22)式与(21)式矛盾.综上所述，对∀λ∈(0，λ₂)，有Λ⁰={0}.

下证Λ^－在H₀¹(Ω)中是闭集.令{u_n}⊂Λ^－使得u_n→u(x∈H₀¹(Ω))，存在子序列(仍记为{u_n})，使得u_n→u(a.e. x∈Ω)，且$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left| {{u_n}} \right|_2} \cdot = |u{|_2}$.再由Λ^－的定义可得

由(23)式可知u∈Λ⁰∪Λ^－.若Λ^－不是闭集，则u∈Λ⁰，此时u≡0.对∀{u_n}⊂Λ^－，

从而，当n→∞时，有

(24) 式与u=0矛盾.因此对∀λ∈(0，λ₂)，有u∈Λ^－，且Λ^－在H₀¹(Ω)中是闭集.

引理5  存在λ₃>0，使得对∀u∈Λ^－，λ∈(0，λ₃)，有I_λ(u)≥0.

证  用反证法.假设存在$\bar u \in {\mathit{\Lambda }^ - }$，使得$I_{\lambda}(\bar{u})<0$，即

由u∈Λ^－⊂Λ，则

再由(7)，(8)式及Young不等式，可得

则

取

则对任意的λ < λ₃，有

这与(24)式矛盾.因此，引理5得证.

引理6  若u∈Λ^－，则存在ε>0及可微函数f=f(ω)>0，其中ω∈H₀¹(Ω)，‖ω‖ < ε，使得

证  定义F：$\mathbb{R}$×H₀¹(Ω) $\longrightarrow$$\mathbb{R}$，有

由于u∈Λ^－⊂Λ，可知F(1，0)=0，且

由隐函数定理，存在$\bar{\varepsilon}$>0及可微函数f=f(ω)>0，使得f(0)=1，f(ω)(u+ω)∈Λ，∀ω∈H₀¹(Ω)，‖ω‖ < $\bar{\varepsilon}$.显然，给定充分小的ε>0(ε < $\bar{\varepsilon}$)，满足

引理7  对∀λ>0，方程(1)在H₀¹(Ω)中有弱解u².

证  由$0 < |f{|_2}\mathit{\Theta }$及引理4可知${\mathit{\Lambda }^ - } \ne \emptyset ,{m_ - } = \mathop {\inf }\limits_{u \in {\Delta ^ - }} {I_\lambda }(u) > - \infty $.由Ekeland变分原理，存在一个极小化序列{v_n}⊂Λ^－，满足

由I_λ(v_n)=I_λ(|v_n|)，可设v_n≥0在Ω中，且{v_n}收敛到一个函数(有必要时收敛到子序列)，记作u²≥0，且满足：v_n$\rightharpoonup$u²(x∈H₀¹(Ω))，v_n→u²(a.e. x∈Ω).令u=v_n∈Λ^－，Ω=tφ，φ∈H₀¹(Ω)，t>0充分小，可得可微函数f_n(t)=f_n(tφ)，满足f_n(0)=1，f_n(t)(v_n+tφ)∈Λ^－.由于Λ^－⊂Λ，可得

由Ekeland变分原理可得

将(25)式两边同时除以t(t>0)，再令t→0，由此可得

再由文献[13]，存在C₄>0使得|f_n^′(0)|≤C₄.当n→∞时，由Fatou引理可得

由于φ的任意性，该不等式对－φ也成立，因此可得

这意味着u²是方程(1)的弱解.

引理8  存在λ₄>0，使得当0 < λ < λ₄时，有u²∈Λ^－.

证  对∀u∈Λ^－⊂Λ，可知

易知，取$\lambda<\tilde{\lambda}_{4}$，当${\tilde \lambda _4}$满足

时，我们有$m_{-}<\frac{1}{N} S_{\mu}^{\frac{N}{2}}$.

下证u²∈Λ^－，由于Λ^－是闭集，且v_n$\rightharpoonup$u²(x∈H₀¹(Ω))，现只需证‖v_n‖_μ→‖u²‖_μ.由Lions集中紧性原理^[14]，存在非负有界测度η，ν，ν，使得|▽v_n|²$\rightharpoonup$η，|v_n|^2*$\rightharpoonup$ν，|x|^－2|v_n|²$\rightharpoonup$ν在测度意义下成立，并存在至多可数集$\mathscr{J} $，点集${\left\{ {{x_j}} \right\}_{j \in \mathscr{J}}} \subset \mathit{\bar \Omega }\backslash \{ 0\} , \;\;\;{\kern 1pt} {\left\{ {{\eta _j} \ge 0} \right\}_{j \in \mathscr{J} \cup (0)}}, \;\;\;{\kern 1pt} {\left\{ {{\nu _j} \ge 0} \right\}_{j \in \mathscr{J} \cup \{ 0\} }}, \;\;\;{\kern 1pt} {\tilde \nu _0} \ge 0$，使得：

${\rm{ (a) }}\eta \ge {\left| {\nabla {u^2}} \right|^2} + \sum\limits_{j \in \mathscr{J}} {{\eta _j}} {\delta _{{x_j}}} + {\eta _0}{\delta _0}$,

$({\rm{b}})\nu = {\rm{ }}{\left| {{u^2}} \right|^{{2^*}}} + \sum\limits_{j \in \mathscr{J}} {{\nu _j}} {\delta _{{x_j}}} + {\nu _0}{\delta _0}$,

${\rm{ (c) }}\tilde \nu = |x{|^{ - 2}}{\left| {{v_n}} \right|^2} + {\tilde \nu _0}{\delta _0}$,

$({\rm{d}})\;\;\;{\kern 1pt} {S_0}\nu _j^{\frac{2}{*}} \le {\eta _j}$,

$({\rm{e}}){S_\mu }v_0^{\frac{2}{{{2^*}}}}{\eta _0} - \mu {\tilde v_0}$.

其中δ_xj(j∈$\mathscr{J} $∪{0})是x_j处的Dirac测度.令n→∞，可得

再由Vitali定理，可得

设x_j≠0是测度η和ν的一个奇异点，因为对∀j∈$\mathscr{J} $，有x_j≠0，选取充分小的ε>0，使得0∈B_xj(ε)且B_xi(ε)∩B_xj(ε)=∅，其中i≠j，i，j∈$\mathscr{J} $.现定义ψ_ε是以x_j为中心的光滑截断函数，且0≤ψ_ε≤1.当$\left| {x - {x_j}} \right|\frac{\varepsilon }{2}$时，ψ_ε=1；当|x－x_j|≥ε时，ψ_ε=0，并且有$\left|\nabla \psi_{\varepsilon}\right| \leqslant \frac{4}{\varepsilon}$.

显然，类似于引理7的证明方法，对∀φ∈H₀¹(Ω)，当n→∞时，有

由于ψ_εv_n∈H₀¹(Ω)，则

依据(26)-(29)式可推断出

即n→∞时，有

由(30)式可得$\lambda {\nu _j} \ge {\eta _j},{\lambda _{{\nu _j}}} \ge {S_0}\nu _j^{\frac{2}{{{2^*}}}}$.从而再由(d)得出：要么(ⅰ) ν_j=0；要么(ⅱ) ${\nu _j} \ge {\left( {\frac{{{S_0}}}{\lambda }} \right)^{\frac{N}{2}}}$.同理，对于x=0的集中情形，由(e)可得：要么(ⅲ) ν₀=0；要么(ⅳ) ${\nu _0} \ge {\left( {\frac{{{S_\mu }}}{\lambda }} \right)^{\frac{N}{2}}}$.

下证情形(ⅱ)及(ⅳ)不成立.用反证法，假设存在j₀，使得${\nu _{{j_0}}} \ge {\left( {\frac{{{S_0}}}{\lambda }} \right)^{\frac{N}{2}}}$.

事实上，${m_ - } < \frac{1}{N}S_n^{\frac{N}{2}}$，由此可知I_λ(u²) < 0，故u²≠0，且

因此

取$\bar{\lambda}_{4}>0$，使得

对∀ $\lambda < {\bar \lambda _4}$，使得(31)式最后一个不等式成立.这与${m_ - } < \frac{1}{N}S_\mu ^{\frac{N}{2}}$矛盾.同理，对x=0的情形，(ⅳ)可得$m_{-}>\frac{1}{N} S_{\mu}^{\frac{N}{2}}$.因此$\lambda_{4}=\min \left\{\tilde{\lambda}_{4}, \bar{\lambda}_{4}\right\}$，那么对∀j∈$\mathscr{J} $∪{0}都有ν_j=0，则|v_n|^2*$\rightharpoonup$|u²|^2*，且对∀λ∈(0，λ₄)，有u∈Λ^－.

定理1正解多重性的证明  令λ^′=min{λ_i}(i=2，3，4).显然，对∀λ∈(0，λ^′)，引理3-引理8都成立.现只需要证明u²>0(x∈Ω).由引理7和引理8可知：u²是I_Λ在Λ^-中的极小解.类似方程(1)正解存在性的证明方法，可证得：u²>0(x∈Ω).综上所述，取λ^*=min{λ₁，λ′}，定理1得证.