令$\mathbb{C}$表示复平面.对于任意α>0，我们考虑Gaussian测度

其中dA(z)=dxdy是复平面$\mathbb{C}$上的Lebesgue面积测度.

设L²($\mathbb{C}$，dλ_α(z))是复平面$\mathbb{C}$上关于Gaussian测度dλ_α(z)平方可积的Lebesgue可测函数全体.经典Fock空间F_α²是由L²($\mathbb{C}$，dλ_α(z))中的全体整函数构成的闭子空间；调和Fock空间F_h²是由L²($\mathbb{C}$，dλ_α(z))中的全体调和函数构成的闭子空间.因此F_α²和F_h²是Hilbert空间，其上的内积定义为

范数定义为

设F₀²={f∈F_α²：f(0)=0}，经典Fock空间F_α²和调和Fock空间F_h²有如下关系：

即对∀f∈F_h²，存在f₁∈F_α²，f₂∈F₀²，使得f=f₁+$\overline{f_{2}}$.

与有界区域上经典的Hardy空间、Bergman空间相比，作为定义在无界区域上的整函数空间，对Fock空间的研究相对要滞后一些.为了刻画量子力学中由单粒子或多个全同粒子构成的量子态空间，文献[1]首次构造了一个无界区域上的全纯函数空间来表示Heisenberg群，其后称之为Fock空间.文献[2-3]引入了n维复空间$\mathbb{C}$ⁿ上关于Gaussian测度平方可积的整函数全体构成的Hilbert空间作为量子力学中算子的模型空间，并且证明了此空间与Fock空间同构，所以Fock空间又称为Segal-Bargmann空间.在Bargman空间的基础上，不少学者研究讨论了调和Bargman空间的性质结构(如文献[4]).近20年来，Fock空间及其上的算子理论的研究吸引了越来越多学者的关注，研究成果越来越丰富.文献[3, 5-6]系统地研究了这类Fock空间的性质结构.文献[7-9]将其推广成为Fock-Sobolev空间，并且对其性质结构进行了研究.文献[10]引入了一类由某类特殊函数所诱导的加权Fock型空间.文献[5]是关于Fock空间及其相关函数空间与算子理论的第一本专著.文献[11]对调和Fock空间上函数的Berezin变换进行了估计.

本文主要在解析Fock空间中函数的性质的基础上，讨论调和Fock空间中函数的基本性质.首先计算了调和Fock空间的标准正交基、再生核，得到了投影算子的积分表示形式.其次对调和Fock空间中的函数值进行了估计，证明了极值函数的存在性，得到了其基本性质结构，并且在此基础上讨论了不同调和Fock空间的关系.

调和Fock空间F_h²是L²($\mathbb{C}$，dλ_α(z))的闭子空间，由其与Fock空间的关系，在Fock空间F_α²的标准正交基的基础上得到F_h²的标准正交基.

引理1  对任意非负整数n，令$e_{n}(z)=\sqrt{\frac{\alpha^{n}}{n!}} z^{n}$，$\bar{e}_{n}(z)=\sqrt{\frac{\alpha^{n}}{n!}} \bar{z}^{n}$，则{e_n}_n=0^+∞∪{e_n}_n=1^+∞是F_h²的规范正交基.

证  {e_n}_n=0^+∞∪{e_n}_n=1^+∞显然是F_h²中的规范正交集.下面证{e_n}_n=0^+∞∪{e_n}_n=1^+∞在F_h²上是完全的.设f∈F_h²，〈f，e_n〉=0，〈f，e_n〉=0，因为f是调和函数，所以可以表示为

通过直接计算得

故a_k=0.又因为

故b_k=0，从而f=0.因此{e_n}_n=0^+∞∪{e_n}_n=1^+∞在F_h²上是完全的.证明完毕.

对固定的ω∈$\mathbb{C}$，由于映射$f \longmapsto f(\omega)$是F_h²上的有界线性泛函，所以由Riesz表示定理，存在唯一的函数H_ω∈F_h²，使得对∀f∈F_h²有f(ω)=〈f，H_ω〉，函数H(z，ω)=H_z(ω)叫作F_h²的再生核.下面通过标准正交基计算出调和Fock空间的再生核.

定理1  F_h²的再生核为H_z(ω)=e^αzω+e^αzω-1.

证  设f∈F_h²，则f=f₁+f₂，其中f₁∈F_α²，f₂∈F₀².由于F_h²是Hilbert空间，故

由于F_h²是L²($\mathbb{C}$，dλ_α(z))的闭子空间，由Hilbert空间的性质结构，存在从L²($\mathbb{C}$，dλ_α(z))到F_h²的唯一正交投影Q_α.

推论1  投影算子Q_α：L²($\mathbb{C}$，dλ_α)→F_h²可以表示为

其中f∈L²($\mathbb{C}$，dλ_α).

证  设f∈L²($\mathbb{C}$，dλ_α)，有

其中z∈$\mathbb{C}$，这就证明了投影算子Q_α是以H_z(ω)为核的积分算子.

现在将F_h²推广到F_h^p(1≤p < +∞).对∀α>0，p＞0，用L_α^p表示所有复平面$\mathbb{C}$上满足$f(z) e^{-\frac{a|z|^{2}}{2}}$∈L^p($\mathbb{C}$，dA)的Lebesgue可测函数全体.对f∈L_α^p，定义

类似地，对α>0，p=+∞，用L_α^∞来表示所有复平面$\mathbb{C}$上满足

的函数全体.

对α>0，1≤p≤+∞，定义F_h^p是由所有调和函数f∈L_α^p构成的空间，称之为调和Fock空间.显然F_h^p是L_α^p的闭子空间.关于F_h^p的结构，有以下结果：

定理2  设f∈F_h^p(1≤p < +∞)，f_r(z)=f(rz).则：

(ⅰ)‖f_r-f‖_p，α0，r→1^-；

(ⅱ)存在调和多项式{g_n}，使得‖g_n-f‖_p，α0，n+∞.

证  (ⅰ)设f∈F_h^p，则存在f₁∈F_α^p，f₂∈F₀^p，使得f=f₁+$\overline{f_{2}}$，那么f_r=f_1r+$\overline{f_{2r}}$.由解析Fock空间F_α^p的性质可得

因此

(ⅱ)由于解析多项式在Fock空间F_α^p中稠密，故存在p_n∈F_α^p，q_m∈F_α^p，使得

设$g_{n, m}=p_{n}+\overline{q_{m}}$，则

由定理2的证明，可知调和多项式在F_h^p中稠密.

下面将对函数值进行估计.

定理3  设f∈F_h^p(1≤p < +∞)，则sup{|f(z)|：‖f‖_p，α≤1}=$e^{\frac{\alpha|z|^{2}}{2}}$.

证  由于f∈F_h^p，则由|f|^p的次调和性可得

记τ_z(ω)=z-ω，从而

设F(ω)=f(ω)$\mathrm{e}^{-\frac{\alpha \bar{z} \omega}{2}-\frac{\alpha \bar{\omega} z}{2}}$，则

那么

当f(ω)=${\rm{e}}^{-\alpha \bar{z} \omega-\left(\frac{\alpha|z|^{2}}{2}\right)+i \theta}$时，不等式取等号，从而有sup{|f(z)|：‖f‖_p，α≤1}=${\rm{e}}^{\frac{a|z|^{2}}{2}}$.

推论2  设f∈F_h^p，1≤p≤+∞，则|f(z)|≤‖f‖_p，α${\rm{e}}^{\frac{a|z|^{2}}{2}}$(∀z∈$\mathbb{C}$).

上面对单个函数值的估计是最精确的，也就是说${\rm{e}}^{\frac{a|z|^{2}}{2}}$是一个极值函数.在此估计上定义以下函数空间：用f_h^∞表示由调和函数f(z)构成的空间，其中f(z)满足$\lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) \mathrm{e}^{-\frac{a|z|^{2}}{2}}=0$.显然，f_h^∞是F_h^∞的闭子空间.实际上关于{F_h^p}_p≥1有以下关系：

定理4  设1≤p < q < +∞，则F_h^p⊂F_h^q⊂F_h^∞.

证  对f∈F_h^p，通过计算，得

故$\|f\|_{q \cdot \alpha} \leqslant\left(\frac{q}{p}\right)^{\frac{1}{q}}\|f\|_{p \cdot a}$，因此可得F_h^p⊂F_h^q.由推论2有|f(z)|≤‖f‖_p，α$\mathrm{e}^{-\frac{a|z|^{2}}{2}}$，故$|f(z) | \mathrm{e}^{-\frac{a|z|^{2}}{2}}$≤‖f‖_p，α，因此‖f‖_∞，α≤‖f‖_p，α，从而有F_h^p⊂F_h^∞.

实际上，我们还有以下结果：

推论3  设1≤p < +∞，则F_h^p⊂f_h^∞.

证  由于调和多项式P包含在f_h^∞中，并且调和多项式P在F_h^p中稠密，所以F_h^p⊂f_h^∞.

由于F_α²是L²($\mathbb{C}$，dλ_α)的闭子空间，故存在唯一的投影算子P_α：L²($\mathbb{C}$，dλ_α)→F_α²，其表示为

文献[5]已证明了解析Fock空间F_α²上的投影P_α是有界的，因此，由P_α与Q_α的关系有以下结果：

定理5  投影算子Q_α：L²($\mathbb{C}$，dλ_α)→F_h²有界.

证  由于投影算子P_α：L²($\mathbb{C}$，dλ_α)→F_α²有界，且

所以

因此Q_α有界.