考虑如下非局部问题：

已有大量文献描述了当a，b≥0且a+b>0，g(x，u)是二元连续函数，且Ω取不同情形时包含不同边界条件的方程(1)的经典结果^[1-8].方程(1)因为含有∫_Ω|∇u|²dx而被叫作非局部Kirchhoff方程.这种问题的研究与下面的模型有关：

作为d'Alembert波动方程的推广，该模型由文献[9]首次提出，主要描述了ǫ，h，p₀，E，L均为正时弹性弦的横向振动.当描述某一时刻弦所处的位置与空间的关系时可以转化为方程(1)的解.近几年，有不少文献研究了当a>0>b时方程(1)解的存在性.文献[10-11]考虑了方程

解的存在性和多重性，其中常数a>0>b，μ是非负参数，f(x)是连续函数.利用变分方法中的山路引理和Ekeland变分原理，获得了当$f\left( x \right)\in {{L}^{\frac{4}{3}}}({{\mathbb{R}}^{4}})$是一个几乎处处大于0的函数，并且μ>0适当小时该方程至少存在2个正解.特别地，当μ=0时，通过特殊函数法获得了无穷多古典解.文献[11]首次指出了：当a>0>b时，方程(1)是负模量的Kirchhoff问题.文献[10]对负模量的问题进行了深一步的阐述，这种问题的研究具有一定的价值.文献[2]在${{\mathbb{R}}^{3}}$上利用变分方法考虑含有Hardy-Sobolev临界指数的情形，当非线性项满足(AR)条件时，获得了正解的存在性.而对于定义在光滑有界区域$\mathit{\Omega }\in {{\mathbb{R}}^{N}}$上的0-Dirichlet问题，文献[3]利用临界点理论中的Ekeland变分原理和三解定理获得近共振情形下至少3个解的存在性.文献[4-6]利用变分方法研究了不同指数增长的情况，利用山路引理、Ekeland变分原理、扰动方法等获得了多重正解的存在性.

受文献[1, 10-11]的启发，本文考虑如下临界增长的非局部问题：

多个古典正解的存在性，其中N≥3，a>0，b>0，$\beta \in \mathbb{R}$，当β=0时，a>b，${{2}^{*}}=\frac{2N}{N-2}$.

定理 1  假设N≥3，a>0，b>0，那么对任意正实数β，方程(2)都有无穷多古典解；又当a>b>0，β=0时，方程(2)有无穷多古典解.

证  在N(N≥3)维欧氏空间${{\mathbb{R}}^{N}}$上考虑临界增长的椭圆型方程

方程(3)有一族古典解可以表述为

其中ε是任意的正数，并且由于ε的任意性，使得方程(3)有无穷多解u_ε∈D^1，2(${{\mathbb{R}}^{N}}$).

设S为嵌入D^1，2(${{\mathbb{R}}^{N}}$)L^2*(${{\mathbb{R}}^{N}}$)的最佳常数，即

根据文献[12]所述，对任意的ε>0，上述的u_ε都能使S取到.因此可以算得

对任意的λ>0，令${{v}_{{{\lambda }_{\varepsilon }}}}={{\lambda }^{\frac{N-2}{4}}}{{u}_{\varepsilon }}$，则${{u}_{\varepsilon }}={{\lambda }^{\frac{2-N}{4}}}{{v}_{{{\lambda }_{\varepsilon }}}}$，因此$-\lambda \Delta {{v}_{\lambda \varepsilon }}=v_{\lambda \varepsilon }^{\frac{N+2}{N-2}}$.可以得出，当N≥3时，对任意给定的λ>0，方程

有一族古典解可以表述为

再根据ε>0的任意性可得出u_λε有无穷多个.根据(5)式可以得出

现对λ∈(0，a)，考虑方程

当N≥3时，方程(8)在区间(0，a)中的解等价于如下定义的函数φ(λ)的零点：

显然，当β≥0时，φ∈C¹([0，a]，$\mathbb{R}$)，并且

因此，根据连续函数的零点存在定理可知函数φ(λ)在区间(0，a)中必然存在至少1个零点λ=λ_[abNSβ]，亦即方程(8)存在解λ_[abNSβ]∈(0，a)，使得

另外，根据(6)-(7)式可知

有一族古典解可以表述为

因此有

从而根据ε>0的任意性得：方程(2)有无穷多个形如(10)式的解.

推论 1  假设N≥3，a>0，b>0，那么对任意实数β < 0，当满足

时，方程(2)有无穷多古典解.

证  类似β≥0时的情形，只需证明φ(λ)有零点.当β < 0时，有

φ′(λ)=0时φ(λ)有最小值点λ=λ_*，此时

根据(11)式可得出

再根据(9)式可知φ(λ)在(λ_*，a)上有零点.故方程(2)有无穷多古典解.

下面给出几个具体例子：

例1  当N≥3，a>b>0且β=0时，方程(2)变为如下方程：

此时λ_[abNSβ]=a-b，该方程有无穷多解可以表述为

例2  当N=3，a>0，b>0且β=1时，方程(8)的解是$\lambda =\left( \frac{\sqrt{{{b}^{2}}{{S}^{3}}+4a}-b{{S}^{\frac{3}{2}~}}}{2} \right){{~}^{2}}$.因此

满足方程

例 3  当N≥3，a>0，b>0且$\beta =\frac{2}{N-2}$时，方程(8)的解是$\lambda =\frac{a}{b{{S}^{\frac{N}{N-2}}}+1}$.因此

满足方程

例4当N≥3，b>0且$\beta =\frac{2}{N-2}<0$时，存在$M=2\sqrt{b}{{S}^{\frac{N}{2(2-N)}}}>0$，当a≥M时，方程(8)的解是$\lambda =\frac{1}{2}\left[ a\pm {{\left( {{a}^{2}}-4b{{S}^{\frac{N}{2-N}}} \right)}^{\frac{1}{2}}} \right]$.因此

满足方程