考虑如下一类具有凹凸非线性项的Kirchhoff方程的多解性问题：

其中Ω在${{\mathbb{R}}^{N}}$(N=1，2，3)中是具有光滑边界的有界区域，

系数函数$f, g\in C\left( {\mathit{\tilde{\Omega }}} \right)$.方程(1)的能量泛函J_λ为

这里的H₀¹(Ω)是Sobolev空间，它的范数为

L^p(Ω)(1≤p < +∞)是Lebesgue空间，它的范数为

我们用H^-1(Ω)来表示H₀¹(Ω)的对偶空间，用S_r表示H₀¹(Ω)嵌入到L^r(Ω)(1 < r < 2^*)的最佳Sobolev常数.对任意的u∈H₀¹(Ω)，有

u是方程(1)的解当且仅当u是泛函J_λ的临界点，即对任意的v∈H₀¹(Ω)，有

关于Kirchhoff方程解的存在性和多重性已有很多的结果(文献[1-9]).特别地，文献[10]研究了方程

其中$\mathit{\Omega }\subset {{\mathbb{R}}^{N}}$是具有光滑边界的有界区域，

系数函数f，g ∈C(Ω)满足

当p取不同值时，通过使用Nehari流形和截断函数，可以得到方程(3)具有多个正解.

文献[11]研究了方程

其中Ω是有界区域，a，b，λ，υ>0，0 < q < 1.应用极小极大值原理，当0 < υ < bυ₁，λ>0时，得到了方程(4)有1个正的基态解.应用Nehari流形，当υ≥bυ₁和0 < λ < λ时，得到了方程(4)有2个正解.受到这些结果的启发，我们将考虑方程(1)的解的多重性.

考虑特征值问题

方程(5)的第一特征值为

φ₁是第一特征值μ₁对应的特征函数，且‖φ₁‖=1.

设{u_n}是J_λ在水平c处的(PS)序列，即

如果J_λ的每一个(PS)序列都有一个强收敛的子序列，则称J_λ满足(PS)_c条件.

定理 1  对于2 < q < 4，p=4，有：

(i) 当f(x)≥0且不恒为0，g(x)变号，a>|g|_∞S₄⁴时，存在λ_*>0，使得当λ>λ_*时，方程(1)至少有2个非平凡解；

(ii) 当f(x)≥0且不恒为0，g(x)≤0时，存在λ_**>0，使得当λ>λ_**时，方程(1)至少有2个非平凡解；

(iii) 当f(x)≤0，g(x)变号，0 < a < $\frac{1}{\mu 1}$时，方程(1)至少有1个非平凡解.

注1   文献[1-2]分别考虑的是1 < q < 2且4≤p < 2^*的情况，本文考虑的是3 < q < 4和p=4的情况.本文的结果是对文献[1-2]的补充.

为了证明定理1，我们需要下面的一些引理.类似于文献[1]的引理3.1，我们有：

引理 1  当s>0，m₀>0，(as+b)≥m₀时，泛函J_λ的有界的(PS)序列都有一个强收敛的子序列.

证  设{u_n}是J_λ在H₀¹(Ω)中的有界的(PS)序列.由紧嵌入定理，在H₀¹(Ω)上存在一个子序列，仍表示为{u_n}，使得{u_n}在H₀¹(Ω)中弱收敛于u₀，{u_n}在L^r(Ω)中强收敛于u₀.所以

由于

则

由于{u_n}在H₀¹(Ω)中弱收敛于u₀，有

因为

所以u_n在H₀¹(Ω)中强收敛于u₀.

引理 2^[12]  设X是Banach空间. J∈C¹(X，R)有下界，且满足(PS)条件，则J能达到最小值.

定理 1  的证明

(i) 当f(x)≥0且不恒为0，g(x)变号时，首先由(2)式，对任意的u∈H₀¹(Ω)，有

因为

所以J_λ在H₀¹(Ω)上强制且有下界.在H₀¹(Ω)中取一点u₁，使得

那么

由f(x)≥0，从而存在

使得当λ>λ_*时，有

根据引理1、引理2，以及泛函J_λ在H₀¹(Ω)中是强制的，则泛函J_λ存在临界点u_* ∈H₀¹(Ω)，使得

从而u_*是方程(1)的非平凡解.

下面证明方程(1)的第二个非平凡解的存在性.根据(2)式，我们有

由于2 < q < 4，则存在α>0，ρ>0且ρ < ‖u_*‖，当‖u‖=ρ时，J_λ(u)>α>0.由山路定理，存在序列{u_n}∈H₀¹(Ω)满足

其中

由引理1知泛函J_λ存在第二个临界点u_**，且u_**≠u_*，即u_**是方程(1)的另一个非平凡解.

(ii) 当f(x)≥0且不恒为0，g(x)≤0时，结论的证明与f(x)≥0且不恒为0，g(x)变号时的证明类似，这里就不加证明了.

(iii) 当f(x)≤0，g(x)变号时，由(5)式，有

因为

当t足够大时，J_λ(tφ₁) < 0.

由(2)式和f(x)≤0，则

所以，存在α₁>0，ρ₁>0且ρ₁ < ‖tφ₁‖，当‖u‖=ρ₁时，

由山路定理，存在J_λ的(PS)序列{u′_n}∈H₀¹(Ω)，满足

下面证明序列{u′_n}是有界的.由J_λ(u′_n)c^**，有

所以，(PS)序列{u′_n}是有界的.根据引理1，存在收敛的子序列(仍表示为{u′_n})，和u_***∈H₀¹(Ω)，使得u′_n在H₀¹(Ω)中强收敛于u_***.因此

u_***是方程(1)的非平凡解.