令$ {\varphi _e}\left( n \right)$为广义Euler函数，它的值等于序列1，2，3，…，$ \left[ {\frac{n}{{\rm{e}}}} \right]$中与n互素的数的个数.关于函数$ {\varphi _e}\left( n \right)$有不少的研究成果(如文献[1-3]).令S(n)为Smarandache函数，它的值定义为

其中${{\mathbb{Z}}_{+}} $为正整数集合.关于函数S(n)有不少的研究内容(如文献[4-5]).令SL(n)为Smarandache LCM函数，它是由函数S(n)所派生出来的，它的值定义为$ S L(n)=\min \left\{k \in \mathbb{Z}_{+}: n |[1, 2, \cdots, k]\right\}$.对函数SL(n)同样也有着不少研究内容(如文献[6-7]).近些年来，对有关广义Euler函数φ₂(n)、Smarandache函数S(n)与Smarandache LCM函数SL(n)三者混合的数论函数方程

的可解性问题有着不少的研究成果.文献[8]讨论了方程(1)中当k=1时方程的可解性；文献[9]讨论了方程(1)中当k=2时方程的可解性；文献[10]讨论了方程(1)中当k=3，4时方程的可解性；文献[11]讨论了方程(1)中当k=5，6时方程的可解性；文献[12]讨论了方程(1)中当k=9，10时方程的可解性；文献[13]讨论了方程(1)中当k=11，12时方程的可解性.本文将讨论方程(1)中当k=15，17时方程的可解性，利用初等的方法确定其正整数解的情况.

引理1 ^[14]   当n≥ 3时，有φ₂(n)=2^-1φ(n).

引理2 ^[15]   如果$ n = q_1^{{\beta _1}}q_2^{{\beta _2}} \cdots q_k^{{\beta _k}}$是正整数n的标准分解式，则

引理3 ^[16]   对于素数p和正整数k，有S(p^k) ≤kp；特别地，当k＜p时，有S(p^k)=kp.

引理4 ^[17]   当n＞2时，必有2|φ(n).

定理1   数论函数方程

有正整数解n=280，352，448，576，625，1 250，3 721，7 742.

证   显然n=1，2不是方程(2)的正整数解.此时可设$n = q_1^{{\beta _1}}q_2^{{\beta _2}} \cdots q_k^{{\beta _k}} \ge 3 $是正整数n的标准分解式，由引理2有

其中q是n的素因子，且β是q在n的标准分解式中的指数.根据引理1有

其中n=q^βm，且(q，m)=1.再由方程(2)有

由引理3，有

即

情况1   当β=1时，(4)式为(q-1)φ(m)=2S(q¹⁵).若q=2，则有φ(m)=2S(2¹⁵)=2×16=32，因此m=51，64，68，80，96，102，120.由于(q，m)=1，则m=51，则n=2m=102，但这n值均不满足(3)式，则此时方程(2)无解.若q=3，则有2φ(m)=2S(3¹⁵)=2×33，则φ(m)=33，由引理4可知此时方程(2)无解.经计算可得，当q=5，7，11，13时有φ(m) $ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.若q≥17，则有(q-1)φ(m)=30q，则(q-1)|30，由于q为素数，从而q=31，则φ(m)=31，由引理4可知此时方程(2)无解.

情况2   当β=2时，(4)式为q(q-1)φ(m)=2S(q³⁰).若q=2，则有2φ(m)=2S(2³⁰)=2×32，因此φ(m)=32，有m=51，64，68，80，96，102，120.由于(q，m)=1，则m=51，则n=2²×m=102，此时n值均不满足(3)式，则此时方程(2)无解.若q=3，则有6φ(m)=2S(3³⁰)=2×63，因此φ(m)=21，由引理4可知此时方程(2)无解.经计算可得，当q=5，11，13，17，19，23，29时有φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.而当q=7时，有42φ(m)=2S(7³⁰)=2×189，因此φ(m)=9，由引理4可知此时方程(2)无解.若q≥31，则有60q=2S(q³⁰)=q(q-1)φ(m)，即有60=(q-1)φ(m)，再由于q为素数，从而q=61，则φ(m)=1，则m=1，2，则n=61²×m=3 721，7 742，这些n值均满足(3)式，则此时方程(2)有整数解n=3 721，7 742.

情况3   当β=3时，(4)式为q²(q-1)φ(m)=2S(q⁴⁵)，且(5)式为90≥q(q-1)，从而q=2，3，5，7.若q=2，则有4φ(m)=2S(2⁴⁵)=2×48，因此φ(m)=24，则m=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90.由于(q，m)=1，则m=35，39，45，因此n=2³×m=280，312，360，此时n值n=280满足(3)式，则此时方程(2)有正整数解n=280.经计算可得，当q=3，5，7时有φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.

情况4  当β=4时，(4)式为q³(q-1)φ(m)=2S(q⁶⁰)，且(5)式为120≥q²(q-1)，从而q=2，3，5.若q=2，则有8φ(m)=2S(2⁶⁰)=2×64，因此φ(m)=16，则m=17，32，34，40，48，60.由于(q，m)=1，则m=17，因此n=2⁴×17=272，此时n值不满足(3)式，则此时方程(2)无解.若q=3，则有54φ(m)=2S(3⁶⁰)=2×126，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.若q=5，则有500φ(m)=2S(5⁶⁰)=2×250，因此φ(m)=1，则m=1，2，则n=625，1 250，但这些n值均满足(3)式，则此时方程(2)有正整数解n=625，1 250.

情况5   当β=5时，(4)式为q⁴(q-1)φ(m)=2S(q⁷⁵)，且(5)式为150≥q³(q-1)，从而q=2，3.若q=2，则有16φ(m)=2S(2⁷⁵)=2×80，因此φ(m)=10，则m=11，22，由于(q，m)=1，则m=11，则n=2⁵×11=352，此时n值满足(3)式，则此时方程(2)有正整数解n=352.若q=3，则有162φ(m)=2S(3⁷⁵)=2×156，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.

情况6   当β=6时，(4)式为q⁵(q-1)φ(m)=2S(q⁹⁰)，且(5)式为180≥q⁴(q-1)，从而q=2，3.若q=2，则有32φ(m)=2S(2⁹⁰)=2×96，因此φ(m)=6，则m=7，9，14，18.由于(q，m)=1，则m=7，9，因此n=448，576，此时n值满足(3)式，则此时方程(2)有正整数解n=448，576.若q=3，则有486φ(m)=2S(3⁹⁰)=2×186，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.

情况7  当β=7时，(4)式为q⁶(q-1)φ(m)=2S(q¹⁰⁵)，且(5)式为210≥q⁵(q-1)，从而q=2，则有64φ(m)=2S(2¹⁰⁵)=2×110，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.

情况8   当β=8时，(4)式为q⁷(q-1)φ(m)=2S(q¹²⁰)，且(5)式为240≥q⁶(q-1)，从而q=2，则有128φ(m)=2S(2¹²⁰)=2×126，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.

情况9   当β=9时，(4)式为q⁸(q-1)φ(m)=2S(q¹³⁵)，且(5)式为270≥q⁷(q-1)，从而q=2，则有256φ(m)=2S(2¹³⁵)=2×138，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.

情况10   当β=10时，(4)式为q⁹(q-1)φ(m)=2S(q¹⁵⁰)，且(5)式为300≥q⁸(q-1)，从而q=2，则有512φ(m)=2S(2¹⁵⁰)=2×154，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(2)无解.

情况11   当β≥11时，有2^β-2＞30β，则30qβ≥q^β-1(q-1)不成立，则此时方程(2)无解.

结合以上推理可得，数论函数方程(2)只有正整数解n=280，352，448，576，625，1 250，3 721，7 742.定理1证毕.

定理2   数论函数方程

有正整数解n=315，351，504，539，630，702，756，1 078.

证   显然n=1，2不是方程(6)的正整数解.此时可设$ n = q_1^{{\beta _1}}q_2^{{\beta _2}} \cdots q_k^{{\beta _k}} \ge 3$是正整数n的标准分解式，由引理2有

其中q是n的素因子，且β是q在n的标准分解式中的指数.根据引理1有

其中n=q^βm，且(q，m)=1.再由方程(6)有

由引理3，有

即

情况1   当β=1时，(8)式为(q-1)φ(m)=2S(q¹⁷).若q=2，则有φ(m)=2S(2¹⁷)=2×20=40，因此m=41，55，75，82，88，100，110，132，150.由于(q，m)=1，则m=41，55，75，则n=2m=82，110，150，但这些n值均不满足(7)式，则此时方程(6)无解.若q=3，则有2φ(m)=2S(3¹⁷)=2×36，因此φ(m)=36，则m=37，57，63，74，76，108，114，126.由于(q，m)=1，则m=37，74，76，因此n=3m=111，222，228，但这些n值均不满足(7)式，则此时方程(6)无解.经计算可得，当q=5，7，11，13，17时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.若q≥19，则有(q-1)φ(m)=34q，则有(q-1)|34，再由于q为素数，则此时方程(6)无解.

情况2   当β=2时，(8)式为q(q-1)φ(m)=2S(q³⁴).若q=2，则有2φ(m)=2S(2³⁴)=2×36，因此φ(m)=36，则m=37，57，63，74，76，108，114，126.由于(q，m)=1，则m=37，57，63，因此n=2²×m=148，228，252.但这些n值均不满足(7)式，则此时方程(6)无解.若q=3，则有6φ(m)=2S(3³⁴)=2×72，因此φ(m)=24，则m=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90.由于(q，m)=1，则m=35，52，56，70，则n=3²×m=315，468，504，630，这些n值中n=315，504，630满足(7)式，则此时方程(6)有正整数解n=315，504，630.若q=5，则有20φ(m)=2S(5³⁴)=2×140，则φ(m)=14，而14为非Euler商数，则此时方程(6)无解.若q=7，则有42φ(m)=2S(7³⁴)=2×210，则φ(m)=10，则m=11，22，进而n=7²×m=539，1 078，这些n值均满足(7)式，则此时方程(6)有正整数解n=539，1 078.经计算可得，当q=11，13，17，19，29，31时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.而当q=23时，有506φ(m)=2S(23³⁴)=2×759，则φ(m)=3，由引理4可知此时方程(6)无解.若q≥37，则有68q=2S(q³⁴)=q(q-1)φ(m)，即有68=(q-1)φ(m)，再由于q为素数，则此时方程(6)无解.

情况3   当β=3时，(8)式为q²(q-1)φ(m)=2S(q⁵¹)，且(9)式为102≥q(q-1)，从此q=2，3，5，7.若q=2，则有4φ(m)=2S(2⁵¹)=2×56，则φ(m)=28，则m=29，58.由于(q，m)=1，则m=29，则n=2³×29=232，此时n值不满足(7)式，则此时方程(6)无解.若q=3，则有18φ(m)=2S(3⁵¹)=2×108，则φ(m)=12，则m=13，21，26，28，36，42.由于(q，m)=1，则m=13，26，28，则n=3³×13=351，n=3³×26=702，n=3³×28=756，这些n值均满足(7)式，则此时方程(6)有整数解n=351，702，756.经计算可得，当q=5，7时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况4   当β=4时，(8)式为q³(q-1)φ(m)=2S(q⁶⁸)，且(9)式为136≥q²(q-1)，从而q=2，3，5.若q=2，则有8φ(m)=2S(2⁶⁸)=2×72，则φ(m)=18，则m=19，27，38，54.由于(q，m)=1，则m=19，27，因此n=2⁴×19=304，n=2⁴×3³=432，但这些n值均不满足(7)式，则此时方程(6)无解.经计算可得，当q=3，5时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况5   当β=5时，(8)式为q⁴(q-1)φ(m)=2S(q⁸⁵)，且(9)式为170≥q³(q-1)，从而q=2，3.若q=2，则有16φ(m)=2S(2⁸⁵)=2×88，则φ(m)=11，由引理4可知此时方程(6)无解.若q=3，则有162φ(m)=2S(3⁸⁵)=2×174，得φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况6   当β=6时，(8)式为q⁵(q-1)φ(m)=2S(q¹⁰²)，且(9)式为204≥q⁴(q-1)，从而q=2，3.经计算可得，当q=2，3时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况7   当β=7时，(8)式为q⁶(q-1)φ(m)=2S(q¹¹⁹)，且(9)式为238≥q⁵(q-1)，从而q=2，则有64φ(m)=2S(2¹¹⁹)=2×124，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况8   当β=8时，(8)式为q⁷(q-1)φ(m)=2S(q¹³⁶)，且(9)式为272≥q⁶(q-1)，从而q=2，则有128φ(m)=2S(2¹³⁶)=2×140，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况9   当β=9时，(8)式为q⁸(q-1)φ(m)=2S(q¹⁵³)，且(9)式为306≥q⁷(q-1)，从而q=2，则有256φ(m)=2S(2¹⁵³)=2×158，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况10   当β=10时，(8)式为q⁹(q-1)φ(m)=2S(q¹⁷⁰)，且(9)式为340≥q⁸(q-1)，从而q=2，则有512φ(m)=2S(2¹⁷⁰)=2×176，此时φ(m)$ \notin $ $ {{\mathbb{Z}}_{+}}$，则此时方程(6)无解.

情况11   当β≥11时，有2^β-2＞34β，则34qβ≥q^β-1(q-1)不可能成立，则此时方程(6)无解.

结合以上推理可得，数论函数方程(6)只有正整数解n=315，351，504，539，630，702，756，1 078.定理2证毕.