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过去几十年，泛函微分方程被广泛应用于生物数学中.各种时滞数学模型被用于研究人口动力学问题，其中应用最为广泛的是Lotka-Volterra竞争模型[1-6]，文献[5-6]分别研究了一类Lotka-Volterra竞争系统(1)的持久性、全局渐近稳定性和周期解.
另外，当生物种群没有代级重叠时，利用差分方程比微分方程更合适去描述种群间的内部联系，而且离散时间模型能够为连续时间模型提供有效的数值模型.一些学者已对离散生物竞争系统进行研究，并得到了很多优秀的结论[7-9].文献[7]研究了如下离散型Lotka-Volterra食饵-捕食者系统
周期解的存在性和稳定性问题.
随着经济社会的快速发展，种群定期收获已被广泛应用于渔业、林业和野生动物管理中，故在生物竞争系统中增加收获项，更能客观准确地反映生物种群的内部规律.然而，收获项会影响生物竞争系统的多个周期解规则和周期解的稳定性等[4, 8, 10].
目前很少有学者研究带有收获项的离散型时滞Lotka-Volterra食饵-捕食者系统.本文主要利用叠合度中的Mawhin连续定理分析如下带有收获项的离散型时滞Lotka-Volterra食饵-捕食者系统
的多解性问题，其中：ri(k)，aij(k)，lij(k)，hi(k)：
$\mathbb{Z} \to {\mathbb{R}^ + }$ 都是ω-周期函数，hi(k)表示收获速率；xi(k)表示第i个种群k代的种群密度，初始条件xi(-lij(k))≥0，k=0，1，…，ω-1，xi(0)＞0，i，j=1，2，3；$\mathbb{Z}$ 表示整数集，$\mathbb{Z}^ + $ 表示非负整数集，$\mathbb{R}$ 表示实数集，$\mathbb{R}^ + $ 表示非负实数集.
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为了后续证明方便，定义：lω={0，1，…，ω-1}，
$\overline f = \frac{1}{\omega }\sum\limits_{k = 0}^{\omega - 1} {f(k)} $ ，f(k)是一个定义在$\mathbb{Z}$ 上的ω-周期实值序列；l3={x={x(k)}：x(k)∈$\mathbb{R}^3$ ，k∈$\mathbb{Z}^+ $ }；lω⊂l3表示所有ω-周期序列的子空间，范数定义为$\left\| \mathit{\boldsymbol{x}} \right\| = \mathop {\rm \max }\limits_{k \in {I_\omega }} \left| {\mathit{\boldsymbol{x}}(k)} \right|$ ，其中，x(k)=x1(k)，x2(k)，x3(k)T∈lω，k∈$\mathbb{Z}$ .容易验证，lω是一个有限维数的Banach空间.令
分析可知，
$l_0^\omega $ 和$l_c^\omega $ 都是lω=$l_0^\omega \oplus l_c^\omega $ 的线性闭子空间，且dim$l_c^\omega $ =3.引理1[11] L是一个零指标的Fredholm算子，算子N在Ω上是L压缩的.
(a) 对于任意λ∈(0，1)，x是Lx=λNx的任意解，满足x∉∂Ω∩DomL；
(b) 对于任意x∈∂Ω∩KerL，满足QNx≠0；
(c) deg{JQN，Ω∩KerL，0}≠0.
则算子方程Lx=Nx在DomL∩Ω中至少存在一个解.
引理2[12] 若g：
$\mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ 是一个ω-周期函数，即g(k+ω)=g(k).对于任意k∈$\mathbb{Z}$ ，任意固定值k1，k2∈Iω，有或
引理3 对于任意u∈
$\mathbb{R}$ ，满足r1-a11eu-h1e-u=0，则其中：
证 该引理的证明过程和参考文献[4]的引理2类似，故在此不再重复.
为了应用引理1分析离散型Lotka-Volterra食饵-捕食者系统的多解性，需作如下假设：
其中：
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定理1 若条件(H1)-(H3)成立，则系统(3)至少存在8个ω-正周期解.
证 利用指数变换：xi(k)=exp(ui(k))(i=1，2，3)，重新改写系统(3)为：
显然，如果ui(k)(i=1，2，3)是系统(4)的解，则xi(k)=exp(ui(k))(i=1，2，3)一定是系统(3)的解.
设X=Y=lω.令算子L：X→X为(Lu)(k)=u(k+1)-u(k)，算子N：X→X为
$(N(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ))(k) = \left( \begin{array}{l}{f_1}(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ,k)\\{f_2}(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ,k)\\{f_3}(\mathit{\boldsymbol{u}},\lambda ,k)\end{array} \right),\forall \lambda \in (0,1),\forall k \in \mathbb{Z}$ ，其中显然，L是一个有界线性算子，KerL=
$l_c^\omega $ ，ImL=$l_0^\omega $ ，dimKerL=2=codimImL，因此，L是一个零指标的Fredholm算子.接下来定义：
不难验证P，Q都是连续算子，且
L的逆算子KP：
因此，
为了找到满足引理1的集合Ωi(i=1，2，…，8)，考虑方程：Lu=λN(u，λ)，即
接下来，将(5)式左右两边关于k从0到ω-1累加，可得
由等式(5)-(6)，可得
和
由等式(6)的第一个式子，可知
${u_1}({\xi _1}) < {\rm ln}\left( {\frac{{{{\overline r }_1}}}{{\overline {{a_{11}}} }}} \right)$ ，进一步由引理2可知：对于任意k∈$\mathbb{Z}$ ，有同理，由等式(6)的第一个式子，可得
${u_1}({\eta _1}) > {\rm ln}\left( {\frac{{{{\overline h }_1}}}{{\overline {{r_1}} }}} \right)$ ，结合引理2可知：对于任意k∈$\mathbb{Z}$ ，有因此，对于任意k∈
$\mathbb{Z}$ ，有由等式(8)和(10)，可得
由等式(6)的第二个式子，可得
即
结合引理2有
进一步分析等式(6)的第二个式子可得
即
从而对于任意k∈
$\mathbb{Z}$ ，有通过以上分析可知：∀k∈
$\mathbb{Z}$ ，有由等式(9)和(12)可得
接下来分析等式(6)的第三个式子，有
即
结合引理2，对于任意k∈
$\mathbb{Z}$ ，可得同理，进一步分析等式(6)的第三个式子可得
即
结合引理2，对于任意k∈
$\mathbb{Z}$ ，可得通过以上分析可知，对于对于任意k∈
$\mathbb{Z}$ ，有由等式(6)的第一个式子可得
由引理2，可知
因此
从而
进一步由不等式(16)可得
或
当
时，对任意t∈
$\mathbb{Z}$ 时，有由条件(H1)不难证明
$H_1^ - <L_1^ - <L_1^ + <H_1^ + $ .接下来由等式(6)的第二个式子可得
进一步结合等式(17)和引理2可得
即
由式(18)可得
或
当
时，对于任意t∈
$\mathbb{Z}$ ，有由条件(H2)容易验证：
同理，分析等式(6)的第三个式子，可得
再结合引理2，得
即
进一步分析不等式(19)得
或
当
时，由引理2可得
由条件(H3)不难验证：
现构造8个不同的集合Ωi(i=1，2，…，8)：
通过以上的分析过程不难验证Ωi∩Ωj=ϕ(i≠j，i，j=1，2，…，8)，且Ωi(i=1，2，…，8)是空间X的有界开集，显然，集合Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的条件(a).
接下来验证引理1的条件(b)是成立的.利用反证法，假设当u∈∂Ωi∩KerL=∂Ωi∩
$\mathbb{R}^3$ (i=1，2，…，8)时，有QN(u，0)=(0，0)T成立，即对于常向量u=(u1，u2，u3)T∈∂Ωi(i=1，2，…，8)，满足下面的代数方程：由式(20)的第一个式子可得
由引理3可知：
因此u∉∂Ωi(i=1，2，…，8)，这与u∈∂Ωi(i=1，2，…，8)矛盾.所以，引理1的条件(b)成立.
最后，验证引理1的条件(c)是成立的.由方程组(20)可得其不同的8个解：
其中：
由引理3，容易验证：
由于KerL=ImQ，令J=I，由Leray-Schauder度的定义直接计算，可得
因此，引理1的条件(c)成立.由以上的分析可知，集合Ωi(i=1，2，…，8)满足引理1的所有条件.由引理1可知，系统(4)至少存在8个不同的ω-正周期解，即系统(3)至少存在8个不同的ω-正周期解.证毕.
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