本节给出张量子直和及相关概念的定义.

定义1^[17]  设张量A=(a_i1i2…im)∈R^[m，n]，且满足

则称A为对角占优张量.

若对每个i∈[n]，有

则称A为严格对角占优张量，简记为SDD张量.

定义2  设张量A=(a_i1…im)∈R^[m，n]，n≥2，S是[n]的一个真子集，张量A满足以下两个条件：

(a) |a_i…i|≥(>)r_i^ΔS(A)，∀i∈S；

(b) (|a_i…i|－r_i^ΔS(A))(|a_j…j|－r_j^ΔS(A))≥(>)r_i^ΔS(A)r_j^ΔS(A)，∀i∈S，∀j∈S.

则称张量A为S-对角占优型张量(S-严格对角占优型张量)，简记为S-SDD₀-型张量(S-SDD-型张量).

定义3  设张量A=(a_i1i2i3)∈R^[3，m]，B=(b_i1i2i3)∈R^[3，n]，1≤k≤min{m，n}，称张量

为张量A与张量B的k-阶子直和，记为A$ \oplus $_kB，其中

例1  设张量A=[A(1，：，：)，A(2，：，：)，A(3，：，：)]，B=[B(1，：，：)，B(2，：，：)，B(3，：，：)]∈R^{[3, 3]}，其中

则张量A与张量B的2-阶子直和为

其中

本节我们讨论(严格)对角占优张量(S-(严格)对角占优型张量)的子直和仍然为(严格)对角占优张量(S-(严格)对角占优型张量)的条件.

定理1  设张量A=(a_i1i2i3)∈R^[3，m]，B=(b_i1i2i3)∈R^[3，n]均为对角占优张量，1≤k≤min{m，n}，且a_iiib_jjj>0，∀i∈S₂，∀j∈[k]，则张量A与张量B的k-阶子直和C=A$ \oplus $_kB也是对角占优张量.

证 当i₁∈S₁时，

故有

当i₁∈S₂时，

故有

当i₁∈S₃时，

故有

综合以上3种情形可知，结论成立.

例2  设张量A=[A(1，：，：)，A(2，：，：)，A(3，：，：)]，B=[B(1，：，：)，B(2，：，：)，B(3，：，：)]，其中

易知张量A，B均为对角占优张量，而张量A与张量B的2-阶子直和为

其中

计算知

故张量C为对角占优张量.

类似定理1的证明可得如下结论：

定理2 看设张量A=(a_i1i2i3)∈R^[3，m]，B=(b_i1i2i3)∈R^[3，n]均为严格对角占优张量，1≤k≤min{m，n}，且a_iiib_jjj>0，∀i∈S₂，∀j∈[k]，则张量A与张量B的k-阶子直和也是严格对角占优张量.

下面讨论S-SDD-型张量的子直和.先看一个例子.

例3  设张量A=(a_i1i2i3)∈R^{[3, 4]}，其中

取S={1，2}，由于

即A为{1，2}-SDD-型张量.但是对于张量C=A$ \oplus $₂A，其中

当i=1，j=5时，有

即张量C不是{1，2}-SDD-型张量.

例3表明，S-SDD-型张量的子直和不一定是S-SDD-型张量.因此，寻找S-SDD-型张量的子直和仍然为S-SDD-型张量的条件是有意义的.

定理3  设张量A=(a_i1i2i3)∈R^[3，m]为S-SDD-型张量，S为S₁的子集，B=(b_i1i2i3)∈R^[3，n]为SDD张量，1≤k≤min{m，n}，a_iii>0，∀i∈S₂，b_jjj>0，j∈[k]，则张量A与张量B的k-阶子直和C=A$ \oplus $_kB也是S-SDD-型张量.

证  先证明S=S₁时的情形.

要证明C是S-SDD-型张量，需证明：

(i) |c_iii|>r_i^ΔS(C)，∀i∈S；

(ii) (|c_iii|－r_i^ΔS(C))(|c_jjj|－r_j^ΔS(C))>r_i^ΔS(C)r_j^ΔS(C)，∀i∈S，∀j∈S.

此时，由于S=S₁，则S=S₂∪S₃.下面逐一证明这两个条件成立.

(i) 由张量A为S-SDD-型张量知|a_iii|>r_i^ΔS(A)，∀i∈S₁，从而有

(ii) 当j∈S₂时，由i∈S=S₁，有

由张量A为S-SDD-型张量得

又因B为SDD张量，故|b_iii|>r_i(B)，∀i∈[n].从而有

当j∈S₃时，由i∈S=S₁知r_j^ΔS(C)=0，r_j^ΔS(C)=r_j－t^ΔS(B)，故

综上所述，可知结论成立.

当|S| < |S₁|时，可类似证明结论成立.

例4  取例3中的S-SDD-型张量A，例2中的SDD张量B，S={1，2}，则C=A$ \oplus $₂B=[C(1，：，：)，C(2，：，：)，C(3，：，：)，C(4，：，：)，C(5，：，：)]，其中

由于

所以，张量C为S-SDD-型张量.