本文研究带有Φ-Laplace算子的差分方程

的非振荡解的存在性问题，其中{a_n}和{b_n}是正实数序列，n≥1，γ>0，Δ表示向前差分算子，即Δx_n=x_n+1－x_n.一个实数序列x={x_n}满足方程(1)，则称x是方程(1)的解.显然，全零序列是方程(1)的解.若存在N，使得对每个n>N，有x_n+1x_n>0，则称x是非振荡的.

方程(1)对应某类椭圆方程的离散形式^[1-3]，建模于物理和化学的反应扩散问题^[4-5].很多学者对方程(1)展开了研究^[6-16]，文献[3, 5, 9-10]研究了

的情形下，{a_n}和{b_n}满足以下4种条件：

时方程(1)非振荡解的存在性.

文献[7]研究了如下情形下，{a_n}和{b_n}满足条件(C₁)时方程(1)非振荡解的存在性:

(H₁) $\mathit{\Phi}: \mathbb{R} \longrightarrow(-\sigma, \sigma) $是单调递增的奇同胚映射，其中0 < σ < ∞，满足u≠0时，Φ(u)u>0，且

受上述工作的启发，本文取消对Φ的有界性要求，研究：

(H₂) $ \mathit{\Phi}: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$是单调递增的奇同胚映射，u≠0时，有Φ(u)u>0，且满足(2)式.的情形下，{a_n}和{b_n}满足条件(C₂)时方程(1)的非振荡解.本文给出了方程(1)的非振荡解是最终严格单调的，并依据非振荡解的极限行为将其分为4类，证明了方程(1)的4类非振荡解存在.

显然，若x={x_n}是方程(1)的解，则－x也是方程(1)的解.因此，不失一般性，本文只考虑方程(1)最终正的非振荡解.记：

记x_n^[1]=a_nΦ(Δx_n)，另记：

定理1   若条件(H₂)和(C₂)成立，则方程(1)的非振荡解属于M_c，d⁺(或M_c，0⁺，或M_c，d^－，或M_0，d^－).

证  任取方程(1)的非振荡解x={x_n}，不妨设n≥n₀时x_n>0.则根据方程(1)，有

因此n≥n₀时{x_n^[1]}严格单调递减，则有以下两种情形：

情形1   对任意的n≥n₀，都有x_n^[1]>0.则根据条件(H₂)知，对每个n≥n₀有Δx_n>0，即当n≥n₀时，{x_n}严格单调递增.又由n≥n₀时x_n>0，可知

据条件(H₂)和(2)式知$\lim \limits_{u \rightarrow 0} \frac{\mathit{\Phi}^{-1}(u)}{u}=\frac{1}{c} $，即存在δ>0以及h₁，h₂，满足h₂>h₁>0，使得

由条件(C₂)的第一个式子可知

则对给定的δ，存在充分大的N，使得对任意的n≥N≥n₀，有$0 <\frac{x_{n_{0}}^{[1]}}{a_{n}} <\delta $.由(5)式得

因n≥n₀时，{x_n^[1]}严格单调递减，那么x_n^[1]≤x^[1]_n0(n≥n₀).根据条件(H₂)可得$ \Delta x_{n} \leqslant \mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{x_{n}^{[1]}}{a_{n}}\right)$对每个n≥n₀成立.通过(7)式可推得$ x_{n+1} \leqslant x_{N}+h_{2} x_{n_{0}}^{[1]} \sum\limits_{k=N}^{n} \frac{1}{a_{k}}(n \geqslant N)$.由条件(C₂)知c_x≠∞.根据n≥n₀时{x_n^[1]}的严格单调递减性以及x_n^[1]>0推出$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{[1]}=d_{x}, d_{x} \in[0, \infty) $.因此通过(4)式和c_x≠∞知，d_x=0时x∈M_c，0⁺，d_x∈(0，∞)时x∈M_c，d⁺.

情形2  若存在N≥n₀，使得x_N^[1] < 0，则由n≥n₀时{x_n^[1]}严格单调递减知x_n^[1] < 0(n≥N).由条件(H₂)知，对每个n≥N有Δx_n < 0，即n≥N时，{x_n}严格单调递减.又因x_n>0，所以

根据(3)式和n≥N时{x_n}的严格单调递减性得，$ x_{n}^{[1]}=x_{N}^{[1]}+\sum\limits_{k=N}^{n-1} \Delta x_{k}^{[1]} \geqslant x_{N}^{[1]}-x_{N}^{\gamma} \sum\limits_{k=N}^{n-1} b_{k}$对每个n>N成立.则由条件(C₂)和n≥N时{x_n^[1]}严格单调递减且x_n^[1] < 0可知$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{[1]}=-d_{x}, d_{x} \in(0, \infty) $.因此通过(8)式知，c_x=0时x∈M_0，d^－，c_x∈(0，∞)时x∈M_c，d^－.定理1得证.

接下来本文研究M_c，d⁺，M_c，0⁺，M_c，d^－和M_0，d^－中满足方程(1)的解的存在性.考虑l^∞为所有定义在正整数集上的有界序列构成的集，在其上定义范数

l^∞按照‖·‖是Banach空间.

引理1 ^[6]   令{α_i，k}是关于正整数i，k的实数序列，且对每个正整数i，k，有α_i，k≥0.若存在序列{β_k}，使得对每个正整数i，满足α_i，k≤β_k，且$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \beta_{k} <\infty $.另外对每个正整数k，$ \lim \limits_{i \rightarrow \infty} \alpha_{i, k}$存在.则

定理2   若条件(H₂)和(C₂)成立，则M_c，d^－≠ $ \varnothing $.

证  由条件(C₂)和(6)式，对给定的δ，可取充分大的n₀，使得对每个n≥n₀，有

且有

定义

显然Ω是l^∞上的闭凸子集.任取u={u_n}∈Ω，对每个j≥n₀，有0 < u_j+1^γ≤1.则由(10)式，有

因此$ 0 <\frac{1}{a_{k}}\left(1-\sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma}\right) <\frac{1}{a_{k}}\left(k \geqslant n_{0}\right)$.则据条件(H₂)有

又因(5)式和(9)式，则对每个k≥n₀成立有$\mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}}\right) \leqslant \frac{h_{2}}{a_{k}} $.那么

于是根据(10)式和(12)式知，对任意的n≥n₀有

由此可定义Ω上的算子T:Ω$ \to $l^∞，即Tu=w，其中u={u_n}∈Ω，w={w_n}∈l^∞，满足

通过(13)式和(14)式可知

即w∈Ω.下证T连续.考虑Ω中的柯西列{u⁽ⁱ⁾}(i≥1).由l^∞完备知$ \lim \limits_{i \rightarrow \infty} u^{(i)}$存在，记

其中u⁽ⁱ⁾={u_n⁽ⁱ⁾}，u={u_n}.因Ω是l^∞上的闭集，则u∈Ω.记w⁽ⁱ⁾=Tu⁽ⁱ⁾，w=Tu，其中i≥1，w⁽ⁱ⁾={w_n⁽ⁱ⁾}，w={w_n}.由(14)式可得

其中

对每个j≥n₀，b_j有界，那么由(16)式可知

另外，对每个j≥n₀，i≥1，满足$0 <b_{j}\left(u_{j+1}^{(i)}\right)^{\gamma} \leqslant b_{j} $.因此据条件(C₂)知，$0 <\sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} \leqslant \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} <\infty $对任意的k≥n₀成立.则通过(19)式和引理1有

由条件(H₂)知Φ^－1连续，因此据(18)式和(20)式可得

由(18)式有

进而对每个i≥1，由u⁽ⁱ⁾∈Ω知，对每个k≥n₀有$ 0 <\mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}}\left(1-\sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j}\left(u_{j+1}^{(i)}\right)^{\gamma}\right)\right) <\frac{h_{2}}{a_{k}}$.由此据(12)式和(22)式可知，对每个i≥1，k≥n₀，满足$0 <\alpha_{i, k} \leqslant \frac{2 h_{z}}{a_{k}} $.由条件(C₂)又有$0 <\sum\limits_{k=n_{0}}^{\infty} \frac{2 h_{2}}{a_{k}} <\infty $.则由(21)式和引理1得$ \lim \limits_{i \rightarrow \infty} \sum\limits_{k=n_{0}}^{\infty} \alpha_{i, k}=\sum\limits_{k=n_{0}}^{\infty} \lim \limits_{i \rightarrow \infty} \alpha_{i, k}=0$.据(17)式知$\lim \limits_{i \rightarrow \infty}\left\|T u^{(i)}-T u\right\|=0 $，即T连续.

下证TΩ相对紧.任取w={w_n}∈TΩ，不失一般性，令w=Tu，u={u_n}∈Ω，由(12)式和(14)式，对每个n₂>n₁>n₀，有

则通过条件(C₂)、(23)式和柯西收敛准则，对任意的ε>0，存在充分大的N≥n₀，使得对任意的n₂>n₁>N，有|w_n2－w_n1| < ε对任意的w={w_n}∈TΩ成立.由文献[6]的定义3.6.2可知TΩ是一致柯西的.根据(14)式和(15)式知TΩ一致有界，又由文献[6]的定理3.6.3知TΩ相对紧.由Schauder不动点定理，Ω中存在u={u_n}满足

令

对n=n₀－1，n₀－2，…，1，依次定义

易证x={x_n}满足方程(1).事实上，1≤n < n₀时，{x_n}显然满足方程(1). n≥n₀时，根据(24)，(25)式可知，$ \Delta x_{n}=-\mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}}\left(1-\sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma}\right)\right)$.则通过条件(H₂)得到

因而有

又由(25)式知，n≥n₀时x_n=u_n>0，据(28)式有{x_n}(n≥n₀)满足方程(1).通过(11)，(25)式和(27)式知n≥n₀时Δx_n < 0，那么x∈M^－.由条件(C₂)、(13)式和(24)式，有

根据条件(C₂)和(27)式可知$\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}^{[1]}=-1 $.因此由(29)式有x∈M_c，d^－.

定理3   若条件(H₂)和条件(C₂)成立，则M_0，d^－≠ $ \varnothing $.

证   对给定的δ，可取充分大的n₀，使得对每个n≥n₀满足(9)式，且

定义

其中$ s_{n}=\sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac{1}{a_{k}}$.显然Ω是l^∞上的闭凸子集.任取u={u_n}∈Ω，由(30)式知，对每个j≥n₀，有0 < $ u_{j+1}^{\gamma} \leqslant \frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2 a_{k}} \leqslant \frac{1}{a_{k}}-\frac{1}{a_{k}} \sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma} <\frac{1}{a_{k}}\left(k \geqslant n_{0}\right) $.通过(5)式和(9)式可推得，对每个k≥n₀，有$ \mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}}\right) \leqslant \frac{h_{2}}{a_{k}}$且$\mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{2 a_{k}}\right) \geqslant \frac{h_{1}}{2 a_{k}} $.又据条件(H₂)知

于是对每个n≥n₀，有$0 <\sum\limits_{k=n}^{\infty} \mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}}\left(1-\sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma}\right)\right) \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{\gamma}} $.因此可定义Ω上的算子T:Ω$ \to $l^∞，即Tu=w，其中u={u_n}∈Ω，w={w_n}∈l^∞，满足

由(31)式可知w∈Ω.类似定理2的证明可证T连续，TΩ相对紧.由Schauder不动点定理，Ω中存在u={u_n}满足Tu=u.令x_n=u_n(n≥n₀).对n=n₀－1，n₀－2，…，1，依次定义(26)式，易验证x={x_n}∈M_0，d^－.

定理4   若条件(H₂)和(C₂)成立，则M_c，d⁺≠ $ \varnothing $.

证  对给定的δ，可取充分大的n₀，使得对每个n≥n₀，满足(9)式和(10)式.定义

显然Ω是l^∞上的闭凸子集.对每个$u=\left\{u_{n}\right\} \in \Omega, 0 <u_{j+1}^{\gamma} \leqslant 1\left(j \geqslant n_{0}\right) $.则由(10)式，对每个k≥n₀有$0 <\frac{1}{a_{k}}+\frac{1}{a_{k}} \sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma} <\frac{2}{a_{k}} $.通过条件(H₂)、(5)式和(9)式可得

根据(10)式可知，对任意的n≥n₀有$ 0 <\sum\limits_{k=n}^{\infty} \mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}}\left(1+\sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma}\right)\right) \leqslant \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac{2 h_{2}}{a_{k}} \leqslant \frac{1}{2}$.因此可定义Ω上的算子T:Ω$ \to $l^∞，即Tu=w，其中u={u_n}∈Ω，w={w_n}∈l^∞，满足

易见w∈Ω.类似定理2的证明可证T连续，TΩ相对紧.由Schauder不动点定理，Ω中存在u={u_n}满足Tu=u.令x_n=u_n(n≥n₀).对n=n₀－1，n₀－2，…，1，依次定义(26)式，易验证x={x_n}∈M_c，d⁺.

定理5   若条件(H₂)和(C₂)成立，则M_c，0⁺≠ $\varnothing $.

证   对给定的δ，可取充分大的n₀，使得对每个n≥n₀，满足(9)式和(10)式.考虑定理4中的集合Ω，对每个u={u_n}∈Ω，由(10)式推得$0 <\frac{1}{a_{k}} \sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma} \leqslant \frac{1}{a_{k}}\left(k \geqslant n_{0}\right) $.又据(5)式和(9)式，对每个k≥n₀有$\mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}}\right) \leqslant \frac{h_{2}}{a_{k}} $成立.则由条件(H₂)有$\mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}} \sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma}\right) \leqslant \frac{h_{2}}{a_{k}}\left(k \geqslant n_{0}\right) $.那么根据条件(C₂)和(10)式可知，对每个n≥n₀，满足$ 0 <\sum\limits_{k=n}^{\infty} \mathit{\Phi}^{-1}\left(\frac{1}{a_{k}} \sum\limits_{j=k}^{\infty} b_{j} u_{j+1}^{\gamma}\right) \leqslant \sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac{h_{2}}{a_{k}} \leqslant \frac{1}{4}$.因此可定义Ω上的算子T:Ω$ \to $l^∞，即Tu=w，其中u={u_n}∈Ω，w={w_n}∈l^∞，满足

易见w∈Ω.类似定理2的证明可证T连续，TΩ相对紧.由Schauder不动点定理，Ω中存在u={u_n}满足Tu=u.令x_n=u_n(n≥n₀).对n=n₀－1，n₀－2，…，1，依次定义(26)式，易验证x={x_n}∈M_c，0⁺.