设X是一个度量空间，E是一个Banach空间.定义

定义1   令M：X→P(E)是集值算子，

(a) 如果对E的任一闭子集V，都有M^-1(V)={x∈X：M(x)∩V≠Ø}是X的闭子集，则称M是上半连续的；

(b) 如果对E的任一弱闭子集V，都有M^-1(V)={x∈X：M(x)∩V≠Ø}是X的闭子集，则称M是弱上半连续的；

(c) 如果图Γ_M={(y，z)：z∈M(y)}是X×E的闭子集，则称M是闭的；

(d) 如果M是上半连续的且对X里的每个有界集Ω，M(Ω)是E里的相对紧集，则称M是完备上半连续的；

(e) 如果对X的任一紧子集Ω，M(Ω)是E里的相对紧集，则称M是拟紧的.

引理1^[3]   如果M：X→P(E)是一个闭的且拟紧的集值算子，则M是上半连续的.

引理2^[4]   设E是Banach空间，Ω是另外一个Banach空间的非空子集.如果N：Ω→P(E)是映射到弱紧凸集的集值算子，则N是弱上半连续的当且仅当条件{x_n}⊂Ω，x_n→x₀∈Ω和y_n∈N(x_n)能够推出y_n存在一个子序列弱收敛于y₀，其中y₀∈N(x₀).

引理3^[3]   设M是E的有界闭凸子集，T：M→Kv(M)是完备上半连续的集值映射，则Fix(T)={x：x∈T(x)}是非空的紧子集.

在这一部分，我们主要分析和研究(3)式的解的存在性.

定义2^[5]   对于函数$ x:\left[ 0, \left. +\infty \right) \right.\to {{\mathbb{R}}^{n}} $，它的Caputo导数$ ^{C}D_{t}^{\delta }x\left( t \right) $被定义成

其中$ \mathit{\Gamma} \left( 1-\delta \right)=\int_{0}^{+\infty }{\text{e}{{\ }^{t}}t{{\ }^{\delta }}\text{d}t} $，符号Γ表示伽玛函数.

定义3^[6]   如果函数φ：(-∞，+∞]满足下面两个条件：

(a) $ \forall x\in {{\mathbb{R}}^{m}}, \varphi \left( x \right)\le \underset{y\to x}{\mathop{\lim \ \inf }}\, \varphi \left( y \right) $

(b) $ \forall r\in \mathbb{R}, {{V}_{r}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{m}}:\varphi \left( x \right)>r \right\} 是 {{\mathbb{R}}^{m}} $中的开子集.

则称φ是下半连续的.

为了得到(3)式的解的存在性，我们需要如下假设成立：

(F1) $ F:I\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to Kv\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $是上半Caratheodory集值映射，等价于说对$ \forall v\in {{\mathbb{R}}^{n}} $，集值映射$ F\left( \cdot , v \right):I\to Kv\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $确定了一个可测选择，且对于几乎处处t∈I，集值映射$ F\left( t, \cdot \right):{{\mathbb{R}}^{n}}\to Kv\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $是上半连续的；

(F2) 对于映射$ F:I\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to Kv\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $，存在非减的连续函数$ {{\mathit{\Psi} }_{F}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $和函数$ {{\eta }_{F}}\in {{L}^{p}}\left( I, \mathbb{R} \right) $，使得

其中p是大于$ \frac{1}{\delta } $的正整数；

(B) $ B:I\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{n\times m}} $是连续映射，满足

其中η_B是正数；

(G) 对于连续映射$ G:I\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to {{\mathbb{R}}^{m}} $，存在非减的连续函数$ {{\mathit{\Psi} }_{G}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $和函数$ {{\eta }_{G}}\in {{L}^{p}}\left( I, \mathbb{R} \right) $，使得

(Q) $ Q:K\to {{\mathbb{R}}^{m}} $是一个满足下面两个条件的连续映射：

(Q₁) Q在K上是单调的，也即是说

(Q₂)存在v₀∈K，使得

(h) $ h:C\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right)\to {{\mathbb{R}}^{n}} $是连续映射且存在非减的连续函数$ {{\mathit{\Psi} }_{h}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $，使得

(Φ)函数$ \varphi :{{\mathbb{R}}^{m}}\to \left( -\infty , \left. +\infty \right] \right. $是真凸下半连续的函数.

从条件(F1)和(F2)，我们可以推出：从$ C\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $映射到$ P\left( {{L}^{p}}\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) \right) $的集值映射

是闭的^[2]，其中$ P\left( {{L}^{p}}\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) \right) $表示$ {{L}^{p}}\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $的所有子集组成的集合.

定义4   (3)式的一个解$ x\in C\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $是指存在可积函数u：I→K和函数f∈P_F^p(x)，满足

对于函数$ Q:K\to {{\mathbb{R}}^{m}} $，定义SOL(K，Q，φ)为

依据文献[6]的引理2.3，我们可以得到：

引理4^[6]   如果条件(Q)和条件(Φ)满足，则对于$ \forall z\in {{\mathbb{R}}^{m}} $，解集SOL(K，z+Q(·)，φ)是非空的闭凸集，且存在正数η_φ＞0满足

为了解决(3)式，设

再定义$ \mathit{\Phi} :I\times {{\mathbb{R}}^{n}}\to P\left( {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $为

则可以把(3)式转化为

为了解决(7)式，我们引入集值映射$ \mathit{\Sigma} :C\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right)\to P\left( C\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) \right) $，

则$ x\in C\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right)\ $是(7)式的解等价于说x是集值映射Σ的不动点.

引理5   在条件(F1)，(F2)，(B)，(G)，(h)和(Φ)的假设下，P_F^p和P_Φ^p是弱上半连续的.

证   当条件(Q)和条件(Φ)满足时，引理4里的不等式(5)成立，剩下的证明过程与文献[2]中的引理3.5的证明过程是一样的.

设从$ {{L}^{p}}\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $映射到$ C\left( I, {{\mathbb{R}}^{n}} \right) $的映射W为

引理6^[2]   映射W和算子Σ分别是完备连续的和完备上半连续的.

定理1   假设(F1)，(F2)，(B)，(G)，(Q)，(h)和(Φ)这几个条件成立.如果

则(7)式至少有一个解.

证   当条件(Q)和条件(Φ)满足时，引理4的不等式(5)成立，剩下的证明过程与文献[2]中的定理3.9的证明过程是一样的.