在下文中，我们假设F∈D(G)，γ＞0，这等价于$U:=\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)^{ \leftarrow } $是指数为γ的正则变换(记为U∈RV_γ)，其中F^←(x)：=inf{y：F(y)≥x}是F的广义逆函数.

F∈D(G)当且仅当

对所有x＞0和某些正可测函数a(t)成立. 注意，如果γ=0，则(4)式的右边为lnx.

为简化定理的表示，本文规定以下记号：

下面给出本文的主要结果.

定理1假设条件(4)成立，序列{k(n)}满足k=k(n)→∞，$\frac{k(n)}{n} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) $. 则

此外，若二阶条件(3)成立，且存在$ \lambda \in \mathbb{R}$使得

则对$\beta_{1}>1-\frac{1}{2 \gamma}, \beta_{2}>1-\frac{1}{2 \gamma} $，有

其中

V_β1，β2(γ)如(5)定义.

下面考虑序列k的最优选择，寻找使$\widetilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k) $的均方误差$\operatorname{MSE}_{\infty}\left(\tilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k)\right) $可以达到最小的k.

定理2  1) 假设条件(3)对ρ＜0成立，中间序列{k₀(n)}表示使$\operatorname{MSE}_{\infty}\left(\tilde{\gamma}_{n}^{\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)}(k)\right)=A^{2}\left(\frac{n}{k}\right) \mu^{2}+\frac{\sigma^{2}}{k} $达到最小的序列.

则

此外，

其中s^←是s∈RV_2ρ-1的广义逆函数，且

2) 假设A(t)=C t^ρ，则1)中的k₀为

其中└x┘表示不超过x的最大整数. 此外，

且

设Y₁，Y₂，…，Y_n是独立同分布的标准Pareto随机变量序列，其共同的分布函数为$ 1-\frac{1}{y}$，y≥1，Y_1，n≤Y_2，n≤…≤Y_n，n表示Y₁，Y₂，…，Y_n的顺序统计量. 易知$\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{n} \stackrel{\mathrm{d}}{=}\left\{U\left(Y_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n} $，且$ \left\{\frac{Y_{n-i, n}}{Y_{n-k, n}}\right\}_{i=0}^{k-1} \stackrel{\mathrm{d}}{=}\left\{Y_{k-i, k}\right\}_{i=0}^{k-1}$.

下面对本文的主要结果进行证明.

定理1的证明  由二阶条件可得

因此

故

当a＜1时，$\mathrm{E}\left(Y^{a}\right)=\frac{1}{1-a} $，当$a<\frac{1}{2} $时，$\operatorname{var}\left(Y^{a}\right)=\frac{a^{2}}{(1-a)^{2}(1-2 a)}=: \sigma_{a}^{2} $：σ_a²且当a＜1，a+b＜1时

那么对于$ \beta>1-\frac{1}{2 \gamma}$，当n→∞时

其中N(0，1)表示标准正态分布. 由P_n^(β)的定义可得

那么

从而

现定义

设f_k(t)表示Q_n^{(β₁，β₂)}(k)的特征函数. 由P_n^(β)的表达式，有

其中$\beta_{1}>1-\frac{1}{2 \gamma}, \beta_{2}>1-\frac{1}{2 \gamma} $，V_β1，β2(γ)如前定义.

因此

若存在$\lambda \in \mathbb{R} $满足$\sqrt{k} A\left(\frac{n}{k}\right) \rightarrow \lambda $，则当n→∞时

其中

设

由于

故现在利用映射g(θ)来构造一个关于γ的估计量. 应用Delta方法，可得

其中μ，σ²如前定义.

定理2的证明  类似文献[10]中的定理可得结果.