定义1^[10]   若α(t)，β(t)∈C⁴[a，c]，满足α″(t)≤β″(t)，t∈[a，c]，且当t∈[a，c]，y介于α(t)，β(t)之间以及y′介于α′(t)，β′(t)之间时满足如下不等式：

则分别称β(t)，α(t)为方程y⁽⁴⁾=f(t，y，y′，y″，y''')的上下解.

定义2^[10]   若f(t，y，y′，y″，y''')在D=D₁∪D₂上有定义且满足

其中h(s)是定义在(0，+∞)上的正单调不减函数，满足

其中λ为正常数且

则称f(t，y，y′，y″，y''')在D上关于y'''满足Nagumo条件，其中

引理1^[10]   若边值问题

其中a < b < c，满足如下条件：

(i) 具有下解α(t)与上解β(t)，使得

(ii) f(t，y，y′，y″，y''')在D上连续且关于y'''满足Nagumo条件.

(iii) g(y₁，y₂，y₃，ρ)在=[α″(a)，β″(a)]×[α″(b)，β″(b)]×[α″(c)，β″(c)]×[－N，N] 上连续且关于y₂，y₃，ρ单调不增；h(y₁，y₂，y₃，θ)在上连续且关于y₁，y₂单调不增，关于θ单调不减，则边值(6)-(10)存在解y(t)∈C⁴[a，c]，满足

注1   在上述引理条件下，易证

情形1   当$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0, \mu \to 0$时形式渐近解的构造.

令${\varepsilon _1} = \mu, {\varepsilon _2} = \frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}}$，则方程(1)转化为：

设外部解的形式渐近式为

则可得

以及

其中F_i，j(t)是由Y_s，q，Y′_s，q，Y″_s，q，Y'''_s，q，Y_s，q⁽⁴⁾(s+q < i+j)依次确定的函数，特别地F_0，1(t)=0，由(11)-(16)式结合假设[H₁]可依次确定Y_i，j(t).

令

其中${\tau _1} = \frac{{t - a}}{{{\varepsilon _1}}}$ 为伸长变量，且

具有性质

则有

其中${\tilde F_{i, j}}\left({{\tau _1}} \right)$是τ₁，μ_s，q(s+q < i+j)及其各阶导数的多项式函数.

令

其中${\tau _2} = \frac{{c - t}}{{{\varepsilon _1}{\varepsilon _2}}}$为伸长变量，且

其具有性质

则有

其中F_i，j(τ₂)是关于τ₂，ν_s，q(s+q < i+j)及其各阶导数的多项式函数.

为了确定${\hat \mu}$_i，j(τ₁)，ν_i，j(τ₂)所确定的定解条件，将

代入(4)和(5)式，可得

其中G_i，j，H_i，j是确定的常数.由假设(H₃)及(23)-(24)式可求出${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\hat \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _1^3}}} \right|_{{\tau _1} = 0}}$，记为U₀; ${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{\nu _{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _2^3}}} \right|_{{\tau _2} = 0}}$，记为V₀.再结合(17)-(22)，(25)，(26)式以及假设(H₂)可求出$\hat \mu $_i，j(τ₁)，ν_i，j(τ₂) 其中

λ₁为(18)式的特征方程的一个负根，λ₂为(21)式的特征方程的一个负根.由$\hat \mu $_0，0(τ₁)，ν_0，0(τ₂)及$\tilde F$_i，j(τ₁)，$\overline {{F_{i, j}}} \left({{\tau _2}} \right)$的构造，可知$\hat \mu $_i，j(τ₁)，ν_i，j(τ₂)都具有指数型衰减的特征.引进光滑函数ψ(t)∈C^∞，使得

其中p(t)是个多项式函数，常数σ满足

令

得到问题(1)-(5)的m阶形式渐近解，其中ε₁=μ，${\varepsilon _2} = \frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}}$且$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0, \mu \to 0$.下面证明问题(1)-(5)解的存在性及m阶形式渐近展开式(27)的一致有效性.

定理1  若假设[H₁]~[H₃]成立，且存在定义在(0，+∞)上单调不减的正值函数h(s)，满足

使得对[a，c]× $\mathbb{R} $³的紧子集中的(t，y，y′，y″)及y'''∈ $\mathbb{R} $ 有

则对正的小参数ε和μ，当$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0(\mu \to 0)$时两参数问题(1)-(5)有解

满足

其中y_m(t，ε₁，ε₂)由(27)式给出，d₀=max{ε₁，ε₂}，ε₁=μ，$\varepsilon_{2}=\frac{\varepsilon}{\mu^{2}} $.

证   构造界定函数

显然

另外，由微分中值定理，存在正常数M₁，M₂使

以及

只要$r \ge \max \left\{ {\frac{{{M_1}}}{{2{l_0}}}, \frac{{{M_2}}}{{2{l_1}}}} \right\}$，就有

最后，对任意的s₁介于α(t，ε₁，ε₂)，β(t，ε₁，ε₂)之间以及任意的s₂介于α′(t，ε₁，ε₂)，β′(t，ε₁，ε₂)之间有

其中θ₀介于s₁与y_m之间，θ₁介于s₂与y′_m之间，θ₂介于α″与y″_m之间.

当x∈[a，a+σ]时，由左边界层构造知，存在正常数M₃，M₄，使得

类似地，当x∈[c－σ，c]时，由右边界层构造知，存在正常数M₅，使得

当x∈[a+σ，c－σ]时，存在正常数M₆，使得

其中γ_k在$\sum\limits_{i, j = 0}^m {Y_{i, j}^{(k)}} (t)\varepsilon _1^i\varepsilon _2^j$与y_m^(k)(k=0，1，2)之间，γ₃在${\varepsilon _1}\sum\limits_{i, j = 0}^m {Y_{i, j}^{\prime \prime \prime }} (t)\varepsilon _1^i\varepsilon _2^j$与ε₁y'''_m之间.

只要取$r \ge \max \left\{ {\frac{{{M_3} + {M_4}}}{{{\delta _0}}}, \frac{{{M_3} + {M_5}}}{{{\delta _0}}}, \frac{{{M_3} + {M_6}}}{{{\delta _0}}}} \right\}$，就有

同理，只要r充分大，就有

故由引理1可知，边值问题(1)-(5)有解y(t，ε₁，ε₂)∈C⁴[a，c]，满足

由注1有

定理1证毕.

当$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}}(\mu \to 0)$时，问题(1)-(5)具有形如(27)式的渐近展开式，并在x=a处和x=c处附近各有一个薄层，其薄层宽度分别为O(ε₁)和O(ε₁ε₂)，因为ε₁>ε₁ε₂，所以在x=c处的薄层比在x=a处的薄层更薄.

情形2   当ε=μ²，μ→0时形式渐近解的构造.

令ε₁=μ，则方程(1)转化为：

用与情形1相同的正则摄动方法可得方程(28)对应的外部解：

令

其中${\tau _3} = \frac{{t - a}}{{{\varepsilon _1}}}$ 为伸长变量，且

其具有性质

则有

其中$\tilde F$_j－1(j≥1)是关于τ₃，$\tilde \mu $_k(k≤j－1)及其各阶导数的多项式函数.

令

其中$\begin{equation}\tau_{4}=\frac{c-t}{\varepsilon_{1}}\end{equation}$为伸长变量，且

其具有性质

则有

其中F_j－1(j≥1)是关于${\tilde \nu _k}$，_k(k≤j－1)及其各阶导数的多项式函数.

为了确定${\tilde \mu _j}$_j(τ₃)，${\tilde \nu _j}$(τ₄)所满足的定解条件，令

则有

其中$\widetilde{G}_{j-1}, \widetilde{H}_{j-1}$是依次确定的常数，由假设(H₃)及(35)-(36)式可求出${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \mu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _3^3}}} \right|_{{\tau _3} = 0}}$记为${U_1}, {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \nu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _4^3}}} \right|_{{\tau _4} = 0}}$记为V₁，再结合(29)-(34)，(37)，(38)式以及假设(H₂)可求出${\tilde \mu _j}\left({{\tau _3}} \right), {\tilde \nu _j}\left({{\tau _4}} \right)$，其中

为(30)式的特征方程的一个负根，λ₄为(33)式的特征方程的一个负根.由${\tilde \mu _0}\left({{\tau _3}} \right), {\tilde \nu _0}\left({{\tau _4}} \right)$及${\tilde F_j}\left({{\tau _3}} \right)$，F_j(τ₄)的构造，可知${\tilde \mu _j}\left({{\tau _3}} \right), {\tilde \nu _j}\left({{\tau _4}} \right)$都具有指数型衰减的特征.

令

得到问题(1)-(5)的m阶形式渐近解，其中ε₁=μ且ε=μ²，μ→0.

定理2   若假设(H₁)-(H₃)成立，且存在定义在(0，+∞)上单调不减的正值函数h(s)，满足

使得对[a，c]× $\mathbb{R} $³的紧子集中的(t，y，y′，y″)及y'''∈ $\mathbb{R} $ 有

则两参数问题(1)-(5)对正的小参数ε和μ，当ε=μ²(μ→0)时有解

满足

其中y_m(t，ε₁)由(39)式给出，ε₁=μ.

定理2证明过程与定理1类似，此处略去.

当ε=μ²(μ→0)时，问题(1)-(5)具有形如(39)式的渐近展开式，并在x=a处和x=c处附近各有一个薄层，其薄层宽度均为O(ε₁).

情形3   当$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0(\varepsilon \to 0)$时形式渐近解的构造.

令${\varepsilon _1} = \sqrt \varepsilon, {\varepsilon _2} = \frac{\mu }{{\sqrt \varepsilon }}$，则方程(1)转化为：

方程(40)对应的外部解也可用与情形1相同的正则摄动方法得到：

令

其中${\tau _5} = \frac{{t - a}}{{{\varepsilon _1}}}$为伸长变量，且

其具有性质

则有

其中${\hat F_{i, j}}\left({{\tau _5}} \right)(i + j \ge 1)$是${\tau _5}, {\bar \mu _{s, q}}(s + q < i + j)$及其各阶导数的多项式函数.

令

其中${\tau _6} = \frac{{c - t}}{{{\varepsilon _1}}}$为伸长变量，且

具有性质

则有

其中${\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over F} _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$是关于τ₆，${\bar \nu _{s, q}}$ (s+q＜i+j)及其各阶导数的多项式函数.

为了确定${\bar \mu _{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$所确定的定解条件，令

则有

其中G_i，j(τ₅)，H_i，j(τ₆)是依次确定的常数.由假设(H₃)及(47)-(48)式可求出${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _5^3}}} \right|_{{\tau _5} = 0}}$，记为U₂；${\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar \nu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _6^3}}} \right|_{{\tau _6} = 0}}$，记为V₂.再结合(41)-(46)，(49)，(50)式以及假设(H₂)可求出${\bar \mu _{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$，其中

为(42)式的特征方程的一个负根，λ₆为(45)式的特征方程的一个负根.由${\bar \mu _{0, 0}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{0, 0}}\left({{\tau _6}} \right), {\hat F_{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over F} _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$的构造，可知${\bar \mu _{i, j}}\left({{\tau _5}} \right), {\bar \nu _{i, j}}\left({{\tau _6}} \right)$都具有指数型衰减的特征.

令

得到问题(1)-(5)的m阶形式渐近解，其中${\varepsilon _1} = \sqrt \varepsilon, {\varepsilon _2} = \frac{\mu }{{\sqrt \varepsilon }}$且$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0, \varepsilon \to 0$.

定理3   若假设(H₁)-(H₃)成立，且存在定义在(0，+∞)上单调不减的正值函数h(s)，满足

使得对[a，c]× $\mathbb{R} $³的紧子集中的(t，y，y′，y″)及y'''∈ $\mathbb{R} $ 有

则当$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0, \varepsilon \to 0$时，对正的小参数ε和μ，两参数问题(1)~(5)有解

满足

其中y_m(t，ε₁，ε₂)由(51)式给出，${d_1} = \max \left\{ {{\varepsilon _1}, {\varepsilon _2}} \right\}, {\varepsilon _1} = \sqrt \varepsilon, {\varepsilon _2} = \frac{\mu }{{\sqrt \varepsilon }}$.

定理3证明过程与定理1类似，此处略去.

当$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0(\varepsilon \to 0)$时，问题(1)-(5)具有形如(51)式的渐近展开式，并在x=a处和x=c处附近各有一个薄层，其薄层宽度均为O(ε₁).

考虑如下混合边值条件的双参数奇摄动问题

问题(52)-(56)满足假设[H₁]-[H₃]条件.

情形1′   当参数ε，μ满足$\frac{\varepsilon }{{{\mu ^2}}} \to 0, \mu \to 0$时的情形.

问题(52)-(56)的退化问题为

存在解${Y_{0, 0}}(t) = 2{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}t}} - 3{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{3}t}} + 1 - t$.

在x=－1和x=1处构造边界层校正项，有

则

其中${U_0} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\hat \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _1^3}}} \right|_{{\tau _1} = 0}}, {V_0} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{v_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _2^3}}} \right|_{{\tau _2} = 0}}$.

因此问题(52)-(56)的零阶形式渐近解为

情形2′   当参数ε，μ满足ε=μ²，μ→0时的情形.

类似情形1′，问题(52)-(56)的退化问题存在解${Y_0}(t) = 2{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}t}} - 3{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{3}t}} + 1 - t$.

在x=－1和x=1处构造边界层校正项，有

则

其中${U_1} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \mu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _3^3}}} \right|_{{\tau _3} = 0}}, {V_1} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\tilde \nu }_0}}}{{{\rm{d}}\tau _4^3}}} \right|_{{\tau _4} = 0}}$.

因此问题(52)-(56)的零阶形式渐近解为

情形3′   当参数ε，μ满足$\frac{{{\mu ^2}}}{\varepsilon } \to 0, \varepsilon \to 0$时的情形.

类似情形1′，问题(52)-(56)的退化问题存在解${\bar Y_{0, 0}}(t) = 2{{\rm{e}}^{\frac{1}{2}t}} - 3{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{3}t}} + 1 - t$.

在x=－1和x=1处构造边界层校正项，有

则

其中${U_2} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar \mu }_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _5^3}}} \right|_{{\tau _5} = 0}}, {V_2} = {\left. {\frac{{{{\rm{d}}^3}{{\bar v}_{0, 0}}}}{{{\rm{d}}\tau _6^3}}} \right|_{{\tau _6} = 0}}$.

因此问题(52)-(56)的零阶形式渐近解为