广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子为一类具有高奇性的平方和退化椭圆算子^[10]，被更多的学者所关注，并得到了许多重要的成果^[11-12]. 其构成向量场(见下文)X_j，Y_j(j=1，2，…，n)在k＞1时不满足Hörmander有限秩条件，从而它的亚椭圆性无法由此导出，增加了研究的难度^[13-14]. 以下给出广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子的基本知识.

广义Heisenberg-Greiner p-退化椭圆算子形为

其中：▽_L=(X₁，…，X_n，Y₁，…，Y_n)，div_L(u₁，…，u_2n)=$\sum\limits_{j=1}^{n}$(X_ju_j+Y_ju_n+j)，p＞1，这里X_j=$\frac{\partial}{\partial x_{j}}$+2ky_j|z|^2k-2$\frac{\partial}{\partial t}$，Y_j=$\frac{\partial}{\partial y_{j}}$-2kx_j|z|^2k-2$\frac{\partial}{\partial t}$，z_j=x_j+$\sqrt{-1}$y_j∈$\mathbb{C}$，j=1，2，…，n，t∈$\mathbb{R}$，k≥1. 注意到，当p=2，k=1时，$\mathscr{L}_p$就成为Heisenberg群$\mathbb{H}^{n}$上的Kohn Laplacian算子Δ_{$\mathbb{H}^{n}$}^[15]. 当p=2，k=2，3，…时，$\mathscr{L}_p$就成为Greiner算子^[16]

设ξ=(z，t)=(x，y，t)∈$\mathbb{R}^{2n+1}$，相应于(4)式中$\mathscr{L}_p$的一个自然伸缩为

与伸缩(5)式相应的齐次维数是Q=2n+2k. 由(5)式诱导的一个拟距离为

通过(6)式直接计算知道

另外，定义中心在{0}∈$\mathbb{R}^{2n+1}$，半径为R的拟开球为B_R(ξ)={ξ∈$\mathbb{R}^{2n+1}$|d(ξ)＜R}.

令C₀^k($\mathbb{R}^{2n+1}$)表示C^k($\mathbb{R}^{2n+1}$)中具有紧支集的函数构成的集合，D^1，p(Ω)={u：Ω→$\mathbb{R}$|u，|▽_Lu|∈L^p(Ω)}，D₀^1，p(Ω)是C₀^∞(Ω)在范数

下的完备化，其中：Ω⊂$\mathbb{R}^{2n+1}$，1＜p＜∞.

定理1  设a，b∈$\mathbb{R}$且a≠Q，b＞2-Q. 若1＜p＜∞，Ω⊂$\mathbb{R}^{2n+1}$，d(ξ)在Ω上有界，则对于u∈C₀^∞(Ω\{0})，有

当p≠Q，有

当0∈Ω，(8)，(9)，(10)和(11)式中的常数是最佳的.

证  由(7)式直接计算得到

在Ω上，引入C¹类向量场

其中$C=\frac{Q-a}{p}$.结合(12)式有

这样就得到

而对于u∈C₀^∞(Ω\{0})，有

也即

将(13)式代入(14)式的右边，利用(7)式得到(8)式.

在(8)式中，取a=2p，b=p得到(9)式；在(8)式中，取a=p，b=0得到(10)式；在(8)式中，取a=0，b=-p得到(11)式.

以下分两种情况证明(8)式中的常数是最佳的.

1) 若Ω=$\mathbb{R}^{2n+1}$，对于任意ε＞0，取C_ε：=(C+ε^-1)，令

计算可以得到

从而有

进一步取ε→0，得到(8)式中的常数是最佳的，从而(9)，(10)式及(11)式中的常数也是最佳的.

2) 若Ω⊂$\mathbb{R}^{2n+1}$，已知(8)式中的常数可表示为

由于(8)式在(5)式的伸缩δ_R下不变，所以对于R＞0，有

因此，当B_R(ξ)⊂Ω⊂$\mathbb{R}^{2n+1}$，有

如果取ϕ∈C₀^∞($\mathbb{R}^{2n+1}$)，Ω=B_R(ξ)，由ϕ的紧性知道(8)式仍然成立. 考虑到当R足够大时，以及

可得

结合(15)式，得到(8)式中的常数是最佳的，从而(9)，(10)及(11)式中的常数也是最佳的.

注1  在(8)式中取Ω=$\mathbb{R}^{2n+1}$，a=p，b=p时，得到(1)式，且p的取值范围较文献[5]中结果宽泛.

注2  在(8)式中取a=p，b=p时，得到(2)式.

定理1  若1＜p＜∞，α≠Q，β＞2-Q，a，b∈$\mathbb{R}$，则对于u∈C₀^∞(Ω\{0})，R≥R₀，有

特别地，在(16)式中取a=b=0，有下列带有余项的含权Hardy不等式

证  为方便证明(16)式成立，首先令

其中η(s)=$-\frac{1}{\ln s}$，s∈(0，1)，A=$\frac{Q-\alpha}{p}$. 这样，当$\sup\limits_{\xi \in \Omega} d(\xi) < R$，ξ∈Ω时，就会存在常数M＞0，使得

从而当R足够大时，在Ω上有Λ₀＞0，Λ₁＞0.

若T₁(s)=pAΛ₁(s)+Λ₂(s)=pA$\left(1+\left(a+\frac{p-1}{p A}\right) s+b s^{2}\right)$+$\left(a+\frac{p-1}{p A}\right)$s²+2bs³，则

若T₂(s)=(1+as+bs²)^{$-\frac{1}{p-1}$}，则T₂(s)在s=0处的Taylor展开式为

若T₃(s)=$\left(1+\left(a+\frac{p-1}{p A}\right) s+b s^{2}\right)^{\frac{p}{p-1}}$，则T₃(s)在s=0处的Taylor展开式为

利用(18)，(19)及(20)式，得到

取H=$A|A|^{p-2} \frac{\left|\nabla_{L} d\right|^{\beta-2} \nabla_{L} d}{d^{\alpha-1}} \mathit{\Lambda }_{1}$，有

通过(21)，(22)式，得到

又由于

也即

将(23)式代入(24)式，利用(7)式，得到(16)式.

注1  在(17)式中取k=1，α=p，β=p时，得到(3)式.