设A是一个非空集合，称为字母表，其中的元素叫做字母. 由字母表A上的有限个字母形成的一个序列称为词，用ε表示空序列，称为空词. 设w=a₁a₂…a_n是一个词，称n为w的长度，记作ℓ(w)，空词的长度定义为0. 词a_n…a₂a₁称为w的倒置，记作w^r. 令A^*为字母表A上所有词的集合，K是一个特征为0的域，K〈A〉为K上由A生成的自由结合代数.则K〈A〉的基础集就是以A^*为基底的线性空间KA^*，其中乘法就是词的串联，即

下面在K〈A〉上定义一种新的乘积.

定义1  设A是一个字母表，K是一个特征为0的域，°是KA上一个满足结合律的乘积，λ∈K. 若K〈A〉上的一个二元运算*_λ满足：

(a) 1_K*_λε=ε*_λ1_K=ε；

(b) 对任意a，b∈A和任意u，v∈A^*，都有

则称*_λ是关于°的权为λ的拟洗牌乘积.

由文献[7]中的定理2.1可知*_λ满足结合律，从而(K〈A〉，*_λ)是一个结合K-代数. 我们称(K〈A〉，*_λ) 是权重为λ的拟洗牌代数. 当λ=0，或°是零乘积时，*_λ就是K〈A〉上通常的洗牌乘积ш. 当°交换时，*₁和*_-1分别特殊化为文献[5, 10]中的拟洗牌乘积* 和*.

事实上，K〈A〉具有Hopf代数结构.Hopf代数广泛应用于代数、组合等各个领域^[11]，其具体概念可参见文献[12].令μ：K→K〈A〉，1_K⟼ε.在K〈A〉上按如下方式定义余乘Δ：K〈A〉→K〈A〉⊗K〈A〉和余单位ε：K〈A〉→K，对任意w∈A^*，有

定理1^[7]  设A是一个字母表，K是一个特征为0的域.则对任意λ∈K，(K〈A〉，*_λ，μ，Δ，ε)是一个Hopf代数.当λ≠0时，乘积*_λ是可交换的当且仅当乘积°是可交换的.

下面将交换拟洗牌代数上的Hoffman-Ihara算子^[5]推广到带权的非交换拟洗牌代数上. 令n是一个正整数，I=(i₁，i₂，…，i_k)是一个由有限个正整数组成的序列.若i₁+i₂+…+i_k=n，则称I为n的一个合成，ℓ(I)=k为I的长度. n的所有合成构成的集合记作$\mathscr{C}$(n). 设w=a₁a₂…a_n是一个词，I=(i₁，i₂，…，i_k)是n的一个合成，记

定义2  设K是一个特征为0的域，λ是K中的非零元，令

是K[[t]]上的一个形式幂级数，Ψ_f，λ：K〈A〉→K〈A〉是一个K-线性映射.若Ψ_f，λ(ε)=ε，且对非空词w，有

则称Ψ_f，λ是K〈A〉上权重为λ的Hoffman-Ihara算子.

权等于1的Hoffman-Ihara算子在数论中有非常重要的应用^[5].

我们首先给出非交换拟洗牌Hopf代数对极的显性表达式，然后在此基础上，利用由形式幂级数$\frac{-t}{1+t}$诱导的Hoffman-Ihara算子给出其另一种表达形式.

定理2  设A是一个字母表，K是一个特征为0的域，λ∈K，S是Hopf代数(K〈A〉，*_λ，μ，Δ，ε)的对极. 则对任意词w=a₁a₂…a_n，有

证  因为任何Hopf代数(H，m_H，μ_H，Δ_H，ε_H)的对极S_H，都满足条件

所以由(1)式可得，对任意词w=a₁a₂…a_n，都有

下面对w的长度n进行归纳，证明等式(2)成立. 若n=1，则由(3)式知S(w)=-a₁，故(2)式成立.假设对小于n的情形，结论成立. 对于n>1，根据等式(3)和归纳假设可知

根据定义1，S(w)是一些词的线性组合，其中每一个加法因子的第一个字母都是以下3种情形之一：

为了简单起见，称第一种情形中的项是k-型的，后两种情形中的项是k+1-型的. 因为根据拟洗牌乘积的定义，对任意a，b∈A和任意u，v∈A^*，都有表达式

所以对于出现在S(w)的展开式中的每一个词，若它是j-型的，且j≤n-1，那么它将同时出现在k=j和k=j-1中. 但是这两个词的系数之和恰好为0，会相互抵消.因此唯一不会抵消的一类词是n-型的词，它们只出现在第n-1项中，而且没有被抵消的词均形如

并带有系数

其中I=(i₁，…，i_l)是ℓ(w)的一个合成. 这就证明了等式(2)成立.

例如，关于Hopf代数K〈A〉的对极S，有S(a₁)=-a₁，S(a₁a₂)=a₂a₁+λa₁°a₂和

引理1  设K是一个特征为0的域，λ∈K\{0}.则对任意词w，都有

证  由于

所以根据定义2，对任意词w，都有

令R：K〈A〉→K〈A〉是由R(w)=w^r诱导的一个线性映射，其中w是A上的词. 下面我们利用R和${\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}$给出对极S的另一种表达形式.

定理3  设A是一个字母表，K是一个域，λ是K中的非零元，S是Hopf代数(K〈A〉，*_λ，μ，Δ，ε)的对极. 则S=$R {\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}$.

证  对于A上的任意词w=a₁a₂…a_n，以及n的一个合成I=(i₁，i₂，…，i_k)，有

所以，由定理2知

因为R是线性映射，故由引理1得

这就证明了S=$R{\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}$.

注1  对于非交换的拟洗牌代数，R与Ψ_f，λ关于映射合成一般是不可交换的. 例如，令A={a₁，a₂，a₃}，并且令乘积°由x°y=x(对任意x，y∈A)所定义.则

而

因此，当λ≠0时，$R{\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda} \neq {\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}R$.

然而，当拟洗牌乘积*_λ可交换时，文献[5]的命题4.3证明了对所有f∈tK[[t]]，R与Ψ_f，λ都是可交换的. 这就是说，交换的拟洗牌Hopf代数的对极也可以表示为S=${\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}R$.因此，文献[5]中的定理4.2是本文定理2的特殊情形.

定义1中的条件(b)对非交换拟洗牌乘积的定义是从前向后归纳给出的.事实上，容易证明也可以从后向前归纳定义，即对所有字母c，d∈A和词u，v∈A^*，都有

命题1  对所有λ∈K，映射R是(K〈A〉，*_λ)的一个代数自同构.

证  因为R是双射，故只需证明对任意词u₁，u₂，R(u₁*_λu₂)=R(u₁)*_λR(u₂). 若u₁，u₂中有一个是空词ε，则结论显然成立. 若u₁，u₂均不是空词ε，则可设u₁=aw，u₂=bv，其中a，b∈A，w，v∈A^*.

一方面，根据(4)式可得

另一方面，对u₁，u₂的长度之和ℓ(u₁)+ℓ(u₂) 进行数学归纳，并由R是线性映射可知

所以R(u₁*_λu₂)=R(u₁)*_λR(u₂)，这就证明了R是一个同构映射.

推论1  线性映射${\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}$：(K〈A〉，*_λ)→(K〈A〉，*_λ)是一个代数反同构.

证  因为Hopf代数的对极是一个代数反同构，所以由定理3知，$R{\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}$是一个代数反同构. 而根据命题1，R是一个同构映射，所以${\mathit{\Psi}}_{\frac{-t}{1+t}, \lambda}$是一个代数反同构.