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本文考虑的图均为简单无向连通图.设图G的顶点集为V(G)={v1，v2，…，vn}，边集为E(G). 记dv为图G中顶点v的度，且(di，dj)表示度分别为di和dj的两顶点间的边，图G中边为(di，dj)的数目记为mdidj(G)，其他符号可参见文献[1].
文献[2]定义了Randić 指标
Randić 指标是重要的拓扑指标之一，它起初主要用于描述饱和碳氢化合物中碳原子骨架的分支程度. 研究表明，Randić 指标与碳氢化合物中的沸点、色谱保留时间、表面积等物理化学性质有密切的相关性. 在化学、药物化学和药理学等众多领域都有很重要的应用.
若连通图G中任意顶点的度小于5，则称其为分子图.文献[3]研究了随机聚苯链的Wiener指标，之后文献[4]分别定义了α，β，γ-随机五角链. 受文献[5]的启发，本文引入随机螺旋五角链，即将α-随机五角链的所有割边收缩之后所成的随机五角链.
文献[6-7]分别给出了随机螺旋链和随机聚苯链的Atom-Bond Connectivity指标与Geometri
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定义1[4] 由n个五边形构成的α-五角链Bn可视为把由n-1个五边形构成的α-五角链Bn-1和一个五边形通过一条边相连所得(如图 1). 当n≥3时，Bn中最后一个五边形有两种连接方式，分别记为Bn1与Bn2(如图 2). 因从Bk-1到Bk (k=3，4，…，n)是随机的，故将在α-五角链末端通过逐步增加五边形所得的五角链称为α-随机五角链.
定义2[4] 由n个五边形构成的β-五角链Cn可视为把由n-1个五边形构成的β-五角链Cn-1和一个五边形用一条共用边相连所得(如图 3). 当n≥3时，Cn中最后一个五边形有两种连接方式，分别记为Cn1与Cn2(如图 4). 因从Ck-1到Ck (k=3，4，…，n)是随机的，故将在β-五角链末端通过逐步增加五边形所得的五角链称为β-随机五角链.
定义3[4] 由n个五边形构成的γ-五角链Dn可视为把由n-1个五边形构成的γ-五角链Dn-1和一个五边形通过两条边相连所得(如图 5). 当n≥3时，Dn中最后一个五边形有两种连接方式，分别记为Dn1，Dn2(如图 6). 因从Dk-1到Dk (k=3，4，…，n)是随机的，故将在γ-五角链末端通过逐步增加五边形所得的五角链称为γ-随机五角链.
设从Bn-1(Cn-1；Dn-1)到Bn1(Cn1；Dn1)的概率为p(p1；p2)，则从Bn-1(Cn-1；Dn-1)到Bn2(Cn2；Dn2)的概率为1-p(1-p1；1-p2). 令Rn(α)(p)(Rn(β)(p1)，Rn(γ)(p2))分别表示由n个五边形构成且从Bn-1(Cn-1；Dn-1)到Bn1(Cn1；Dn1)的概率为p(p1；p2)的α-(β-，γ-)随机五角链. 注意到R(Rn(α)(p))，R(Rn(β)(p1))及R(Rn(γ)(p2))均为随机变量，记它们的期望值分别为
接下来考虑t-随机五角链的Randić 指标的期望，t∈{α，β，γ}.
显然，α-五角链的边只可能是(2，2)，(2，3)，(3，3). 于是由Randić 指标的定义可得
故α-五角链的Randić 指标取决于m2，2(Bn)，m2，3(Bn)和m3，3(Bn)的值.
定理1 设Rn(α)(p)是一个n长的α-随机五角链，其中n≥2，则
证 当n=2时，直接计算得
当n>2时，显然m2，2(Bn)，m2，3(Bn)，m3，3(Bn)的值由图 2中的两种结构确定.
情形1 设Bn-1到Bn1的概率为p，则
由(1)式得
情形2 设Bn-1到Bn2的概率为1-p，则
由(1)式得
结合(2)，(3)式得
又因E[Enα]=Enα，应用期望算子可得
注意到(4)式为一阶常系数非齐次差分方程，显然其所对应的齐次方程的通解为Eα=C，这里C为常数. 设Eα′=kn为(4)式的一个特解，将其代入(4)式可得
故(4)式的通解为
结合初始条件E[R(B2)]=
$\frac{2 \sqrt{6}}{3}+\frac{10}{3}$ 可得因此，当n≥2时，有
显然，如图 7所示的α-邻五角链Onα就是Rn(α)(1)，而α-间五角链Mnα就是Rn(α)(0). 于是由定理1得：
推论1 α-邻五角链Onα和α-间五角链Mnα的Randić 指标分别为
定理2 设Rn(β)(p1)是一个n长的β-随机五角链，其中n≥2，则
证 证明方法与定理1完全相似，不再赘述.
定理3 设Rn(γ)(p2)是一个n长的γ-随机五角链，其中n≥2，则
证 证明方法与定理1完全相似，不再赘述.
下面考虑t-五角链集(t∈{α，β，γ})的Randić 指标的均值.
设PCn(t)是n长的t-五角链的集合(t∈{α，β，γ})，则PCn(t)的Randić 指标的均值定义为
因在PCn(t)中每个t-五角链出现的概率相等，即
故由定理1、定理2、定理3分别可得下列定理4、定理5、定理6.
定理4 n长的α-五角链集PCn(α)的Randić 指标的均值为
注1 由定理1和推论1易得，{Onα，Mnα}的Randić 指标的均值
定理5 n长的β-五角链集PCn(β)的Randić 指标的均值为
定理6 n长的γ-五角链集PCn(γ)的Randić 指标的均值为
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定义4 一个n长的螺旋五角链SPn是指通过收缩α-五角链Bn的所有割边所得的五角链(如图 8). 当n≥3时，在SPn-1后添加一个五边形有两种方式，分别记为SPn1，SPn2(如图 9). 因从SPk-1到SPk是随机选择(k=3，4，…，n)，故将末端逐步添加五边形的螺旋五角链称为随机螺旋五角链. 假设SPk-1到SPk1，SPk2的概率分别为p3，1-p3(k=3，4，…，n). 令SPn(p3)表示由n个五边形构成，且从SPn-1到SPn1的概率为p3的随机螺旋五角链.
注意到螺旋五角链的边只可能是(2，2)，(2，4)，(4，4)，由Randić 指标的定义得
故计算SPn(p3)的Randić 指标取决于m2，2(SPn)，m2，4(SPn)和m4，4(SPn)的值. 显然R(SPn(p3))为随机变量，令其期望为En=E[R(SPn(p3))].
定理7 设SPn(p3)是一个n长的随机螺旋五角链，其中n≥2，则
证 当n=2时，通过直接计算可得
当n>2时，m2，2(SPn)，m2，4(SPn)及m4，4(SPn)的值可由图 9中的两种结构来确定.
情形1 设SPn-1到SPn1的概率为p3，则
因此由(5)式得
情形2 设SPn-1到SPn2的概率为1-p3，则
因此由(5)式得
结合(6)，(7)两式得
又因E[En]=En，应用期望算子可得
注意到(8)式为一阶常系数非齐次差分方程，显然其所对应的齐次方程的通解为E=C1，这里C1为常数.令E′=sn是(8)式的一个特解，将其代入(8)式可得
从而(8)式的通解为
由初始条件E[R(SP2)]=3+
$\sqrt{2}$ 得故当n≥2时，有
显然，如图 10所示的邻螺旋五角链On就是SPn(1)，而间螺旋五角链Mn就是SPn(0). 故由定理7得：
推论2 邻螺旋五角链On和间螺旋五角链Mn的Randić 指标分别为
接下来考虑螺旋五角链集的Randić 指标的均值. 设SCn是n长的螺旋五角链的集合，则SCn的Randić 指标的均值定义为
注意到，在集合SCn中每个螺旋五角链出现的概率相等，即p3=1-p3=
$\frac{1}{2}$ ，故由定理7得：定理8 n长的螺旋五角链集SCn的Randić 指标的均值为
注2 由定理7和推论2易得{On，Mn}的Randić 指标的均值为