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扭曲乘积形式的2维双曲Yamabe方程

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胡玉琪, 赖晋秋, 姚纯青. 扭曲乘积形式的2维双曲Yamabe方程[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2022, 47(4): 52-57. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.04.008
引用本文: 胡玉琪, 赖晋秋, 姚纯青. 扭曲乘积形式的2维双曲Yamabe方程[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2022, 47(4): 52-57. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.04.008
HU Yuqi, LAI Jinqiu, YAO Chunqing. 2-Dimensional Hyperbolic Yamabe Equation in Form of Warped Products[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2022, 47(4): 52-57. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.04.008
Citation: HU Yuqi, LAI Jinqiu, YAO Chunqing. 2-Dimensional Hyperbolic Yamabe Equation in Form of Warped Products[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2022, 47(4): 52-57. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2022.04.008

扭曲乘积形式的2维双曲Yamabe方程

  • 基金项目: 国家自然科学基金项目(11971415)
详细信息
    作者简介:

    胡玉琪, 硕士研究生, 主要从事微分几何的研究 .

  • 中图分类号: O186.1

2-Dimensional Hyperbolic Yamabe Equation in Form of Warped Products

  • 摘要: 本文通过扭曲乘积流形中一种特殊的度量形式, 即旋转对称度量, 研究了2维双曲空间在扭曲乘积R+×φS1形式下的Yamabe方程, 推导出了扭曲乘积形式的标准单位球面的Yamabe方程及其解, 并在此基础上, 通过类比找到了2维双曲Yamabe方程的一组特解.
  • 体育是每一个社会公民应享有的基本权利,尤其对于残疾人来说,体育更是具有非同寻常的意义.残疾人体育事业的发展不仅对残疾人本身有重要价值,而且对助推体育强国建设,促进社会主义精神文明建设都将起着显著的积极作用.我国残奥健儿们在巴西里约创造了新的辉煌,以107金、81银、51铜共239枚奖牌的绝对优势跃居金牌榜的第一位,充分展示了我国残疾人体育事业的发展成果.然而,在现阶段内部矛盾逐显与外部竞争强烈冲击的形势下,我国残疾人体育事业发展仍然道阻且长.本文全面梳理我国残疾人竞技体育发展所取得的成绩,厘清我国残疾人竞技体育发展的现状与未来发展的现实路径,以期为进一步促进残疾人竞技体育事业的健康与可持续发展提供理论支撑.

    依据表 1图 1可以看出[1],自1984年首次参加残奥会以来,我国一共参加了九届残奥会,从24人的参加人数发展到里约奥运会的499人,参与人数翻了20倍多[2],第一次参加时获2金3银9铜,奖牌排名从23名跃升至连续四届的金牌榜第一,金牌翻了53倍,银牌翻了27倍,铜牌翻了5倍,金牌排位上升了22名,连续四届的金牌榜第一,共获得了434枚金牌,340枚银牌,253枚铜牌,1 027枚奖牌,我国残疾人竞技体育队伍在近几届残奥参赛项目上取得了优异成绩,也说明了我国残疾人竞技体育事业得到了迅速发展.

    表 1  我国参加历届残奥会奖牌统计一览表
    年份 届次 举办地 参加人数/人 金牌 银牌 铜牌 奖牌 排名
    1984 纽约 24 2 3 9 14 23
    1988 汉城 43 17 17 10 44 14
    1992 巴塞罗那 24 11 7 7 25 12
    1996 亚特兰大 37 16 13 10 39 9
    2000 十一 悉尼 87 34 32 17 83 6
    2004 十二 雅典 200 63 46 32 141 1
    2008 十三 北京 332 89 70 52 211 1
    2012 十四 伦敦 414 95 71 65 231 1
    2016 十五 里约 499 107 81 51 239 1
    合计 1 660 434 340 253 1 027
    注:表中数据来源于中国残疾人联合会网站http://www.cdpf.org.cn/
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    图 1  我国参加历届残奥会奖牌增长趋势图

    表 2所示,在我国所参加的九届残奥会中,把中国与国外金牌排名前三位的国家进行比较可看出,中国的竞争实力呈现直线上升趋势,从雅典奥运会开始一直到蝉联北京残奥会、伦敦残奥会和里约残奥会四届残奥会的金牌榜第一,而且在银牌、铜牌的数量上也逐渐取得世界霸主地位.在中国所参加的九届残奥会金牌前三名统计中,美国连续获得了四次金牌第一,英国获得了四次金牌第二与三次第三,德国获得了二次金牌第二.随着中国实力的逐渐强大以及世界各国残奥运动项目的迅速开展,在当今世界残奥竞技体育竞争中,不但美国“传统老大”的位置逐渐被中国所取代,而且俄罗斯残疾人竞技体育也得到了显著提升,英国也借机伦敦奥运会的举办再次稳固住残奥竞争地位,使得当今残奥竞技体育的竞争态势由美、英、德的争霸演变成中、英、俄三国鼎立的局面.

    表 2  近九届残奥会金牌榜中国与前三名奖牌统计表
    时间 届次 排名 国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌
    1984 1 美国 101 91 84 276
    2 英国 75 80 85 240
    3 瑞典 51 30 22 103
    23 中国 2 3 9 23
    1988 1 美国 92 91 85 268
    2 德国 77 64 48 189
    3 英国 62 66 51 179
    14 中国 17 17 9 43
    1992 1 美国 76 51 48 175
    2 德国 60 50 60 170
    3 英国 40 46 41 127
    12 中国 11 7 7 25
    1996 1 美国 46 46 65 157
    2 澳大利亚 42 37 27 106
    3 德国 40 58 51 149
    9 中国 16 13 10 39
    2000 十一 1 澳大利亚 63 39 47 149
    2 英国 41 43 47 131
    3 西班牙 39 30 38 107
    6 中国 34 32 17 83
    2004 十二 1 中国 63 46 32 141
    2 英国 35 30 28 93
    3 美国 27 22 39 88
    2008 十三 1 中国 89 70 52 211
    2 英国 42 29 31 102
    3 美国 36 35 28 99
    2012 十四 1 中国 95 71 65 231
    2 俄罗斯 35 38 28 101
    3 英国 33 42 43 118
    2016 十五 1 中国 107 81 51 239
    2 英国 64 39 44 147
    3 乌克兰 41 37 39 117
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    我国地域辽阔,各省市之间的发展存在一定的非均衡性特征,地区之间社会经济发展的失衡也体现在竞技体育领域.而健全人竞技体育发展的地区不平衡性也同样体现在残疾人竞技体育领域,依据图 2可以看出,在我国所参加的九届残奥会上获得的金牌中,华东地区位列第一,占有比例为32%,其次是中南地区,占有比例为26%,再次是东北地区,而地理位置处于西部地区的西南和西北地区金牌占有率相对较低,只有8%和3%,这与西部社会经济基础薄弱[3],体育基础整体水平相对较低有直接关系.

    图 2  我国获残奥会金牌运动员的区域分布图

    我国残疾人运动健儿在所参加的九届残奥会上是一路高歌,在破获世界纪录与残奥会记录上不断增多,从第七届破获5项世界纪录与9项残奥会纪录到里约奥运会的66人破世界纪录和51次破残奥会纪录[4],充分展现了我国残疾人竞技体育整体水平的提升,一大批优势项目与潜在优势项目得到明显发展.

    通过对我国参加的历届残奥会金牌项目进行详细统计后发现(如表 4),在所设置的21个大项中,我国迄今为止已经在16个大项389个小项上获得了金牌.九届残奥会的金牌项目主要分布在田径、游泳和乒乓球等项目上,其中田径获得129枚,占金牌总数的29.7%,位列第一; 游泳获得103枚,占金牌总数的23.7%,位列第二; 乒乓球获得69枚金牌,占金牌总数的15.9%,位列第三.这三项合计获得301枚金牌,占金牌总数的69.3%,紧随其后的是射箭、轮椅击剑和举重,可看出我国残奥个人项目金牌比重较大,集体项目不足.

    表 1图 1可知,虽然我国残奥成绩现阶段上升趋于稳定,然而在我国所参加的九届残奥会中,从奖牌数量的整体增长态势可以看出,我国残奥会奖牌数量的变化经历了“先增长后下滑再增长”的过程,其上升的过程并非一帆风顺.残疾人竞技体育作为我国竞技体育的重要组成部分,其发生、发展与壮大很大程度上是借鉴与依赖健全人竞技体育发展起来的.特殊历史时期产生的竞技体育举国体制在推进我国残疾人竞技体育迅速发展的过程中起着极其重要的作用.最近几届残奥会中的优异成绩得力于具有中国特色的竞技体育举国体制的制度性保障,展现中国特色的竞技体育举国体制的制度优越性[5].但随着社会改革的深化,这种举国体制呈现出了一些弊端,如精细化管理不足与过于宏观的机械调配造成了残疾人竞技体育发展出现了严重的信息不对称与野蛮训练不良结果等.

    通过表 2将中国与美国两队获得金牌与奖牌数的比较发现,中国队虽已连续四届占据金牌榜第一的位置,但与美国的获奖牌峰值相比较还有距离,美国获得奖牌最多是276枚[6],而中国则为239枚,说明我国仍有提高空间.随着英国与俄罗斯竞技实力的剧增,将会对中国金牌与奖牌的增长带来较大的竞争压力.我国要想稳居金牌第一并超越美国的巅峰值,就需要借鉴欧美成功经验,推行政府与民办组织相辅相成的办法,如我国残疾人竞技体育运行管理提出“政府+社会”的双向管理模式[7].然而,实践中所呈现出的一些问题也亟待解决,如以体育总局所领导的中国残奥管理中心形成的政府管理系统跟中国残疾人联合会下属的各个体育协会形成的社会管理系统之间的责、权、利划分将是我国残疾人体育事业发展进程中的症结所在.

    透过图 2得知,残奥会金牌获得者的地区分布非均衡性在一定程度上也体现出我国残疾人竞技体育发展的不平衡,而这又在很大程度上与地区残疾人竞技体育的社会宣传与残疾人运动员相关法律法规的不完善有关.与健全人竞技体育的社会影响力相比,我国残疾人竞技体育的社会宣传与推广力度就小得多,从北京残奥会和伦敦残奥会的各大媒体宣传均可见分晓,顺延到地方层面则更为明显.与此同时,我国残疾人竞技体育相关政策法规的不完善造成了尤其是偏远地区残疾人体育权利保障的缺失以及残疾人运动员、教练员等自身利益的无法可依.现有的《中华人民共和国体育法》、《中华人民共和国残疾人保障法》和《关于进一步加强残疾人体育工作的意见》等法规与管理条例也并未在操作层面对残疾人体育进行有效界定与规范,导致法规执行不力,从而对以偏远地区为代表的残疾人体育事业发展造成了巨大冲击.

    表 3表 4中,我国虽然在金牌的数量上已经显著上升,然而在金牌的项目分布上与国外竞技强国相比仍存在一定的差距.究其原因,一方面,一部分运动员依靠自己的体育天赋和勤劳的拼搏精神一举成为多金王,在一届奥运会上获得了多枚金牌,如伦敦残奥会上游泳运动员杨洋与徐庆就分别获得了4枚金牌[8]; 另一方面,我国的残奥会金牌分布还相对较集中,虽然在一些传统弱势项目和新设置项目上已有突破,但是在充分体现残疾人团队精神与合作竞争的集体项目上仍有较大差距,如轮椅网球、轮椅橄榄球等.优势项目过于集中,覆盖面不宽,潜在优势项目不明显,基础大项与集体项目实力薄弱是我国残疾人竞技体育项目结构的主要问题.此外,区域竞技体育发展不均衡,东部、中部与西部的实力差距导致我国西部地区残疾人竞技体育整体水平依旧离世界强国仍有一定差距[9].

    表 3  我国参加历届残奥会破纪录情况统计表
    届次 时间 破世界记录人数 破世界纪录次数 破残奥会纪录人数 破残奥会次数
    1984 5 5 9 9
    1988 6 6 11 11
    1992 14 14 21 21
    1996 10 16 8 8
    十一 2000 15 15 17 17
    十二 2004 23 29 19 21
    十三 2008 56 92 61 64
    十四 2012 65 72 78 86
    十五 2016 66 27 63 51
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    表 4  我国获得残奥会金牌项目分布一览表
    项目 金牌数 占有比例/% 排名
    射箭 28 6.5 4
    田径 129 29.7 1
    硬地滚球 7 1.6 10
    公路自行车 9 2.1 8
    场地自信车 4 0.9 12
    马术 2 0.4 13
    盲人足球 0 0
    脑瘫足球 0 0
    盲人门球 5 1.2 11
    盲人柔道 9 2.1 8
    举重 17 4.0 5
    赛艇 10 2.3 7
    帆船 8 1.8 9
    射击 13 3.0 6
    游泳 103 23.7 2
    乒乓球 69 15.9 3
    坐式排球 4 0.9 12
    轮椅篮球 0 0
    轮椅击剑 17 3.9 5
    轮椅橄榄球 0 0
    轮椅网球 0 0
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    由于我国残疾人集体竞技项目起步较晚,缺乏残疾人协作项目训练的科学理论体系与方法,且训练器材几乎都由国外进口购买,对于符合国人实情的相关器械研发相对迟缓,这在一定程度上阻碍了我国残疾人集体协作项目运动训练水平的提升.加之,纵观现有国内残疾人集体协作项目的队伍建设状况,大部分裁判员和教练员都是从健全人竞技体育中抽调或者转移过来,缺乏真正的关于残疾人运动、竞赛和组织安排等专业素养的积累.此外,运动队伍往往都为临时应付赛事而进行训练,运动员人才梯队建设匮乏,致使我国残疾人集体协作竞技项目的发展后劲不足,这成为当前影响我国残疾人竞技体育发展的重大障碍.

    中国特色举国体制对于包括残疾人竞技体育在内的我国竞技体育事业的可持续发展将起到长远的保障与推动作用[10].中国特色竞技体育举国体制不仅仅是我国体育事业自主摸索与创新下的崭新范式与有效经验模式,还是结合政府主导与民间自主发起的凝聚、调动与配置国内外有效资源的高效体系.但同时,也要秉承与时俱进的发展态度,充分总结我国残疾人竞技体育发展历史进程中举国体制所彰显的特殊作用和功能,基于现实社会背景把中国特色举国体制与原始举国体制进行有机结合,找出两者的协调内涵与共有运行机制,结合国情不断完善中国特色举国体制发展模式,克服精细化管理不足等新的弊端,推进我国残疾人竞技体育事业继续朝更高阶段发展.

    以中国特色举国体制为主导运行机制,在国家残奥管理中心的实际运作下,我国残疾人竞技体育的发展首先要厘清政府与社会的管理关系,明确各自的管辖范围和权利界限,积极探索中国残疾人联合会下设的国家残奥管理中心的事业属性与高效运转流程,大胆吸纳社会团体、企业或个人广泛参与到残疾人竞技体育事业中,真正实施残疾人竞技体育管理运作的社会化[11].突破传统健全人竞技体育的原有发展模式,充分将政府与社会办残疾人竞技体育有机结合起来,集中力量推进“政府+社会”双管齐下、互补互进的发展模式,调动社会力量的积极性与参与度,促进残疾人竞技体育任务达标,带动组织管理的综合化,资源整合的长效化和运作机制的市场化.此外,要建立良好的残疾人群众体育运动基础,倡导社会各界参与到残疾人体育事业发展中,进一步促进残疾人体育事业的社会化进程.

    纵观我国现有残疾人体育相关政策法规文件可以看出,我国残疾人体育政策法规中对残疾人体育权利的法律保障性不强,缺少对残疾人体育运动场地设施的明文规定,缺乏有效的监督机制,这对于本身社会基础保障有限的偏远地区残疾人运动员极为不利,直接导致我国残疾人体育事业发展地区水平参差不齐.从体育大局观着手,加强体育法律法规的起草、论证与征求意见,真正确保每一个公民的体育运动权利得到法律保障,切实深化我国体育场地建设的法制建设力度,把体育场地建设与政府行政管理考核直接挂钩,带动全国整体残疾人服务体系精细化构建[12].同时,还要加大对残疾人运动与运动员模范的宣传力度,利用不同的方式与媒介形态对残疾人体育进行深入报道,调动舆论力量不断推动残疾人社会保障体系中体育权利重要性的强调与保障,在舆论社交媒体的辅助下将残疾人竞技体育纳入到社会公共保障内容中,协调构建残疾人运动员与健全人运动员的训练、比赛薪金酬劳、荣誉待遇,设置全新的残疾人运动保障机制,促进残疾人竞技体育的区域协调可持续发展.

    金牌数量的增长说明我国残疾人竞技体育已经成为残疾人竞技体育大国,但离真正的残疾人竞技体育强国还有一定距离.新一轮奥运周期应该充分总结我国残疾人竞技体育发展所取得的先进经验,在中国特色举国体制的引领下,结合国际残疾人竞技体育新的发展趋势和国内发展实际,对我国残疾人竞技体育运动项目进行重新布局和结果调整,对传统金牌项目的优势应该继续保持并提高,着力培养一大批潜在优势竞技项目,不断扩充金牌分布点,对基础大项和集体项目应该实施抓龙头、注重点、抓突破的策略,一步一个脚印,扎实做好队员、队伍培育.对于至今还未在奥运会夺得过金牌与奖牌的竞赛项目要不断采取“请进来,走出去”的方针,借助外部力量结合本土实情总结中国经验,继而大力提升我国残疾人竞技体育的整体实力,真正实现我国残疾人竞技体育大国向竞技体育强国的迈进.

    全面围绕进一步提升我国残疾人集体协作项目竞技体育综合实力,不断提高残疾人集体协作项目竞技队伍的职业素质和文化素质以及专业化程度,与健全人竞技体育人才队伍建设接轨,打造残疾人集体协作项目后备人才建设工程,调配好重点人才孵化基地的布局,充分借鉴“体教结合”模式,积极探索普通学校、特殊学校和体校培养集体协作项目竞技体育发展的多元化后备人才培养路径.完善运动员、教练员的注册、管理与交流机制,规范教练员的资格认定、选拔任用、绩效考核与评价升迁等,做好运动员运动等级评定工作,构建系统完善的集体协作项目残疾人竞赛人才培养体系,促进对外交流、学习与合作,为后备人才的储备搭建良好的平台[13].此外,不断加强残疾人科研人才培育力度,要联合科研院所与生产企业,针对残疾人的具体情况,有针对性地建立集“教学、科研、训练、生产”为一体的残疾人特殊科研人才孵化基地,夯实我国残疾人集体协作项目竞技体育的多元人才基础.

    通过对我国残奥会历年成绩进行梳理,分析了我国残疾人体育事业发展现状,提出了我国残疾人体育事业发展的新路径.推动中国特色竞技体育举国体制发展,创新多元主体化发展模式,促进管理模式更加法制化,推动各地区与运动项目均衡发展,补齐项目短板,加强人才梯队储备,力助残疾人体育事业克服不利影响,乘风破浪,再接再厉,描绘中国残疾人体育事业发展宏伟蓝图,发扬中国残疾人运动员精神,让国内国外听到我国残疾人运动员声音,提高中国残疾人体育文化的影响力与竞争力,助推中华体育强国建设.

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出版历程
  • 收稿日期:  2021-10-12
  • 刊出日期:  2022-04-20

扭曲乘积形式的2维双曲Yamabe方程

    作者简介: 胡玉琪, 硕士研究生, 主要从事微分几何的研究
  • 西南大学 数学与统计学院, 重庆 400715
基金项目:  国家自然科学基金项目(11971415)

摘要: 本文通过扭曲乘积流形中一种特殊的度量形式, 即旋转对称度量, 研究了2维双曲空间在扭曲乘积R+×φS1形式下的Yamabe方程, 推导出了扭曲乘积形式的标准单位球面的Yamabe方程及其解, 并在此基础上, 通过类比找到了2维双曲Yamabe方程的一组特解.

English Abstract

  • 紧致黎曼流形上的Yamabe问题最早由文献[1]提出并证明,但文献[1]的证明存在一定缺陷,后由文献[2-3]进一步完善,最后由文献[4]完全解决.

    对于完备非紧致的流形,文献[5]通过偏微分方程研究了预定曲率问题;文献[6]研究了与双曲圆盘共形的完备度量的曲率;文献[7]研究了圆盘上具有非正曲率的完备度量;文献[8]研究了洛伦兹流形上的Yamabe问题;文献[9]通过刘维尔方程给出了2维双曲Yamabe问题的一般解,但解的形式比较复杂.

    扭曲乘积度量是微分几何中研究黎曼流形和伪黎曼流形的一种重要的度量形式,文献[10]利用Yamabe方程给出了扭曲乘积流形M×fN的数量曲率和两个因子流形MN的数量曲率之间的关系;文献[11]证明了在某些非紧乘积流形的共形类中,无穷多个具有常数量曲率的完备度量的存在性;文献[12]运用分叉定理和谱定理研究了扭曲乘积流形上Yamabe方程解的多重性.

    旋转对称度量g=dt2+φ2(t)dSn-12是一类特殊的扭曲乘积度量,我们可以通过旋转对称度量来研究2维双曲空间的Yamabe问题. 首先,我们给出了扭曲乘积流形R+×φS1上的Yamabe方程;其次,将标准球面上一般的Yamabe方程的解转化为扭曲乘积形式下Yamabe方程的解;最后,通过类比,找到了扭曲乘积形式下2维双曲Yamabe方程的一组特解.

  • B=(BmgB)和F=(FngF)是两个黎曼流形,考虑乘积流形B× F及自然射影ρB×FBηB× FF.

    定义1   如果乘积流形M=B× F上的度量g满足

    其中XY是乘积流形上任意一对向量场,则称g为扭曲乘积度量,函数φB上正的光滑函数,称为扭曲函数. 我们将此度量简记为g=gB+φ2gF,将具有此度量的乘积流形称为扭曲乘积流形,记为B×φF.

    特别地,当BR+上的开区间IFRn中标准单位球面Sn-1时,扭曲乘积流形I×φSn-1上的度量

    称为旋转对称度量.

    φ=snk(t)是方程组

    的唯一解,以snk(t)为扭曲函数,可得旋转对称度量的一组单参数族dt2+sn2k(t)dS2n1[13].

    k=0时,snk(t)=t,流形R+×tSn-1与欧氏空间(Rnξ)等距,其中ξ为标准欧氏度量.

    k=1时,snk(t)=sint,考虑映射

    可以验证G是一个等距映射,因此流形R+×sintSn-1与标准单位球面(Snh)等距,其中h是球面Sn上的标准度量[13].

    k=-1时,snk(t)=sinht,可以证明流形R+×sinhtSn-1与双曲空间(Hnh1)等距,其中h1为双曲空间上的标准度量(引理1).

    流形(Mng) 上的拉普拉斯算子定义为

    对任意的函数fC(M),在局部坐标图下,有

    SgS˜g分别表示在度量g˜g下的数量曲率,当n=2时,设˜g=eug,uC(M),则

    n≥3时,设˜g=v4n2g,vC(M),v>0,则

    取球面上的北极点N(0,…,0,1) 为投影中心,通过球极投影

    球面上标准度量h表示为[14]

    ϕ是(Snh)到它自身的共形微分同胚,则ψ=πϕπ1是(Rnξ)上的共形微分同胚,从而可写为

    其中AO(n),B是平移变换,记B(x)=π(x)+aC是伸缩变换,记C(x)=λπ(x),λ≠0. 通过计算可得

    因此得球面上的共形变换[3]

    我们知道,标准双曲空间(Hncan)有3个常用的模型,分别为双曲面模型(Hnh1)、庞加莱球模型(Bnh2)和庞加莱半空间模型(Unh3). 取Rn+1中双叶双曲面下半支的顶点S(0,…,0,-1)为投影中心,通过双曲球极投影

    双曲空间Hn上的度量h1表示为[14]

  • 取(Hnh1)作为我们所用的模型,它是在坐标(τξ1,…,ξn)中由方程τ2-|ξ|2=1定义的Rn+1中的双叶双曲面的上半支,具有度量

    其中ιHnRn+1是包含映射,m=-(dτ)2+(dξ1)2+…+(dξn)2Rn+1上的Minkowski度量.

    引理1   映射

    是一个等距映射.

       设z=(z1z2,…,zn)为标准单位球面Sn-1上的任意一点,由z12+z22+…+zn2=1得

    从而

    引理1得证.

    下面我们要写出扭曲乘积流形上的Yamabe方程,为此,先给出扭曲乘积形式下的拉普拉斯算子.

    引理2   在扭曲乘积流形(Mng)=(R+×Sn-1,dt2+φ2(t)dSn-12)上,对任意的函数fC(MR),有

       首先,黎曼度量g在局部坐标图下可表示为

    其中

    从而gij=gijt=1φ2hij. 由(1)式可得

    再由

    可得

    因为iφ=0,则

    整理即得

    引理2得证.

    特别地,当n=2时,在标准单位圆周S1的极坐标下,Δhf=2fθ2,故扭曲乘积流形R+×φS1上的拉普拉斯算子为

    引理3[13]   (Mng)=(R+×Sn-1,dt2+φ2(t)dSn-12)的数量曲率为

    根据(2),(6),(7)式,扭曲乘积流形R+×φS1上的Yamabe方程可写为

    其中μ为常数.

    下面讨论当φ取特殊的函数snk(t)时,扭曲乘积流形(R+×S1,dt2+snk2(t)dS12)上的Yamabe方程及其解.

    k=0时,扭曲乘积流形R+×tS1是与R2等距的,而R2的数量曲率为0,设˜g=eug是该扭曲乘积流形上的共形变换,那么Yamabe方程可写为

    我们知道,(R2ξ)上的共形变换即为相似变换,共形因子为常值函数,而常值函数恰好是我们所给方程的一组解.

    k=1时,扭曲乘积流形R+×sintS1是与标准单位球面S2等距的.

    定理1   扭曲乘积流形R+×sintS1上的Yamabe方程为

    该方程在μ=2时具有如下形式的解:

    其中λR+aR2zS1.

      设˜g=eugR+×sintS1上的共形变换,将φ(t)=sint代入方程(8)可写出˜g具有常数量曲率2的Yamabe方程

    考虑等距映射

    z=(cosθ,sinθ)表示单位圆周S1上的任意一点. 那么x=(sintcosθ,sintsinθ,cost)表示S2上的任意一点,由(4)式可得共形因子

    它是我们所给的Yamabe方程的解,定理1得证.

    k=-1时,扭曲乘积流形R+×sinhtS1是与双曲空间(H2h1)等距的. 在双曲球极投影πH2B2下,(π1)h1=4(1|π(x)|2)2ξ,这样的度量形式与上述标准单位球面的度量形式是类似的,且双曲空间的扭曲乘积形式与一般形式之间的等距和球面的情形也是类似的,因此我们可以仿照扭曲乘积形式下标准单位球面的Yamabe方程及其解的形式写出扭曲乘积形式下2维双曲Yamabe方程及其特解.

    定理2   扭曲乘积流形R+×sinhtS1上的Yamabe方程为

    该方程在μ=-2时具有如下形式的解:

    其中λR+aR2λ2+|a|2 < 1,zS1.

       设˜g=eugR+×sinhtS1上的共形变换,将φ(t)=sinht代入方程(8)可写出˜g具有常数量曲率-2的Yamabe方程

    仿照标准单位球面上的共形变换(4),我们构造双曲空间上的共形变换为

    考虑等距映射

    z=(cosθ,sinθ)表示单位圆周S1上的任意一点. 那么x=(sinhtcosθ,sinhtsinθ,cosht)表示H2上的任意一点,由(9)式可得共形因子

    可以验证它是我们所给方程的一组解,定理2得证.

    我们利用扭曲乘积流形研究了2维双曲Yamabe方程及其特解,但要推广到更高维的双曲空间,甚至更一般的扭曲乘积流形还需要进一步地开展研究.

参考文献 (14)

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