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文献[1]提出了Yamabe问题：在每个m(≥3)维紧致无边黎曼流形(M，g)上，是否存在一个与g共形且具有常数量曲率的度量? 经过文献[1-4]的研究，Yamabe问题得到了彻底的解决，并由此带来几何分析中一系列新的进展[5].
长期以来，Yamabe问题的研究主要围绕着不带边界的紧致黎曼流形进行[6-7]，得到了令人满意的结果. 对于带非空边界的紧黎曼流形，是否也有相应的Yamabe问题呢? 文献[8]研究了紧致带边流形上的Yamabe问题. 文献[9]通过构造局部测试函数，给出了在带边流形上的Yamabe问题的一个存在定理. 文献[10-11]也讨论了具有正Ricc曲率和凸边界的紧黎曼流形的相关问题.
本文研究球冠上的Yamabe问题，利用局部嵌入以及两次球极投影[12]，将标准球面上的度量诱导到球冠边界上，得到球冠边界的度量[13]；提出了球冠上的一类带边界条件的Yamabe方程，并且得到了该方程的一组解.
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球极投影σ：Sn-{N}→
$\mathbb{R}$ n将Sn上(除北极点N外)任意一点P(ξ1，…，ξn，τ)通过北极点N(0，…，0，1)映照到欧氏空间$\mathbb{R}$ n上的一点U(u1，…，un). 我们知道，σ-1可写为其中
$|u|^{2}=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(u^{i}\right)^{2}$ .在球极投影下，球面上的标准度量表示为
其中ξE是欧氏空间上的标准度量. 在欧氏空间
$\mathbb{R}$ n的笛卡尔坐标系下，ξE=δαβduα⊗duβ，从而我们知道，数量曲率在共形变换
$\tilde{g}=\psi^{\frac{4}{n-3}} g$ 下的变换公式为球面的标准度量h是一个Einstein度量，任何与h共形且具有常数量曲率的度量也是Einstein度量. 由于这个度量的Weyl曲率是0，因此它具有常截面曲率. 所以这个度量与标准度量是等距的. 我们利用标准球面Sn上的球极投影，以及
$\mathbb{R}$ n上的伸缩、平移、旋转变换，构造出球面Sn上的共形变换，从而得到以下结果：若(Sn，h)是维数n≥3的标准单位球面，设
$g=\phi_{0}^{\frac{4}{n-2}} h \in[h]$ . 标准单位球面上的Yamabe方程为该方程在λ=n(n-1)时具有标准解
其中β>1，x0是球面上的一点[14].
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如图 1，令球冠M的半径为r(r≤1)，其边界为∂M. 令h是球面上的标准度量在球冠上的限制，g=φ*h是通过包含映射φ：∂M→M得到的球冠边界上的诱导度量.
第一次球极投影σ以N(0，…，0，1)为投影中心，将点Q(x1，…，xn，
$-\sqrt{1-r^{2}}$ )映到点Q′(u1，…，un，0)，计算得到第二次球极投影
$\tilde{\sigma}$ 以$ N^{\prime}\left(0, \cdots, r, -\sqrt{1-r^{2}}\right)$ 为投影中心，将球冠边界上任意一点Q(x1，…，xn，$-\sqrt{1-r^{2}}$ )映到点Q″(v1，…，vn-1，0，$-\sqrt{1-r^{2}}$ )，计算得到引理1 设hαβ(α，β=1，…，n)是球面Sn上标准度量h在球极投影σ下的分量，gij(i，j=1，…，n-1)是h球冠边界∂M的诱导度量g在球极投影
$\tilde \sigma $ 下的分量，则证 将球极投影(6)，(7)式进行复合，得到包含映射φ：∂M-{N′}→Sn-{N}的表达式
则
计算得到
由于g=φ*h，所以
而
$h_{\alpha \beta}=\frac{4}{\left(|u|^{2}+1\right)^{2}} \delta_{\alpha \beta}$ ，其中$|u|^{2}=\sum\limits_{\alpha=1}^{n}\left(u^{\alpha}\right)^{2}$ ，故引理1得证.
我们接下来考虑球冠边界上Yamabe方程的解. 如果在球冠(M，h)上给出一个h的共形度量
$\tilde h=\phi^{\frac{4}{n-2}} h$ ，则在球冠(M，h)上的Yamabe方程为这个方程在h是球面标准度量的情况下是有标准解的. 由引理1可知，在给出h的共形度量下，球冠边界也诱导出相应的共形度量
由于球冠边界比球冠低一维，于是令
$\bar{\phi}(x)=\phi^{\frac{n-3}{n-2}}(x), x \in \partial M$ ，那么所以在边界(∂M，g)上，Yamabe方程为
定理1 对于球冠M(n=dim M≥4)，带边界条件的Yamabe方程
有解，其中λ，λ是常数，
$\bar{\phi}(x)=\phi^{\frac{n-3}{n-2}}(x), x \in \partial M$ .证 由球冠边界的度量，我们很容易得到球冠边界(∂M，g)(n=dim M≥4)的数量曲率Sg. 由(1)式与引理1可知
令
由(6)式可知，在球冠边界上
$|u|^{2}=\frac{r^{2}}{\left(1+\sqrt{1-r^{2}}\right)^{2}}$ ，因此A是常数. 令从而可得
考虑共形变换
$g_{i j}=\psi^{\frac{4}{n-3}} \delta_{i j}$ . 我们知道，欧氏空间的数量曲率SξE=0，所以欧氏空间的拉普拉斯算子由(3)式得到球冠边界的数量曲率
我们知道，标准球面Sn上的Yamabe方程具有标准解
其中β>1，x0是与球面上北极点相关的点，x是球面上任意一点. 那么这个解同样适用于球冠(Mn，h)上，即满足
其中λ=n(n-1).
当这个共形变换只由伸缩、旋转生成时，易知x0为北极点N或南极点S，此时ϕ0是旋转对称的. 当限制在球冠边界∂M上时，ϕ0为常数，记为Λ，从而
因此Δgϕ0=0. 从而
由(14)式可知
即在球冠边界∂M上，满足
其中
我们将流形内部的几何性质与边界的几何性质相联系，提出了球冠上的Yamabe方程的一类边界条件，利用球面Yamabe方程的解，构造出球冠上相应边值问题的解. 这样的结果能否推广到一般的带边界流形以及如何推广，还有待进一步研究.