考虑基于网络的非线性时延系统(图 1).

规则i：如果z₁(t)为M₁ⁱ，z₂(t)为M₂ⁱ，…，z_n(t)为M_nⁱ，则

其中：z(t)=[z₁(t) z₂(t) … z_n(t)]^T是前件变量，x(t)∈ $\mathbb{R}^m$是系统状态向量，u(t)∈R^m是控制输入向量，M_kⁱ(i=1，2，…，r；k=1，2，…，n)是模糊集，r是模糊规则数. n是模糊集个数. A_i，A_hi，B_i，G_i是具有合适维数的常数矩阵，φ(t)=[φ₁(t) φ₂(t) … φ_n(t)]^T∈$\mathbb{R}^n$是定义在区间[-h，0]上的初值函数，h是状态时延，ω(t)∈R^l满足如下条件的外部干扰

利用模糊逼近理论^[9]，得到全局T-S模糊控制系统如下

其中μ_i(z(t))满足

注1   模型(3)是利用T-S模糊方法对网络系统模型的重构. 实际网络工程中，被控对象及其网络闭环都存在一些不确定性甚至非线性项，T-S模糊方法的引入把复杂网络系统转化为耦合的线性微分方程组形式，极大地降低了系统分析难度，而且T-S模糊系统具有较为成熟的设计方法，因此网络系统的T-S模糊模型(3)具有较强的实际应用价值.

基于实际工程背景，为了简化分析，设τ_sc是传感器到控制器的传输时延，τ_ca是控制器到执行器的传输时延，τ=τ_sc+τ_ca为网络诱导时延.

受网络诱导时延影响，得到：

本文旨在设计如下状态反馈的模糊控制器

把控制器(5)代入系统(4)，得到闭环系统

系统状态的初始条件为x(t)=ψ(t)，其中ψ(t)是定义在区间[-h，0]上的光滑函数，h=max{τ，h}，从而存在一个正数ψ满足

本文的设计目的是探寻能使系统(6)的状态在有限时间区间[0，T]内稳定的状态反馈控制器存在的充分条件.

定义1^[9]   对给定的正常数c₁，c₂，T(c₁＜c₂)和正定矩阵R如果

则时延网络系统(6)(设ω(t)≡0)是(c₁，c₂，T，R)有限时间稳定的.

定义2^[9]   对给定的正常数c₁，c₂，T(c₁＜c₂)和正定矩阵R，如果存在状态反馈控制器(5)使得下面条件成立

则时延网络控制系统(6)是可(c₁，c₂，T，R，d)有限时间镇定的.

定理1   对给定的正数c₁，c₂，T(c₁＜c₂)和正定矩阵R∈ $\mathbb{R}^{n \times n}$，如果存在常数α≥0，正定矩阵P∈$\mathbb{R}^{n \times n}$，Q∈$\mathbb{R}^{n \times n}$，T∈$\mathbb{R}^{n \times n}$，S∈$\mathbb{R}^{l \times l}$，矩阵K_i∈$\mathbb{R}^{m \times n}$使得如下矩阵不等式成立

其中Ξ$=\boldsymbol{P A} _i+\boldsymbol{A}_i^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}+\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{T}-\alpha \boldsymbol{P}, \widetilde{\boldsymbol{P}}=\boldsymbol{R}^{-\frac{1}{2}} \boldsymbol{P } \boldsymbol{R}^{-\frac{1}{2}}, \widetilde{\boldsymbol{Q}}=\boldsymbol{R}^{-\frac{1}{2}} {\boldsymbol{Q}} \boldsymbol{R}^{-\frac{1}{2}}, \widetilde{\boldsymbol{T}}=\boldsymbol{R}^{-\frac{1}{2}} T \boldsymbol{R}^{-\frac{1}{2}}$，λ_max()和λ_min()分别代表矩阵的最大、最小特征值，则时延网络系统(6)可通过状态反馈实现(c₁，c₂，T，R，d)有限时间稳定.

证   对系统(6)，构造Lyapunov泛函

沿系统(6)的状态变化轨迹，V(x(t))导数如下

其中

由条件(9)，可得

在(12)式两边同时乘以e^-αt，得到

从而

进一步对两边从0到t∈[0，T]进行积分，得到

由于α≥0，$\widetilde{\boldsymbol{P}}=\boldsymbol{R}^{-\frac{1}{2}} {\boldsymbol{PR}}^{-\frac{1}{2}}, \widetilde{{\boldsymbol{Q}}}={\boldsymbol{R}}^{-\frac{1}{2}} {\boldsymbol{Q}} {\boldsymbol{R}}^{-\frac{1}{2}}, \widetilde{{\boldsymbol{T}}}={\boldsymbol{R}}^{-\frac{1}{2}} {\boldsymbol{TR}}^{-\frac{1}{2}}$，容易得到如下式子

另外，也可以得到

由(14)和(15)式得到

由条件(10)和不等式(16)可知

定理2   对给定的正数c₁，c₂，T(c₁＜c₂)和正定矩阵R∈ $\mathbb{R}^{n \times n}$，如果存在常数α≥0，λ_i＞0，i=1，2，3，4，正定矩阵X∈$\mathbb{R}^{n \times n}$，Q∈$\mathbb{R}^{n \times n}$，T∈$\mathbb{R}^{n \times n}$，S∈$\mathbb{R}^{l \times l}$和矩阵K∈$\mathbb{R}^{m \times n}$使得下面线性矩阵不等式成立

其中

则网络系统(6)在状态反馈控制u(t)=KX^-1x(t)作用下是(c₁，c₂，T，R，d)有限时间稳定的.

证   用对角阵diag{P^-1，P^-1，P^-1，I}左乘和右乘不等式(9)，得到

其中

令$\boldsymbol{X}=\boldsymbol{P}^{-1}, \overline{\boldsymbol{K}}_j=\boldsymbol{K}_j \boldsymbol{P}^{-1}, \bar{\boldsymbol{Q}}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{P}^{-1}, \overline{\boldsymbol{T}}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{T} \boldsymbol{P}^{-1}$，则不等式(23)等价于不等式(17).

另外，令$\widetilde{\boldsymbol{X}}={\boldsymbol{R}}^{-\frac{1}{2}} {\boldsymbol{XR}} ^{-\frac{1}{2}}, \widetilde{{\boldsymbol{Q}}}={\boldsymbol{R}}^{-\frac{1}{2}} {\boldsymbol{QR}}^{-\frac{1}{2}}, \widetilde{{\boldsymbol{T}}}={\boldsymbol{R}}^{-\frac{1}{2}} {\boldsymbol{R}} {\boldsymbol{R}}^{-\frac{1}{2}}$，由于R是正定矩阵，所以有

由不等式(18)-(21)可知

由Schur引理可知不等式(22)等价于

由(24)式和条件(10)可得

把(25)式代入(26)式可知不等式(10)成立.

注2   定理1和定理2中的条件对于α，c₂都不是线性的，因为它们以非线性方式出现. 然而，一旦我们固定α，它们可以变成基于线性矩阵不等式的可行性问题，并可通过MATLAB软件进行求解.

算例1  考虑形如(6)式的非线性网络系统

其中

求解线性矩阵不等式(17)，得到增益矩阵

选取权重函数

得到状态反馈控制器(5)如下：

为了对系统状态进行模拟仿真，选择初始状态为

图 2中系统状态x₁(t)的曲线在开始的几秒内虽然有振动，但是超调很小，振动的频率也不是很高，而且能在7 s之内收敛到并保持在0附近.

图 3中系统状态x₂(t)的曲线在开始的几秒内有振动，但是振动的频率较低，虽然超调较大，但是出现大的超调的次数只有1次，系统状态能在8 s之内收敛到并保持在0附近.

图 4中的状态x₃(t)的曲线基本上没有出现振动或者超调现象，曲线的平滑性和收敛速度都非常好，在4 s之内收敛到并保持在0附近. 综上所述，本文设计的状态反馈模糊控制方法对所考虑的非线性网络系统具有较好的控制效果.

算例2   移动机械手系统是通过把一个机械手固定安装在移动平台上构成，能够应用于各种危险环境作业的生产过程. 机械手的工作空间由移动平台决定，通过调节移动平台的移动空间调节机械手的作业空间. 由于机械手和移动平台具有不同的动力学特性，而且具有较为复杂的耦合性. 我们将把本文得到模糊系统的有限控制方法应用到基于网络的移动机械手系统，验证研究结果的可行性.

利用拉格朗日方法对移动机械手系统建立系统的动力学模型，采用文献[6]中的建模过程可以得到系统的T-S模糊系统如下：

在此基础上我们考虑基于网络的移动机械手系统常常会受到网络诱导时延和外界干扰的影响，因此在上述名义系统的基础上增加网络诱导时延和外界干扰项.

其中$\boldsymbol{x}(t)=\left(\begin{array}{llllll} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_5 & x_6 \end{array}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{llllll} \dot{x}_p & \dot{y}_p & \dot{\theta}_1 & \dot{\theta}_2 & \dot{\theta}_3 & \dot{\theta}_4 \end{array}\right)^{\mathrm{T}}, x_p, y_p$分别是移动平台在水平和竖直方向上的位移，θ₁，θ₂，θ₃，θ₄分别是4个角度变量.

由于系统变量较多，为了减少计算量，选取r=2. 给定系统矩阵和相关参数如下

求解线性矩阵不等式(17)，得到状态反馈控制器

选择初始状态φ(t)=[2-23-35-5]^T，得到系统状态的响应曲线如下

从图 5中可以看出，整体上系统的6个状态变量的收敛性、快速性、平稳性较好，超调也不算大. 所有状态在10 s内收敛到0，尤其状态x₁(t)，x₃(t)，x₆(t)在5 s之内基本收敛到0. 状态x₁(t)，x₂(t)，x₃(t)，x₆(t)的平稳性较好，没有出现高频的震荡现象. 状态x₃(t)，x₆(t)基本上没有超调，其余状态虽然有超调但是超调相对较小，均在可接受范围内. 总之，本文设计的模糊控制方法对此类状态较多的控制系统具有良好的控制效果，说明了该设计方法的可行性和有效性.

本文针对一类基于网络的非线性系统，利用模糊系统建模方法和有限时间控制技术，给出了非线性网络系统模糊建模与有限时间控制的设计方法. 以线性矩阵不等式形式给出系统有限时间稳定的充分条件，可以利用MATLAB工具进行求解，具有较强的实际应用价值. 本文的研究结果还可以推广应用于多时延网络系统的控制设计中. 本文研究的不足在于：①被控系统中的状态时延和网络诱导时延是常数，而且没有考虑不确定性的影响；②研究得到的有限时间稳定性条件是时延独立的，具有一定的保守性. 由于考虑的是有限时间稳定性，要得到时延依赖的稳定性条件，Lyapunov函数的设计将更加复杂，时延依赖条件的探索将更加困难，具有一定的挑战性. 下一步研究重点是考虑带有不确定性和时变时延的网络系统的有限时间控制问题，并进一步探索保守性更小的时延依赖有限时间稳定性条件.