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对特殊子群的研究一直是有限群论中的一个热门课题. 例如文献[1-6]通过研究交换子群、极大交换子群、循环子群等，得到了群的性质与结构. 群的交换性是群结构复杂程度的一个重要体现，而群中元素的中心化子也与群的交换性有密切联系，并且对群结构有着很大的影响.
如果对于任意x∈G\Z(G)，都有CG(x)交换，则群G被称为CA-群. CA-群在群结构的研究中有着非常重要的作用，关于CA-群的研究也是人们一直十分感兴趣的问题. 文献[7]证明了CA-群是单群或者可解群. 文献[8]构造出了偶数阶CA-单群. 文献[9]证明了偶数阶CA-群是Frobenius-群、交换群或特殊射影线性群PSL(2，2m)，其中m>2. 文献[10-11]研究了根据群的阶去判定CA-群. 文献[12-15]研究了根据中心化子的个数去确定群的结构.
本文继续进行这方面的研究，得出结论：若|G|=2p2q，其中p < q为奇素数，p
$\nmid$ q-1，则群G的Sylow q-子群正规(定理1)，且群G是CA-群(定理2). 有群例说明条件p$\nmid$ q-1不可省略(例2).为了便于证明本文的结论，下面给出几个相关的引理：
引理1[14] 设p为有限群G的最小质因子，如果G的Sylow p-子群循环，则G有正规p-补.
引理2[15] 设G是一个群，如果G/Z(G)是循环群，则G是交换群.
引理3[16] 对于素数p < q，若p
$\nmid$ q-1，则pq阶群是循环群.引理4[10] 如果|G∶Z(G)|=pqr，则群G是CA-群，其中p，q，r是素数(p，q，r可以相同).
本文所涉及的群都是有限群，所用符号都是标准的.
有了前面的预备知识，现在可以对本文的主要结论进行证明.
定理1 若|G|=2p2q，其中p < q为奇素数且p
$\nmid$ q-1，则群G的Sylow q-子群正规.证 群G的Sylow p-子群的个数np=1+ap，np|2q. 由条件q为奇素数，p
$\nmid$ q-1可知np≠2，q. 下面对np的值分情况讨论.如果np=1，此时G的Sylow p-子群只有一个，记为P，P
$ \unlhd $ G. 设Q∈Sylq(G)，则PQ=P$ \rtimes $ Q. 考虑Q在P上的作用，若P为p2阶循环群，则若P为(p，p)型初等交换p-群，则
而(|Q|，|Aut(P)|)=1，故Q在P上作用平凡，因此PQ=P×Q. 又因|G∶PQ|=2，从而有Q char PQ
$ \unlhd $ G，则Q$ \unlhd $ G，结论成立.如果np=1+ap=2q，考虑G的Sylow q-子群的个数nq=1+bq，nq|2p2. 由条件p < q为奇素数可知nq≠2，p.
若nq=1+bq=p2，则q|p2-1，即q|(p+1)(p-1)，与p，q均为奇素数矛盾.
若nq=1+bq=2p2，此时G中q阶元的个数为2p2(q-1)=2p2q-2p2，G中只剩下2p2个元. 而此时G有2q个Sylow p-子群，分别记为Pi(i=1，2，…，2q，2q>3)，它们最少需要的元素个数不小于
矛盾.
若nq=1+bq=2p，此时np=1+ap=2q，从而有
其中a，b为正整数，q≥5为奇素数. 此等式只有在a=3，b=1，q=5时才可能成立，在此种情况下有
由引理1可知G有正规2-补，记为H. |H|=32·5，H的Sylow 5-子群的个数为1+5k|32，则H只有唯一的Sylow 5-子群，记为M. 从而有M char H
$ \unlhd $ G，则M$ \unlhd $ G，即90阶群的Sylow 5-子群正规，结论成立. 若nq=1，则Q$ \unlhd $ G，结论成立.综上所述，群G的Sylow q-子群正规.
定理2 设|G|=2p2q，其中p < q为奇素数且p
$\nmid$ q-1，则群G是CA-群.证 反证法. 若群G不是CA-群，则存在x∈G\Z(G)，有CG(x)不交换. 由x∈G\Z(G)，可知Z(G)
$ \not\subseteq $ 〈x，Z(G)〉. 又根据CG(x)不交换，可知Z(CG(x))$ \not\subseteq $ CG(x)，从而可以得到一个子群链，即当|Z(G)|>1时，由(1)式可知CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数，则是循环群. 根据引理2知CG(x)交换，矛盾.
当|Z(G)|=1时，〈x，Z(G)〉=〈x〉，此时子群链变为
接下来考虑x的阶. 当x的阶为合数时，由(2)式可知CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数，则它必为循环群，故CG(x)交换，矛盾. 当x的阶为素数时，若〈x〉≠Z(CG(x))，则CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数，则为循环群，故CG(x)交换，矛盾. 因此只需考虑x的阶为素数且〈x〉= Z(CG(x))，即CG(x)/Z(CG(x))的阶为两个素因子的情况.
下面对|x|的值分情况讨论.
情形1 |x|=2.
因为|x|||CG(x)|，则|CG(x)|=2pq，2p2.
若|CG(x)|=2pq，则有
又因p
$\nmid$ q-1，则根据引理3可知CG(x)/Z(CG(x)) 为循环群，又根据引理3知CG(x)交换，矛盾.若|CG(x)|=2p2，则有CG(x)=HK，其中H，K分别为CG(x)的Sylow 2-子群和Sylow p-子群. 又因为H≤Z(CG(x))，则CG(x)=H×K，故CG(x)交换，矛盾.
情形2 |x|=p.
此时|CG(x)|=p2q，2pq，2p2.
若|CG(x)|=p2q，则有
根据上面的讨论可知CG(x)/Z(CG(x))为循环群，故由引理2可知CG(x)交换，矛盾.
若|CG(x)|=2pq，由|x|=p可知〈x〉包含在某个Sylow p-子群内，记为P，|P|=p2，因此CG(x)为交换群. 又因〈x〉
$\subseteq$ P，则x与P中的元可交换，则有P$\subseteq$ CG(x)，故|P|||CG(x)|，即p2|2pq，矛盾.若|CG(x)|=2p2，由定理1可知G有唯一Sylow q-子群，记为Q，Q
$ \unlhd $ G，则Q〈x〉为G的pq阶子群，由引理3知Q〈x〉为pq阶循环群，则Q中的元与x可交换，故Q$\subseteq$ CG(x)，|Q|||CG(x)|即q|2p2，矛盾.情形3 |x|=q.
此时|CG(x)|=p2q，2pq.
若|CG(x)|=p2q，则有CG(x)=PQ，其中P，Q分别为CG(x)的Sylow p-子群和Sylow q-子群. 又因为Q≤Z(CG(x))，则CG(x)=P×Q，故CG(x)交换，矛盾.
若|CG(x)|=2pq，根据上面的讨论可知
其中〈y〉为CG(x)的pq阶正规子群，|a|=2. 考虑〈a〉在〈x〉和〈y〉上的共轭作用，因为〈x〉= Z(CG(x))，则xa=x. 如果ya=y，则
则CG(x)交换，矛盾. 如果ya=y-1，又因为x=yp，则
与xa=x矛盾.
综上所述，群G是CA-群.
由定理2可得到如下群例：
例1 因为3
$\nmid$ 5-1，所以，若|G|=2·32·5=90，则群G是CA-群.下面例子说明定理2中的条件p
$\nmid$ q-1不可缺少.例2 构造一个群
从而
由定义关系可知d∈G\Z(G)，a，c∈CG(d). 而a，c不交换，故CG(d)是非交换群，则群G不是CA-群.
A Kind of CA-Groups of Order 2p2q
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摘要: 如果对于任意x∈G\Z(G)，都有CG(x)交换，则称群G为CA-群. 通过反证法，证明了2p2q阶群是CA-群，其中p < q为奇素数，p$\nmid$q-1.Abstract: If CG(x) is commutative for any x∈G\Z(G), then the group G is called a CA-group. It is proved in this paper that the group of order 2p2q is a CA-group by using reduction to absurdity, where p < q are all odd primes and p$\nmid$q-1.
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Key words:
- CA-group /
- centralier /
- Sylow subgroup /
- direct product .
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