考察下列四阶非线性微分方程两点边值问题(BVP)正解的存在性：

其中非线性项f：[0, 1]×[0，+∞)→[0，+∞)连续，如果u∈C[0，1]，u(t)>0，t∈[0, 1]，并且满足(1)式，则称u为(1)式的一个正解.

梁是工程建筑的基本构件之一，弹性力学和工程物理中常用四阶常微分方程边值问题来刻画弹性梁的平衡状态.根据梁的两端支撑条件不同，会得到不同的四阶边值问题.由于这类问题的普遍性和重要性，四阶两点边值问题和多点边值问题受到广泛关注，相关研究也获得了许多深刻的结果^[1-8].对于两端简单支撑的弯曲弹性梁的平衡状态可用四阶两点边值问题(1)来描述，近年来有较多文献研究了其正解的存在性^[9-12].但是所得正解充分性条件与四阶两点边值问题(1)相应线性问题的第一特征值之间并没有建立起联系.线性全连续算子的特征值是非常重要的具有实际意义的指标，在边值问题正解及多个正解存在性的研究中是一个很本质的量.受文献[13]启发，本文用相应线性算子第一特征值取代超线性及次线性条件中的0和∞，减弱了超线性及次线性条件，该条件中所涉及的值是最优的，因而推广和改进了文献[9-12]的相关结论.

边值问题

的Green函数为

以下总假设E=C[0, 1]中，范数由‖u‖=max_0≤x≤1|u(x)|定义，则(E，‖·‖)构成一个Banach空间.令P={u∈C[0, 1]|u(t)≥ 0，t∈[0, 1]}，于是P是E中的一个正锥.有关锥理论和不动点指数的概念与性质见专著[14].

定义非线性算子A和线性算子B如下：

参考文献[1]的引理2，容易证明A，B：P→P是全连续算子，并且u∈C[0, 1]为边值问题(1)的解当且仅当u是A的不动点.

引理1    Green函数具有以下性质：

(1) G(t，s)在[0, 1]×[0, 1]上连续非负对称；

(2) $\frac{1}{6}$t(1－t)s(1－s)≤G(t，s)≤$\frac{1}{3}$t(1－t)s(1－s)，∀t，s∈[0, 1]

证    结论(1)明显成立.对任意满足0≤t≤s≤1的t，s，有

另一方面，有

即(2)对任意满足0≤t≤s≤1的t，s成立.类似可证对任意满足0≤s≤t≤1的t，s也成立.

引理2^[14]    设E是Banach空间，P是E中的锥，Ω是P中的有界开集.假设A：P∩Ω→P是全连续算子，如果存在u₀∈P\{θ}，使得u－Au≠μu₀，∀u∈P∩∂Ω，μ≥ 0，则不动点指数i(A，P∩Ω，P)=0.

引理3^[14]    设E是Banach空间，P是E中的锥，Ω是P中的有界开集，假设A：P∩Ω→P是全连续算子，如果Au≠μu，∀u∈P∩∂Ω，μ≥ 1，则不动点指数i(A，P∩Ω，P)=1.

引理4^[15]    设E是Banach空间，算子B：E→E全连续且B(P)⊂P，若存在ψ∈E\(－P)及一个常数c>0，使得cBψ≥ ψ，则B的谱半径r(B)≠0，并且B有对应于第一特征值λ₁=(r(B))^－1的正特征函数φ，满足φ=λ₁Bφ.

引理5    设线性算子B由(4)定义，则B的谱半径r(B)≠0，并且B有对应于第一特征值λ₁=(r(B))^－1的正特征函数.

证    ∀t∈[0, 1]，取ψ(t)=t(1－t)，c=($\int_0^1 {\frac{1}{6}} $s²(1－s)²ds)^－1=44>0，由引理1有Bψ(t)=∫₀¹G(t，s)s(1－s)ds≥$\int_0^1 {\frac{1}{6}} $t(1－t)s²(1－s)²ds=t(1－t)$\int_0^1 {\frac{1}{6}} $s²(1－s)²ds=c^－1ψ(t)

即

因此，由引理4知r(B)≠0，并且B有对应于第一特征值λ₁=(r(B))^－1的正特征函数.

引理6    若φ^*∈P是B相应于第一特征值λ₁的正特征函数，则

(1) 存在常数δ>0，使得φ^*(s)≥ δG(t，s)

(2) 令P₁={φ∈P|∫₀¹φ^*(t)φ(t)dt≥ λ₁^－1δ‖φ‖}，则P₁是C[0, 1]中的锥，B(P)⊂P₁.

证    (1)因为φ^*∈P是B相应于第一特征值λ₁的正特征函数，由引理1得

所以∫₀¹t(1－t)φ^*(t)dt>0，于是令δ=2λ₁∫₀¹t(1－t)φ^*(t)dt，有

(2) 注意到λ₁∫₀¹G(s，t)φ^*(s)ds=λ₁∫₀¹G(t，s)φ^*(s)ds=λ₁Bφ^*(t)=φ^*(t)，所以对于∀φ∈P，有

所以∫₀¹φ^*(t)(Bφ)(t)dt≥ λ₁^－1δ‖Bφ‖，即B(P)⊂P₁.

定理1    设f(t，u)在[0, 1]×[0，+∞)上非负连续，并且满足

其中λ₁是由(4)定义的线性算子B的第一特征值，则边值问题(1)至少有一个正解.

证    由(5)式，存在0 < r < R，使得

如果存在u₂∈P∩T_r，μ₁≥ 1，使得Au₂=μ₁u₂，不妨设μ₁>1，否则定理得证.故

设φ^*∈P是B相应于第一特征值λ₁的正特征函数.在(7)式两端乘以φ^*后再积分，结合λ₁∫₀¹G(s，t)φ^*(s)ds=λφ^*(t)，有

因为φ^*(t)>0，u₂(t)>0，所以(8)式意味着μ₁≤1，矛盾.根据引理3知

由(6)式，当u充分大时，存在ε>0，b≥ 0，使得

取R=(εδ)^-1λ₁b∫₀¹φ^*(t)dt，其中δ和φ^*由引理6定义.

下面证明

其中φ^*∈P相应于第一特征值的正特征函数.如若不然，假设存在μ^*≥ 0及u^*∈∂T_R∩P，使得

由(10)式，

从而

由于A(P)⊂P₁，B(P)⊂P₁，φ^*∈P，u^*∈∂T_R∩P，所以φ^*=λ₁^－1Bφ^*∈P₁，Au^*∈P₁，由(12)知u^*∈P₁，于是由引理6，有

但是另一方面，由(12)式可得∫₀¹φ^*(t)u^*(t)dt－∫₀¹φ^*(t)(Au^*)(t)dt=μ^*∫₀¹φ^*(t)u^*(t)dt≥0，矛盾.所以根据引理2

由(8)式和(13)式可得

这表明A在(T_R∩P)\(T_r∩P)上至少有一个不动点，因此边值问题(1)至少有一个正解.证毕.

推论1    设f(t，u)在[0，1]×[0，+∞)上非负连续，记

如果0≤f⁰ < f_∞≤+∞，则当$\lambda \in (\frac{{{\lambda _1}}}{{{f_\infty }}},\frac{{{\lambda _1}}}{{{f^0}}})$时，其中λ₁是(4)定义的线性算子B的第一特征值，四阶非线性两点边值问题

至少存在一个正解.

证    由(14)式可知$\mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} \sup \frac{{\lambda f\left( {t,u} \right)}}{u} < {\lambda _1}$，$\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \inf \frac{{\lambda f\left( {t,u} \right)}}{u} > {\lambda _1}$，因此根据定理1，推论1结论成立.

注1    在超线性情形下，定理1和推论1本质地推广和改进了文献[9-12]中的相应结果.

定理2    设f(t，u)在[0, 1]×[0，+∞)上非负连续，并且满足

其中λ₁是由(4)式定义的线性算子B的第一特征值，则边值问题(1)至少有一个正解.

证    由(16)式知，存在r₁>0，使得

记T_r={u∈C[0，1]|‖u‖ < r}，对于∀u∈∂T_r1∩P，由(3)式和(18)式有

设φ^*是B相应于λ₁的正特征函数，于是φ^*=λ₁Bφ^*.不妨设A在∂T_r1∩P上没有不动点(否则定理得证).现在证明

如若不然，存在φ₀∈∂T_r1∩P和τ₀≥ 0，使得φ₀－Aφ₀=τ₀φ^*.于是τ₀>0，φ₀=Aφ₀+τ₀φ^*≥ τ₀φ^*.令τ^*=sup{τ|φ₀≥ τφ^*}.容易知道τ^*≥ τ₀>0和φ₀≥ τ^*φ^*.由B(P)⊂P，可见λ₁Bφ₀≥ τ^*λ₁Bφ^*=τ^*φ^*.因此根据(19)式，有

这与μ^*的定义矛盾.因此(20)式成立，于是由引理2，可得

由(17)式，存在0 < σ < 1和r₂>r₁，使得

定义B₁u=σλ₁Bu，u∈C[0, 1]，则B₁：C[0, 1]→C[0, 1]是有界线性算子且B₁(K)⊂K.

记

显然M < +∞.设W={u∈P：u=μAu，0≤μ≤1}，则W有界.事实上，对∀u∈W，${\tilde u}$(t)=min{u(t)，r₂}，E(t)={t∈[0, 1]|u(t)>r₂}，则由(22)式有

因此((I－B₁)u)(t)≤M，t∈[0, 1].由于λ₁是B的第一特征值，且0 < δ < 1，从而B₁的第一特征值且(r(B₁))^－1>1，故逆算子(I－B₁)^－1存在，且有

由B₁(K)⊂K，得(I－B₁)^－1(K)⊂K，从而u(t)≤(I－B₁)^－1M，t∈[0, 1]，故W是有界的.

取r₃>max{r₂，supW}，由不动点指数的同伦不变性得

由不动点指数的可加性，以及(21)式、(23)式，可得

故A在(T_r3∩P)\(T_r1∩P)上至少有一个不动点，因此边值问题(1)至少有一个正解.证毕.

推论2    设f(t，u)在[0, 1]×[0，+∞)上非负连续，记

如果0≤f^∞ < f₀≤+∞，则当$\lambda \in (\frac{{{\lambda _1}}}{{{f_0}}},\frac{{{\lambda _1}}}{{{f^\infty }}})$时，BVP(15)至少有一个正解，其中λ₁是(3)式定义的线性算子B的第一特征值.

证    由(24)式可知$\mathop {\lim }\limits_{u \to {0^ + }} \inf \frac{{\lambda f\left( {t,u} \right)}}{u} > {\lambda _1}$，$\mathop {\lim }\limits_{u \to + \infty } \sup \frac{{\lambda f\left( {t,u} \right)}}{u} < {\lambda _1}$，因此根据定理2，推论2结论成立.

注2    在次线性情形下，定理1和推论1本质地推广和改进了文献[9-12]中的相应结果.