用$\mathbb{N}$₊表示全体正整数的集合.记A=(a_ij)∈R^n×n，若

则称A为严格对角占优的^[15]；若a_ij < 0(i≠j)，则称A为Z-矩阵^[4]；若A为Z-矩阵且A^-1≥0，则称A为M-矩阵^[15]；若|a_ii|≥r_i(A)(∀i∈$\mathbb{N}$₊)，且对每个i∉J(A)={i∈$\mathbb{N}$₊：|a_ii|>r_i(A)}≠Ø，存在非零元素链a_ii1，a_i1i2，…，a_irj，满足j∈J(A)，则称A为弱链对角占优矩阵^[15].

定义1^[4]  设A=(a_ij)∈R^n×n，若对任意的i，j∈$\mathbb{N}$₊，有：

则称A为B-矩阵.

定义2^[13]  设M=(m_ij)∈R^n×n，若M可表示为M=B⁺+C，其中：

r_i⁺=max{0，m_ij：j≠i}，B⁺是弱链对角占优矩阵且其主对角元素为正，则称M为弱链对角占优B-矩阵.

引理1^[14]  设A=(a_ij)∈R^n×n是弱链对角占优的M-矩阵，则

其中$\prod\limits_{j = 1}^{i - 1} {\left({1 + \frac{{{u_\mathit{i}}\left(\mathit{\boldsymbol{A}} \right)}}{{1 - {u_\mathit{j}}\left(\mathit{\boldsymbol{A}} \right){h_\mathit{j}}\left(\mathit{\boldsymbol{A}} \right)}}} \right)} = 1$，u_j(A)，h_j(A)见后面的记号说明.

引理2^[12]  设γ>0且η≥0，则对任意的x∈[0, 1]，有：

为叙述方便，给出如下记号：设A=(a_ij)∈R^n×n，i，j，k∈$\mathbb{N}$₊，i≠j，i+1≤k≤n，记：

文献[9]给出结果：设M=(m_ij)∈R^n×n是B-矩阵，可表示为M=B⁺+C，其中B⁺=(b_ij)形如(1)式，则

其中$\mathit{\beta = }\mathop {{\rm{min}}}\limits_{i \in {{\rm{\mathbb{N}}}_ + }} \left\{ {{\mathit{\beta }_\mathit{i}}} \right\}$和${\mathit{\beta }_\mathit{i}} = {b_{\mathit{ii}}} - \sum\limits_{j = 1, j \ne i}^n {\left| {{b_{ij}}} \right|} $.

文献[12]给出了优于(2)式的估计式：设M=(m_ij)∈R^n×n是B-矩阵，可表示为M=B⁺+C，其中B⁺=(b_ij)形如(1)式，则

其中${\mathit{\bar \beta }_\mathit{i}} = {b_{ii}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {\left| {{b_{ij}}} \right|} {l_i}\left({{\mathit{\boldsymbol{B}}^\mathit{\boldsymbol{ + }}}} \right) = \mathop {\max }\limits_{k \le i \le n} \left\{ {\frac{1}{{{b_{ii}}}}\sum\limits_{j = k, j \ne i}^n {\left| {{b_{ij}}} \right|} } \right\}$且$\prod\limits_{j = 1}^{i - 1} {\left({1 + \frac{1}{{{{\mathit{\bar \beta }}_\mathit{j}}}}\sum\limits_{k = j + 1}^n {\left| {{b_{jk}}} \right|} } \right)} = 1$.

文献[13]给出了新估计式：设M=(m_ij)∈R^n×n是弱链对角占优B-矩阵，可表示为M=B⁺+C，其中B⁺=(b_ij)形如(1)式，则

其中${\mathit{\tilde \beta }_\mathit{i}} = {b_{ii}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {\left| {{b_{\mathit{ij}}}} \right|} > 0$且$\prod\limits_{j = 1}^{i - 1} {\frac{{{b_{jj}}}}{{{{\mathit{\tilde \beta }}_\mathit{j}}}}} = 1$.

下面，给出弱链对角占优B-矩阵线性互补问题解的新误差界.

定理1  设M=(m_ij)∈R^n×n是弱链对角占优B-矩阵，可表示为M=B⁺+C，其中B⁺=(b_ij)形如(1)式，则

其中${\mathit{\hat \beta }_\mathit{i}} = {b_{ii}} - \sum\limits_{j = i + 1}^n {\left| {{b_{ij}}} \right|} {h_i}\left({{\mathit{\boldsymbol{B}}^ + }} \right)$，且$\prod\limits_{j = 1}^{i - 1} {\left({1 + \frac{1}{{{{\mathit{\hat \beta }}_\mathit{j}}}}\sum\limits_{k = j + 1}^n {\left| {{b_{jk}}} \right|} } \right) = 1} $.

证  令M_D=I-D+DM，则

其中B_D⁺=I-D+DB⁺，C_D=DC.类似于文献[13]中定理2的证明，可得B_D⁺是弱链对角占优M-矩阵，主对角元为正，且

由引理1知

由引理2知，对任意的i，j，k∈$\mathbb{N}$₊，有：

且

进而，由引理2知

由(6)式和(7)式知

因此，由(6)式及(9)式知(5)式成立.

推论1  设M=(m_ij)∈R^n×n是B-矩阵，可表示为M=B⁺+C，其中B⁺=(b_ij)形如(1)式，则

其中${\mathit{\hat \beta }_i}$如定理1所定义.

接下来，对(4)式及(5)式进行比较.

定理2  设M=(m_ij)∈R^n×n是弱链对角占优B-矩阵，可表示为M=B⁺+C，其中B⁺=(b_ij)形如(1)式，且h_i(B⁺)≤l_i(B⁺)(∀i∈$\mathbb{N}$₊)，则

其中β_i，${\mathit{\tilde \beta }_\mathit{i}}$及${\mathit{\hat \beta }_i}$分别如(3)式、(4)式及(5)式所定义.

证  因B⁺是弱链对角占优的，且主对角元为正，故对任意的i∈$\mathbb{N}$₊，有

由(11)式可知，对任意的i∈$\mathbb{N}$₊，有

由(12)式，可得对任意的i∈$\mathbb{N}$₊，有

且对任意的1≤j≤n-1，有

由(13)式及(14)式，可得

另外，注意到：

且l_ki(B⁺_D)≤l_k(B⁺) < 1.因此，对任意的i∈$\mathbb{N}$₊，有${\mathit{\tilde \beta }_\mathit{i}} \le {\mathit{\bar \beta }_\mathit{i}}$，且

同时，对任意的1≤j≤n-1，有

由(16)式及(17)式，可得

综上所述，由(15)式及(18)式知结论成立.

例1  考虑B-矩阵^[12]

则M_k=B_k⁺+C_k，其中

由(2)式得

易见30(k+1)→+∞(k→+∞).

由(3)式得

由(4)式得

由(5)式得

可见(5)式优于(2)-(4)式.

例2  考虑弱链对角占优B-矩阵^[13]

则M=B⁺+C，其中

由(4)式得

由(5)式得

可见(5)式优于(4)式.

文中讨论了弱链对角占优B-矩阵线性互补问题解的误差界估计问题，得到了几个新的上界估计式，理论证明及数值算例均表明了新估计式在一定条件下优于文献[9, 12-13]的结果.