跟踪性和强跟踪性是动力系统理论研究中十分重要的概念，与系统的稳定性和混沌^[1-2]有着密切的联系，有着广泛的应用前景.与跟踪性^[3-7]有关的研究成果已经很多，但是与强跟踪性^[8-11]有关的研究成果却很少，目前属于初步的研究阶段，很多问题需要研究.我们知道链回归点集在跟踪性的研究中发挥着重要作用，强链回归点集在强跟踪性的研究中发挥着重要作用，为了能更好地研究强跟踪性，我们必须研究清楚强链回归点集的动力学性质.文献[8]证明了强链回归点集对连续映射不变.本文通过证明得到更强的结论：强链回归点集对同胚映射强不变，完善了文献[8]的研究结果.本文还对文献[12-13]中关于链回归点集的部分结果进行了推广，得到：连续映射f限制在它的强链回归点集上形成的强链回归点集就是连续映射f在紧致度量空间X上形成的强链回归点集；映射f的强链回归点集与f^-1的强链回归点集相等.本文最后还给出了链回归点集不等于强链回归点集的例子，这说明本文的研究结果是不同于文献[12-13]的，并推广和改进了文献[12-13]中的结果，有一定学术研究价值.

定义1^[8]  设(X，d)是度量空间，f：X$\longrightarrow$X连续，δ＞0，{x_i}_i=0ⁿ是X中的有限序列，如果对∀0≤i＜n，都有d(f(x_i)，x_i+1)＜δ，则称{x_i}_i=0ⁿ是f作用下从x₀到x_n的δ-链.

定义2^[8]  设(X，d)是度量空间，f：X$\longrightarrow$X连续，x∈X.如果对∀ε＞0，都存在f作用下从x到x的ε-链，则称x是f的链回归点. f所有链回归点组成的集合称为f的链回归点集，记为CR(f).

定义3^[8]  设(X，d)是度量空间，f：X$\longrightarrow$X连续，δ＞0，{x_i}_i=0ⁿ是X中的有限序列.如果$\sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {} $d(f(x_i)，x_i+1)＜δ，则称{x_i}_i=0ⁿ是f作用下从x₀到x_n的强δ-链.

定义4^[8]  设(X，d)是度量空间，f：X$\longrightarrow$X连续，x∈X.如果对∀ε＞0，都存在f作用下从x到x的强ε-链，则称x是f的强链回归点. f所有的强链回归点组成的集合称为f的强链回归点集，记为SCR(f).

定义5^[14]  设(X，d)是度量空间，f：X$\longrightarrow$X连续.如果存在L＞0，对∀x，y∈X，有d(f(x)，f(y))≤Ld(x，y)，则称f是利普希茨映射，L为f的利普希茨常数.

定理1  设(X，d)是紧致度量空间，f：X$\longrightarrow$X同胚，则SCR(f)=SCR(f^-1).

证  先证SCR(f)⊂SCR(f^-1).设x∈SCR(f).由f^-1的一致连续性知，对∀ε＞0，存在0＜δ＜$\frac{\varepsilon }{3}$，当d(z₁，z₂)＜δ时，有

由x∈SCR(f)知，存在f作用下的强δ-链{x_i}_i=0ⁿ，其中x₀=x_n=x.故

则有

特别地，有：

由(1)式知

故

则有

故{x，f(x_n-2)，f(x_n-3)，…，f(x₂)，f(x₁)，f(x₀)，x}是f^-1作用下的强ε-链.故x∈SCR(f^-1)，则SCR(f)⊂SCR(f^-1).

下证SCR(f^-1)⊂SCR(f).设y∈SCR(f^-1).由f的一致连续性知，对∀η＞0，存在0＜η₀＜$\frac{\eta }{3}$，当d(z₃，z₄)＜η₀时，有

由y∈SCR(f^-1)知，存在f^-1作用下的强η-链{y_i}_i=0^m，其中y₀=y_m=y.故

因此

特别地，有：

由(2)式知

故

则有

故{y，f^-1(y_m-2)，f^-1(y_m-3)，…，f^-1(y₂)，f^-1(y₁)，f^-1(y)，y}是f作用下的强η-链.故y∈SCR(f)，则SCR(f^-1)⊂SCR(f).

定理2  设(X，d)是紧致度量空间，f：X$\longrightarrow$X同胚，则f(SCR(f))=SCR(f).

证  由文献[8]的定理3知，f(SCR(f))⊂SCR(f).下证SCR(f)⊂f(SCR(f)).设x∈SCR(f)，由f^-1的一致连续性知，对∀ε＞0，存在0＜δ＜$\frac{\varepsilon }{4}$，当d(y₁，y₂)＜δ时，有

由x∈SCR(f)知，存在强δ-链{x_i}_i=0ⁿ，其中x₀=x_n=x.故

特别地，d(f(x_n-1)，x)＜δ.

由(3)式知

又因d(f(x_n-2)，x_n-1)＜δ，故

因此

故{f^-1(x)，x，x₁，…，x_n-2，f^-1(x)}是f作用下的强ε-链.则f^-1(x)∈SCR(f)，即x∈f(SCR(f))，则SCR(f)⊂f(SCR(f))，故f(SCR(f))=SCR(f).

由强链回归点集SCR(f)对连续映射f不变，可以研究f限制在SCR(f)的情况，得到如下结论：

定理3  设(X，d)是紧致度量空间，f：X$\longrightarrow$X连续.若f是利普希茨映射，其中利普希茨常数为L，则SCR(f)=SCR(f|SCR(f)).

证  显然SCR(f|SCR(f))⊂SCR(f).下证SCR(f)⊂SCR(f|SCR(f)).设x∈SCR(f).

步骤1  首先证明：对∀ε＞0，和任意包含SCR(f)的开集U，存在f作用下的强ε-链{x_i}_i=0ⁿ，其中x₀=x_n=x，并且链中的每一个元素都在U中.

反正法，若不然，存在ε₀＞0，和包含SCR(f)的开集U₀，对任意在f作用下的从x到x的强ε₀-链，至少有一个元素不在U₀中.取正数序列{ε_k}_k≥1，且满足ε_k＜ε₀(k≥1)，ε_k→0.因此对在f作用下的从x到x的强ε_k-链，必有一个元素不在U₀中，不妨记为y_k.由X的紧致性知，不妨设y_k→y.由于X-U₀是闭集，故y∈X-U₀.由f的一致连续性知，对∀η＞0，存在0＜δ₁＜$\frac{\eta }{6}$，当d(z₁，z₂)＜δ₁时，有

固定m＞0，且满足ε_m＜δ₁和d(y_m，y)＜δ₁.设{t₀，t₁，…，t_m，t_m+1，…，t_l-1，t_l}是上面的提到的强ε_m-链，其中t₀=t_l=x，t_m=y_m∉U₀.故

特别地，有：

故

结合d(y_m，y)＜δ₁，由(4)式知

故

则

因此{y，t_m+1，…，t_l-1，t_l，t₁，…，t_m-1，y}是f作用下的强η-链，故y∈SCR(f)，与y∈X-U₀矛盾.故步骤1证毕.

对∀ε＞0，∀n∈${\mathbb{N}}$₊，U_n={y∈X：d(y，SCR(f))＜$\frac{\varepsilon }{{2n\left( {L + 1} \right)}}$}，则U_n是包含SCR(f)的开集，由步骤1知，存在f作用下的有限强$\frac{\varepsilon }{2}$-链{x₀ⁿ，x₁ⁿ，x₂ⁿ，…，x_knⁿ}，并且链中的每个元素都在U_n中，x₀ⁿ=x_knⁿ=x.假设对∀n∈${\mathbb{N}}$₊，都有k_n＞n，则k_n→+∞，这与{x₀ⁿ，x₁ⁿ，x₂ⁿ，…，x_knⁿ}是有限链矛盾，故存在n₀∈${\mathbb{N}}$₊，使得k_n0≤n₀.易知{x₀^n₀，x₁^n₀，x₂^n₀，…，x_kn0^n₀}是f作用下的强$\frac{\varepsilon }{2}$-链，且链中的每个元素都在U_n0中，x₀^n₀=x_kn0^n₀=x.故

由U_n0的取法知，对∀1≤i＜k_n0，存在y_i∈SCR(f)，满足

取y₀=y_kn0=x.

步骤2  证明{y_i}_i=0^k_n0是在f作用下的强ε-链.当0≤i＜k_n0时，由f的利普希茨常数为L知

故

因此x∈SCR(f|SCR(f)).

引理1  令$\delta = \frac{1}{2}\left( {^3\sqrt {\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \right)$，x₀=$\frac{1}{2}$.若{x₀，x₁，x₂，x₃，…，x_m-1，x_m}是f作用下的强δ-链，则对∀1≤k≤m，都有$\frac{1}{2}$＜x_k＜1+δ.

证  当k=1时，由于{x₀，x₁，x₂，x₃，…，x_m-1，x_m}是f作用下的强δ-链，故有

因此有

则有：

由$f\left( {\frac{1}{2}} \right) - {x_1} < \delta $知

由${x_1} - f\left( {\frac{1}{2}} \right) < \delta $知

假设当i＜k时(其中2≤k≤m)，有$\frac{1}{2}$＜x_i＜1+δ成立，下面证明i=k时也成立.先证x_k＜1+δ，假设x_k≥1+δ，由于{x₀，x₁，x₂，x₃，…，x_m-1，x_m}是f作用下的强δ-链，故有

因此有

下面说明x_k-1＞1.若x_k-1≤1，则有

这与$\sum\limits_{j = 0}^{k - 1} d $(f(x_j)，x_j+1)＜δ矛盾，故x_k-1＞1.令l=max{i：1≤i≤k，x_i-1＜1}，故有l＜k，且当l≤i＜k时，x_i≥1.则有

又因当l≤i＜k时，有1≤x_i＜1+δ＜$\frac{3}{2}$，因此有

故有

又因d(f(x_l-1)，x_l)≥x_l-1，x_k≥1+δ，x_l＜1+δ，因此

故

这与$\sum\limits_{j = 0}^{m - 1} d $(f(x_j)，x_j+1)＜δ矛盾，因此x_k＜1+δ.因|f(x_k-1)-x_k|＜δ，则有x_k＞f(x_k-1)-δ.又因f(x)在[0, 3]上递增，且$\frac{1}{2}$＜x_k-1＜1+δ＜$\frac{3}{2}$，故f(x_k-1)＞f($\frac{1}{2}$)，则有

由数学归纳法可知，引理1成立.

我们知道，强链回归点一定是链回归点，反之却不一定成立，本文给出一个例子说明这一点.

例1  设I=[0, 6]，定义f：I$\longrightarrow$I，其中$ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {^3\sqrt x }&{x \in \left[ {0, 1} \right)}\\ x&{x \in \left[ {1, 3} \right)}\\ {3x - 6}&{x \in \left[ {3, 4} \right)}\\ { - 3x + 18}&{x \in \left[ {4, 6} \right)} \end{array}} \right. $，则$\frac{1}{2}$∈CR(f)，但$\frac{1}{2}$∉SCR(f).

证  首先证$\frac{1}{2}$∈CR(f).对∀ε＞0，由于$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f^n}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1$，故存在足够大的正整数m₁＞0，满足$d\left( {{f^{{m_1}}}\left( {\frac{1}{2}} \right), 1} \right) < \varepsilon $.因此$\left\{ {\frac{1}{2}, f\left( {\frac{1}{2}} \right), {f^2}\left( {\frac{1}{2}} \right), \cdots , {f^{{m_1} - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right), 1} \right\}$是f作用下从$\frac{1}{2}$到1的ε-链.

令${m_2} = 2\left[ {\frac{1}{\varepsilon }} \right] + 1$，则

是f作用下从1到3的ε-链.

由$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {3 + \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = 3$知，存在足够大的正整数m₃＞0，满足$d\left( {3 + \frac{1}{{{3^{{m_3}}}}}, 3} \right) < \varepsilon $.因此

是f作用下从3到0的ε-链.

由$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{3^n}}} = 0$知，存在足够大的正整数m₄＞0，满足$d\left( {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{{3^m}4}}, 0} \right) < \varepsilon $.因此

是f作用下从0到${\frac{1}{2}}$的ε-链.综上可知，存在f作用下从${\frac{1}{2}}$到${\frac{1}{2}}$的ε-链，故${\frac{1}{2}}$∈CR(f).

下证${\frac{1}{2}}$∉SCR(f).假设${\frac{1}{2}}$∈SCR(f)，则存在f作用下的强δ-链{x₀，x₁，x₂，x₃，…，x_t-1，x_t}，其中x₀=x_t=${\frac{1}{2}}$.由引理1知，${\frac{1}{2}}$＜${\frac{1}{2}}$，矛盾.故${\frac{1}{2}}$∉SCR(f).

注1  通过例1可以看出，存在SCR(f)≠CR(f)的情况.也就是说，强链回归点集与链回归点集是不同的.但是笔者通过证明却得到文献[12-13]中关于链回归点集的部分结论对于强链回归点集也是成立的，所以本文的结果推广和改进了相关文献已有的结果，有一定的研究价值.