设X和Z是两个度量空间，Y是度量线性空间，C是Y中具有非空内部的尖闭凸锥，θ是Y中的零元.设A是X的非空子集，F是从A×A到Y的向量值映射.本文考虑锥序C随参数λ∈Λ的变化而扰动的问题(PVEP)，描述为：求x∈A(λ)，使得F(x，y，λ)∉-C(λ)\{θ}对∀y∈A(λ)都成立，其中对∀λ∈Λ，C(λ)是Y中具有非空内部的尖闭凸锥.设C：Λ$\longrightarrow$2^Y是一个锥值映射，在此情形下，称问题PVEP是具有序扰动的含参数向量均衡问题，记为(PVOPEP).如果点x∈A(λ)满足：对∀y∈A(λ)都有F(x，y，λ)∉-C(λ)\{θ}成立，则称x为问题PVOPEP的一个有效解.

文献PVOPEP的有效解的集合记为

于是S是一个集值映射S：Λ$\longrightarrow$2^X.下面总假设S(λ)≠Ø对所有λ∈Λ都成立.记B_X(λ，δ)是度量空间X中以x为中心、δ＞0为半径的开球，d(·，·)表示空间上两点之间的距离，d(x，A)表示点x到集合A⊂X之间的距离.

定义1  设f：X$\longrightarrow$Y为向量值映射，x₀∈X，如果对每个包含f(x₀)的开集V，存在x₀∈X的邻域U，使得对∀x∈U，都有f(x)⊂V+C，其中C是锥，则称f在x₀处是锥下半连续的.

定义2  设Λ是拓扑空间，Y是拓扑线性空间，C：Λ$\longrightarrow$2^Y.如果对∀λ∈Λ，C(λ)都是Y中的闭凸尖锥，则称C是锥值映射.记以θ为中心的Y中的闭单位球为B_Y(θ)，如果对∀λ∈Λ和任意Y中的开集U，U⊃C(λ)∩B_Y(θ)，存在λ的开集V，使得对∀λ'∈V，U⊃C(λ')∩B_Y(θ)都成立，则称锥值映射C是上半连续锥值映射.

下面给出问题PVOPEP解映射的一种下半连续性.

定理1  假设下面的条件满足：

(a) A(·)在Λ上是紧值连续的；

(b) F(·，·，·)在B×B×Λ上是锥下半连续的；

(c) C(·)在Λ上是上半连续锥值映射；

(d) 如果对∀λ∈Λ，A(λ)\S(λ)≠Ø，则对∀λ∈Λ，和∀x∈A(λ)\S(λ)，存在y∈S(λ)和Λ上的上半连续正值函数M：Λ(0，+∞)，满足

则S(·)在Λ上是下半连续的.

证  假设结论不成立，则存在λ₀∈Λ，使得S(·)在λ₀∈Λ处不是下半连续的.那么，存在序列{λ_n}⊂Λ满足λ_n→λ₀，存在x₀∈S(λ₀)以及包含x₀的某个开集V₁，使得对∀x_n'∈S(λ_n)，有x_n'∉V₁.

由x₀∈S(λ₀)，有x₀∈A(λ₀)，

因为A(·)在点λ₀处下半连续，所以存在序列{x_n}⊂A(λ_n)，使得x_n→x₀.所以对开集V₁，存在正整数N，使得x_n∈V₁对∀n≥N都成立.于是对∀n≥N有x_n∈A(λ_n)\S(λ_n).为了方便叙述，仍然记为任意正整数.由条件(d)，对∀x_n∈A(λ_n)\S(λ_n)，存在y_n∈S(λ_n)和在Λ上上半连续的正值函数M：Λ$\longrightarrow$(0，+∞)，使得

因为y_n∈A(λ_n)，由A(·)在每个λ₀∈Λ处是上半连续性紧值的，则存在y₀∈A(λ₀)和{y_n}的子序列{y_ni}，使得y_ni→y₀.特别地，由(2)式有

由于距离函数d(·，·)是连续的，F(·，·，·)是锥下半连续的，M(·)是上半连续的，以及C(·)是上半连续锥值映射，所以在(3)式两边令i→+∞，可得

如果x₀≠y₀，由(4)式可得

因为M(λ₀)＞0，所以

因此，有F(x₀，y₀，λ₀)∈-int C(λ₀).在(1)式中取y=y₀，得出矛盾.所以x₀=y₀.定理1证毕.

注1  下面的例子说明定理1的条件(d)，或者文献[12]中定理3.1的条件(ⅲ)不能应用到对某个λ∈Λ，A(λ)\S(λ)=Ø.所以定理1的条件(d)，或者文献[12]中定理3.1的条件(ⅲ)不是本质的条件.

例1  设：

则由简单计算可得：

且对∀λ∈Λ₁∪Λ₂，和∀x∈A(λ)\S(λ)=(0，1]，取y=0∈S(λ)，有：

显然有：

于是易见文献[12]中定理3.1的条件(ⅲ)当λ∈Λ₁时不成立.而S₁(·)，S₂(·)分别在Λ₁，Λ₂上都是连续的.如果取M：Λ₁$\longrightarrow$(0，+∞)定义为

则有

因此例1满足本文定理1的所有条件，于是S(·)在Λ上是下半连续的.故本文定理1是文献[12]中定理3.1的真正推广.

例2  设：

通过计算可得S(λ)={λ²}(∀λ∈Λ).容易证明S(.)在Λ上是连续的.

对∀λ∈(0，1]，和∀x∈A(λ)\S(λ)=(λ²，1+λ]，取唯一的y=λ²∈S(λ)，有

显然文献[12]中定理3.1的条件(ⅲ)不满足，因此文献[12]中定理3.1的结论不成立.取M：Λ$\longrightarrow$(0，+∞)定义为M(λ)=$\frac{a}{\lambda }$(∀λ∈Λ)，其中a是常数，且a≥1.因此例2满足本文定理1的全部条件，从而S(·)在Λ上是下半连续的.但是文献[12]中定理3.1对例2不成立.

例3  设：

以及映射

通过计算得

对∀λ∈[0, 1]，A(λ)\S(λ)=Ø.因此没法取x∈A(λ)\S(λ).所以文献[12]中定理3.1的条件(ⅲ)或者本文定理1的条件(d)不成立.容易证明S(·)在Λ上是连续的.

同理得到问题PVOPEP的弱有效解的下半连续性.

如果点x∈A(λ)满足

则称x为问题PVOPEP的弱有效解.记问题PVOPEP的弱有效解集合为

在定理1的证明过程中做小的调整就可得到关于问题PVOPEP弱有效解的下半连续性定理：

定理2  假设下面的条件满足：

(a) A(·)在Λ上是紧值连续的；

(b) F(·，·，·)在B×B×Λ上是锥下半连续的；

(c) C(·)在Λ上是上半连续锥值映射；

(d) 如果对∀λ∈Λ，A(λ)\S_W(λ)≠Ø，则对∀λ∈Λ，和∀x∈A(λ)\S_W(λ)，存在y∈S_W(λ)和Λ上的上半连续正值函数M：Λ$\longrightarrow$(0，+∞)，满足

则S_W(·)在Λ上是下半连续的.

注2  如果Λ是完备度量空间，解空间为任意度量空间，则可以得到S(·)和S_W(·)的连续点构成Λ的稠密剩余子集Q，即S(·)和S_W(·)在Q上是连续的，或者说S(·)和S_W(·)是通有连续的或通有稳定的.