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在文中，G为有限群，π(G)为|G|的素因子的集合，πe(G)为G的元素阶的集合，用Γ(G)表示G的素图. 20世纪70年代，K.W.Guenberg和O.Kegel给出了素图的定义：顶点集为π(G)，两顶点m，n有一条边(或者相连)当且仅当mn∈πe(G)，这种图称为群G的素图或者Gruenberg-Kegel图，记为Γ(G)或GK(G).群G的素图分支为πi(G)(i=1，2，…，t(G))，这里t(G)称为G的素图连通分支数.文献[1]给出了一个素图不连通时的重要描述.此后群论学者开始关注通过素图及A.S.Kondrat'ev的关于素图不连通时的有限单群的完全分类[2]来研究群.随后，有限群的素图刻画问题(如果Γ(G)=Γ(H)当且仅当G≅H)及有限单群的素图拟刻画问题(如果Γ(G)=Γ(H)，则G同构于有限群H中的唯一非交换合成因子)等也受到了众多学者的广泛关注，得到了诸多成果[3-6].本文利用群的素图不连通及群的阶对K3单群进行研究，得到了一些关于K3单群的特征描述.
引理1[1] 设G是有限群，G的素图不连通，则G有如下3种结构：
(ⅰ) Frobenius群；
(ⅱ) 2-Frobenius群；
(ⅲ) G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π1-群，K/H为非交换单群，其中2∈π1，H为幂零群，且|G/K|||Out(K/H)|.
引理2[7-8] 设G是偶阶2-Frobenius群，即G=ABC，其中A⊴G，AB⊴G，AB是以A为核B为补的Frobenius群，BC是以B为核C为补的Frobenius群，则：
且G是可解的，B是G的Hall子群且是奇阶的，C为循环群，G含有阶为|C|·∏p∈π(A)p的元素.
定理1 设G是有限群，M是K3单群A5，A6，L2(8)，L3(3)，L2(17)，U3(3)中之一，则G≅M当且仅当t(G)≥2且|G|=|M|.
证 充分性显然成立，下证必要性.因为方法类似，所以只讨论M=A5，U3(3)时的情形.
情形1 设t(G)≥2，|G|=|A5|=22·3·5.因为t(G)≥2，由引理1知G是Frobenuis群或者2-Frobenuis群，或者G有一正规列1⊴H⊴K⊴G使得K/H为非交换单群.
若G是Frobenuis群，设H为其核，K为其补.由Frobenuis群的性质知：
又因为H幂零，设P是H的Sylow-子群，则|K||(|P|-1)，这与|G|=22·3·5矛盾，从而G不是Frobenuis群.
若G为2-Frobenuis群，由引理2知G=ABC，B是奇阶的，且：
设|B|=5，由于BC是以B为核C为补的Frobenius群，故|C||(|B|-1)，即|C||4，此时|A|=3，2·3.又因为AB是以A为核B为补的Frobenius群，设P3是A的Sylow 3-子群，且|P3|=3，则|B||(|P3|-1)，即5|2，矛盾.设|B|=3，则|C|=2，此时|A|=2·5，设P5是A的Sylow 5-子群，且|P5|=5.则|B||(|P5|-1)，即3|4，矛盾.设|B|=3·5，此时，显然有|B|>|A|，这与|B||(|A|-1)矛盾.从而G不是2-Frobenuis群.
因此G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π1-群，K/H为非交换单群，其中2∈π1，H为幂零群，且|G/K|||Out(K/H)|.又因为|K/H|||G|，由文献[9]知K/H≅A5.此时
从而：
情形2 设t(G)≥2，|G|=|U3(3)|=25·33·7.因为t(G)≥2，由引理1知G是Frobenuis群或者2-Frobenuis群，或者G有一正规列1⊴H⊴K⊴G使得K/H为非交换单群.
用情形1中的方法可得G不是Frobenuis群，也不是2-Frobenuis群.
因此G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π1-群，K/H为非交换单群，其中2∈π1，H为幂零群，且|G/K|||Out(K/H)|.又因为|K/H|||G|，由文献[9]知
若K/H≅L2(7)，此时|G/K|·|H|=22·32，由于H和G/K是π1-群，故{2，3}⊆π1.又因为：
从而|H|=2·32，22·32.设P3是H的Sylow 3-子群，则|P3|= 32，P7是G的Sylow 7-子群，则|P7|=7.又因为H幂零，故P3⊴G.从而把G的7阶元作用在P3上，该作用是平凡的.从而G中有21阶元，即在π(G)中3，7相连.由于：
从而π(G)=π1={2，3，7}，因此G的素图Γ(G)连通，矛盾.
若K/H≅L2(8)，与K/H≅L2(7)时的讨论方法相同，此时π(G)=π1={2，3，7}，即G的素图Γ(G)连通，矛盾.
若K/H≅U3(3)，此时
从而：
定理2 (a)设G是有限群，若t(G)≥2，|G|=|L2(7)|，则下列之一成立：
(a1) G是2-Frobenuis群，G≅ABC，其中A= Z2×Z2×Z2，B=Z7，C=Z3；
(a2) G是2-Frobenuis群，G≅ABC，其中A为|A|=22·7的幂零群，B=Z3，C=Z2；
(a3) G≅L2(7).
(b) 设G是有限群，若t(G)≥2，|G|=|U4(2)|，则下列之一成立：
(b1) G是2-Frobenuis群，G≅ABC，其中A为|A|=24·34的幂零群，B=Z5，C=Z4；
(b2) G≅U4(2).
证 因为方法类似，只讨论t(G)≥2，|G|=|L2(7)|时的情形.
设G是有限群，|G|=|L2(7)|=23·3·7.因为t(G)≥2，由引理1知G是Frobenuis群或者2-Frobenuis群，或者G有一正规列1⊴H⊴K⊴G使得K/H为非交换单群.
用定理1的情形1中的方法可得G不是Frobenuis群.
若G是2-Frobenuis群，由引理2可得G=ABC，其中：
或：
当G=ABC，|A|=23，|B|=7，|C|=3时，因为G可解，故G有极小正规子群N，若N为Sylow 7-子群，把G中的Sylow 2-子群作用在N上，该作用是平凡的.则G中有14阶元，即在π(G)中2，7相连.由于：
从而π(G)=π1={2，3，7}，此时G素图连通，矛盾.若N为Sylow 3-子群，把G中的Sylow 7-子群作用在N上，该作用是平凡的.则G中有21阶元，此时G素图连通，矛盾.故N为Sylow 2-子群.若|N|=2，则N⊆Z(G)，于是G中有14阶元，此时G素图连通，矛盾.若|N|=4，则N≅Z2×Z2，把G中的Sylow 7-子群作用在N上，由于
故该作用是平凡的，于是G中有14阶元，此时G素图连通，矛盾.若|N|=8.则N≅Z2×Z2×Z2.把G中的Sylow 7-子群作用在N上，由于：
此时该作用是非平凡的，从而π(G)中2，7不相连.又因为BC是以B为核C为补的Frobenius群，故π(G)中3，7不相连.因此t(G)=2，满足条件.此时：
其中G的2-Sylow子群初等交换，B=Z7，C=Z3.
当G=ABC，|A|=22·7，|B|=3，|C|=2时.由引理2知G中有28阶元，此时，|G|=23×3×7，其中A为|A|=22·7的幂零群，B=Z3，C=Z2.
若G有一正规列1⊴H⊴K⊴G，使得H和G/K是π1-群，K/H为非交换单群，其中2∈π1，H为幂零群，且|G/K|||Out(K/H)|.又因为|K/H|||G|，由文献[9]知K/H≅L2(7).此时
从而：
推论1 设G是有限群，M是K3单群A5，A6，L2(8)，L3(3)，L2(17)，U3(3)中之一，则G≅M当且仅当|G|=|M|且K1(G)=K1(M).
证 充分性显然成立，下证必要性.因为方法相同，所以只讨论M=A5时的情形.
设G是有限群，
因为K1(G)=5，从而5是素图Γ(G)的独立点.故t(G)≥2，由定理1得G≅A5.
推论2 设G是有限群，M是K3单群L2(7)，U4(2)中之一，则G≅M当且仅当|G|=|M|且Ki(G)=Ki(M)(i=1，2).
证 充分性显然成立，下证必要性.因为方法相同，所以只讨论L2(7)时的情形.
设G是有限群，
由K1(G)=7知7是素图Γ(G)的独立点，故t(G)≥2.又因为K2(G)=4，由定理2得G≅L2(7).
NewCharacterization of Simple K3-Groups
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摘要: 设G是有限群，t（G）为G的素图连通分支数.当t（G）≥ 2时，对K3单群进行研究，得到了：（ⅰ）若G是有限群，M是除L2（7），U4（2）的K3单群，则G≅M当且仅当t（G）≥ 2且|G|=|M|；（ⅱ）若G是有限群，M是L2（7），U4（2）单群，当t（G）≥ 2且|G|=|M|时，得到了群G的一些特征描述.Abstract: Let G be a finite group, t(G) is the number of connected components of prime graph of G. When t(G) ≥ 2, simple K3-groups have been studied. It has been obtained that (ⅰ)Let G be a finite group, M is a simple K3-group except L2(7), U4(2), then G≅M if and only if t(G) ≥ 2 and|G|=|M|; (ⅱ)Let G be a finite group, M is L2(7), U4(2), if t(G) ≥ 2 and|G|=|M|, some new characterize of G have been obtained.
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Key words:
- unconnected prime graph /
- simple K3-group /
- finite group .
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[1] WILLIAMS J S.Prime Graph Comfonments of Finite Group [J]. Journal of Algebra, 1981, 69(2): 487-513. doi: 10.1016/0021-8693(81)90218-0 [2] doi: https://iopscience.iop.org/article/10.1070/SM1990v067n01ABEH001363 KONDRAT'EV A S. On Prime Graph Components for Finite Simple Groups [J]. Mat Sb, 1989, 180(6): 787-789. [3] HAGIE M. The Prime Graph of a Sporadic Simple Group [J]. Comm Algebra, 2003, 31(9): 4405-4424. doi: 10.1081/AGB-120022800 [4] KHOSRAMI B. n-Recognition by Prime Graph of the Simple Group PSL(2, q) [J]. J Algebra Appl, 2008, 7(6): 735-748. doi: 10.1142/S0219498808003090 [5] ZAVARNITSINE A V. Recognition of Finite Groups by the Prime Graph [J]. Algebra and Logic, 2006, 45(4): 220-231. doi: 10.1007/s10469-006-0020-9 [6] 戴雪, 张庆亮.用oc(G)刻画单K3-群[J].西南师范大学学报(自然科学版), 2017, 42(12): 21-24. doi: http://xbgjxt.swu.edu.cn/jsuns/jscnuhhse/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=x201712005&flag=1 [7] 陈贵云. Frobenius群和2-Frobenius群的结构[J].西南师范大学学报(自然科学版), 1995, 20(5): 485-487. doi: http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-XNZK505.003.htm [8] MAZUROV V D, XU M C, CAO H P.Recognition of Finite Simple Groups L3(2m) and U3(2m) by Their Element Orders [J]. Algebra and Logic, 2000, 39(5): 324-334. doi: 10.1007/BF02681616 [9] CONWAY J H, CURTIS R T, NORTON S P, et al. Atlas of Finite Groups [M]. Oxford: Clarendon Press, 1985. -
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